張四保, 姜蓮霞

(1.喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 新疆 喀什 844000; 2.現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用研究中心, 新疆 喀什 844000)

數(shù)論函數(shù)是數(shù)論中的一個(gè)重要內(nèi)容,它是研究數(shù)論問題的一個(gè)重要工具.在數(shù)論中有著很多的函數(shù),σ(n)就是其中的一個(gè).對于正整數(shù)n,數(shù)論函數(shù)σ(n)定義為n的所有正因數(shù)(包括1與其本身)的和函數(shù).由σ(n)產(chǎn)生了很多的數(shù)論問題,如完全數(shù)、親和數(shù)、孤立數(shù)、虧完全數(shù)等．

若正整數(shù)n滿足σ(n)=2n,則稱n為完全數(shù).到目前為止只找到51個(gè)偶完全數(shù),而未找到奇完全數(shù),奇完全數(shù)的存在性已成為數(shù)論中的難題之一[1].在奇完全數(shù)問題上,有著十分豐富的研究成果[2-3].對于正整數(shù)n,若存在正整數(shù)m適合σ(n)=σ(m)=n+m,則數(shù)對(n,m)被稱為親和數(shù);反之,n被稱為孤立數(shù).親和數(shù)和孤立數(shù)一直是數(shù)論中一個(gè)引人關(guān)注的課題[4],有不少的研究成果[5-6]．

若正整數(shù)n滿足σ(n)=2n-d,則稱n為虧度為d的虧完全數(shù),其中d為n的正因數(shù).特別的,d=1時(shí),稱n為殆完全數(shù).虧度為d的虧完全數(shù)備受研究者關(guān)注,與此相關(guān)還有很多未解決的問題[7].文獻(xiàn)[8]刻畫了素因數(shù)個(gè)數(shù)不超過2的所有虧完全數(shù)的結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[7]和[9]討論了素因數(shù)個(gè)數(shù)為3的奇虧完全數(shù)的存在性問題,得到不存在素因數(shù)個(gè)數(shù)為3的奇虧完全數(shù)的結(jié)論.文獻(xiàn)[10-11]討論了素因數(shù)個(gè)數(shù)為4的奇虧完全數(shù)的存在性問題,給出了虧完全數(shù)的一些性質(zhì)刻畫.文獻(xiàn)[12]討論了素因數(shù)個(gè)數(shù)為5的奇虧完全數(shù)的存在性問題,給出了虧完全數(shù)的一些性質(zhì)刻畫.本文在相關(guān)研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)之上,討論素因數(shù)個(gè)數(shù)為6的奇虧完全數(shù)的存在性問題,并給出奇素因數(shù)個(gè)數(shù)為6的奇虧完全數(shù)的一些性質(zhì)刻畫．

說明:本文所討論的奇虧完全數(shù)不包括殆完全數(shù);下文符號“|”均表示整除關(guān)系．

1 基本引理

2 結(jié)論及證明

(1)

定理2設(shè)n=3γ137γ2q3γ3q4γ4q5γ5q6γ6,其中γi滿足γi≡0(mod 2),i=1,2,…,6,37

1)當(dāng)q3=41,q4=43時(shí),n不是奇虧完全數(shù);

2)當(dāng)q3=41,q4=47,q5=53,q6∈{59,61,67,71,73}時(shí),n不是奇虧完全數(shù);

3)當(dāng)q3=41,q4=47,q5=59時(shí),n不是奇虧完全數(shù);

4)當(dāng)q3=43時(shí),n不是奇虧完全數(shù)．

證明若q3≥47,則

得出矛盾,于是q3∈{41,43}．

為了便于敘述,下文設(shè)d=3γ′137γ′2q3γ′3q4γ′4q5γ′5q6γ′6為n的素因數(shù),其中0≤γ′i≤γi,且γ′i中至少有一數(shù)不等于0,i=1,2,…,6.同時(shí),令

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)=

由式(1)可得,F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)=G(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6).

(2)

情況1當(dāng)q3=41時(shí),有n=3γ137γ241γ3q4γ4q5γ5q6γ6.此時(shí),若q4≥53,則有

得出矛盾,于是q4∈{43,47}．

情況1.1當(dāng)q4=43時(shí),有n=3γ137γ241γ343γ4q5γ5q6γ6.此時(shí),若q5≥67,則有

得出矛盾,于是q5∈{47,53,59,61}．

情況1.1.1當(dāng)q5=47時(shí),有n=3γ137γ241γ343γ447γ5q6γ6.此時(shí),若q6≥127,則有

得出矛盾,于是q6∈{53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113}．

若d≥9,此時(shí)0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,則有

得出矛盾．

若d=3,此時(shí)γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,則由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ343γ447γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ343γ447γ5q6γ6.

(3)

當(dāng)γ1=2時(shí),有σ(32)=13|σ(3237γ241γ343γ447γ5q6γ6).由式(3)可得13|5×3γ1-137γ241γ343γ447γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1=4時(shí),有σ(34)=112|σ(3437γ241γ343γ447γ5q6γ6).由式(3)可得112|5×3γ1-137γ241γ343γ447γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1≥6,q6=53時(shí),有

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)≥

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=59時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=61時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=67時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=71時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=73時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=79時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=83時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=89時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=97時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=101時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=103時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=107時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=109時(shí),有

顯然,此時(shí)F1與G1的值與式(3)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=113時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

綜合情況1.1.1的討論可知,當(dāng)q5=47時(shí),n=3γ137γ241γ343γ447γ5q6γ6不是奇虧完全數(shù)．

情況1.1.2當(dāng)q5=53時(shí),有n=3γ137γ241γ343γ453γ5q6γ6.此時(shí),若q6≥97,則有

得出矛盾,于是q6∈{59,61,67,71,73,79,83,89}．

若d≥9,此時(shí)0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,則有

得出矛盾．

若d=3,此時(shí)γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,則由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ343γ453γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ343γ453γ5q6γ6.

(4)

當(dāng)γ1=2時(shí),有σ(32)=13|σ(3237γ241γ343γ453γ5q6γ6).由式(4)可得13|5×3γ1-137γ241γ343γ453γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1=4時(shí),有σ(34)=112|σ(3437γ241γ343γ453γ5q6γ6).由式(4)可得112|5×3γ1-137γ241γ343γ453γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1≥6,q6=59時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=61時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=67時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=71時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=73時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=79時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=83時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=89時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

綜合情況1.1.2的討論可知,當(dāng)q5=53時(shí),n=3γ137γ241γ343γ453γ5q6γ6不是奇虧完全數(shù)．

情況1.1.3當(dāng)q5=59時(shí),有n=3γ137γ241γ343γ459γ5q6γ6.此時(shí),若q6≥83,則有

得出矛盾,于是q6∈{61,67,71,73,79}．

若d≥9,此時(shí)0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,則有

得出矛盾．

若d=3,此時(shí)γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,則由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ343γ459γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ343γ459γ5q6γ6.

(5)

當(dāng)γ1=2時(shí),有σ(32)=13|σ(3237γ241γ343γ459γ5q6γ6).由式(5)可得13|5×3γ1-137γ241γ343γ459γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1=4時(shí),有σ(34)=112|σ(3437γ241γ343γ459γ5q6γ6).由式(5)可得112|5×3γ1-137γ241γ343γ459γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1≥6,q6=61時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=67時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=71時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=73時(shí),有

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)≥

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1=6時(shí),有σ(36)=1093|σ(3637γ241γ343γ459γ5q6γ6).由式(5)可得1093|5×3γ1-137γ241γ343γ459γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1=8時(shí),有σ(38)=(13×757)|σ(3837γ241γ343γ459γ5q6γ6).由式(5)可得13×757|5×3γ1-137γ241γ343γ459γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1≥10,q6=79時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

綜合情況1.1.3的討論可知,當(dāng)q5=59時(shí),n=3γ137γ241γ343γ459γ5q6γ6不是奇虧完全數(shù)．

情況1.1.4當(dāng)q5=61時(shí),有n=3γ137γ241γ343γ461γ5q6γ6.此時(shí),若q6≥79,則有

得出矛盾,則q6∈{67,71,73}．

若d≥9,此時(shí)0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,則有

得出矛盾．

若d=3,此時(shí)γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,則由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ343γ461γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ343γ461γ5q6γ6.

(6)

當(dāng)γ1=2時(shí),有σ(32)=13|σ(3237γ241γ343γ461γ5q6γ6).由式(6)可得13|5×3γ1-137γ241γ343γ461γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1=4時(shí),有σ(34)=112|σ(3437γ241γ343γ461γ5q6γ6).由式(6)可得112|5×3γ1-137γ241γ343γ461γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1≥6,q6=67時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=71時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=73時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

綜合情況1.1.4的討論可知,當(dāng)q5=61時(shí),n=3γ137γ241γ343γ461γ5q6γ6不是奇虧完全數(shù)．

綜合情況1.1.1至情況1.1.4的討論可知,當(dāng)q4=43時(shí),n=3γ137γ241γ343γ4q5γ5q6γ6不是奇虧完全數(shù)．

情況1.2當(dāng)q4=47時(shí),有n=3γ137γ241γ347γ4q5γ5q6γ6.此時(shí),若q5≥61,則有

得出矛盾,于是q5∈{53,59}．

情況1.2.1當(dāng)q5=53時(shí),有n=3γ137γ241γ347γ453γ5q6γ6.此時(shí),若q6≥83,則有

得出矛盾,于是q6∈{59,61,67,71,73,79}．

若d≥9,此時(shí)0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,則有

得出矛盾．

若d=3,此時(shí)γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,則由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ347γ453γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ347γ453γ5q6γ6.

(7)

當(dāng)γ1=2時(shí),有σ(32)=13|σ(3237γ241γ347γ453γ5q6γ6).由式(7)可得13|5×3γ1-137γ241γ347γ453γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1=4時(shí),有σ(34)=112|σ(3437γ241γ347γ453γ5q6γ6).由式(7)可得112|5×3γ1-137γ241γ347γ453γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1≥6,q6=59時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=61時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=67時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=71時(shí),有

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)≥

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=73時(shí),有

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)≥

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

綜合情況1.2.1的討論可知,對于奇數(shù)n=3γ137γ241γ347γ453γ5q6γ6,當(dāng)q6∈{59,61,67,71,73}時(shí),n不是奇虧完全數(shù)．

情況1.2.2當(dāng)q5=59時(shí),有n=3γ137γ241γ347γ459γ5q6γ6.此時(shí),若q6≥71,則有

得出矛盾,于是q6∈{61,67}．

若d≥9,此時(shí)0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,則有

得出矛盾．

若d=3,此時(shí)γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,則由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ347γ453γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ347γ459γ5q6γ6.

(8)

當(dāng)γ1=2時(shí),有σ(32)=13|σ(3237γ241γ347γ459γ5q6γ6).由式(8)可得13|5×3γ1-137γ241γ347γ459γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1=4時(shí),有σ(34)=112|σ(3437γ241γ347γ459γ5q6γ6).由式(8)可得112|5×3γ1-137γ241γ347γ459γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1≥6,q6=61時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1=6時(shí),有σ(36)=1093|σ(3437γ241γ347γ459γ5q6γ6).由式(8)可得1093|5×3γ1-137γ241γ347γ459γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1≥8,q6=67時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

綜合情況1.2.2的討論可知,當(dāng)q5=59時(shí),n=3γ137γ241γ347γ459γ5q6γ6不是奇虧完全數(shù)．

情況2當(dāng)q3=43時(shí),有n=3γ137γ243γ3q4γ4q5γ5q6γ6.此時(shí),若q4≥53,則有

得出矛盾,于是q4=47,則n=3γ137γ243γ347γ4q5γ5q6γ6.此時(shí),若q5≥61,則有

得出矛盾,于是q5∈{53,59}．

情況2.1當(dāng)q5=53時(shí),有n=3γ137γ243γ347γ453γ5q6γ6.此時(shí),若q6≥73,則有

得出矛盾,于是q6∈{59,61,67,71}．

若d≥9,此時(shí)0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,則有

得出矛盾．

若d=3,此時(shí)γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,則由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ243γ347γ453γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ243γ347γ453γ5q6γ6.

(9)

當(dāng)γ1=2時(shí),有σ(32)=13|σ(3237γ243γ347γ453γ5q6γ6).由式(9)可得13|5×3γ1-137γ243γ347γ453γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1=4時(shí),有σ(34)=112|σ(3437γ243γ347γ453γ5q6γ6).由式(9)可得112|5×3γ1-137γ243γ347γ453γ5q6γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1≥6,q6=59時(shí),有

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)=

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=61時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1≥6,q6=67時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

當(dāng)γ1=6,q6=71時(shí),有σ(36)=1093|σ(3637γ243γ347γ453γ571γ6).由式(9)可得1093|5×3γ1-137γ243γ347γ453γ571γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1≥8,q6=71時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

綜合情況2.1的討論可知,當(dāng)q5=53時(shí),n=3γ137γ243γ347γ453γ5q6γ6不是奇虧完全數(shù)．

情況2.2當(dāng)q5=59時(shí),有n=3γ137γ243γ347γ459γ5q6γ6.此時(shí),若q6≥67,則有

得出矛盾,于是q6=61．

若d≥9,此時(shí)0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,則有

得出矛盾．

若d=3,此時(shí)γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,則由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ243γ347γ459γ561γ6)=

5×3γ1-137γ243γ347γ459γ561γ6.

(10)

當(dāng)γ1=2時(shí),有σ(32)=13|σ(3237γ243γ347γ459γ561γ6).由式(10)可得13|5×3γ1-137γ243γ347γ459γ561γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1=4時(shí),有σ(34)=112|σ(3437γ243γ347γ459γ561γ6).由式(10)可得112|5×3γ1-137γ243γ347γ459γ561γ6,這是不可能的．

當(dāng)γ1≥6時(shí),有

顯然,此時(shí)F與G的值與式(2)相矛盾．

綜合情況2.2的討論可知,當(dāng)q5=59時(shí),n=3γ137γ243γ347γ459γ5q6γ6不是奇虧完全數(shù)．

綜合情況2.1與情況2.2的討論可知,當(dāng)q3=43時(shí),n=3γ137γ243γ3q4γ4q5γ5q6γ6不是奇虧完全數(shù)．

綜合情況1與情況2的討論,可得定理2.證畢．