王強(qiáng)

（北京跟蹤與通信技術(shù)研究所，北京 100094）

0 引言

較傳統(tǒng)均勻陣列天線，非均勻布陣可在提升陣列天線探測(cè)性能的同時(shí)，更好地控制天線的資源開(kāi)銷。陣元的非均勻部署破壞了空間采樣的周期性質(zhì)，進(jìn)而使得空間采樣帶來(lái)的柵瓣效應(yīng)被極大抑制；此外，稀疏構(gòu)型不僅減小了系統(tǒng)硬件、計(jì)算的開(kāi)銷，還增加了天線的觀測(cè)孔徑，進(jìn)而改善了天線對(duì)角度信息的提取精度［1］。

然而，由于陣列因子（AF）和陣元位置之間不滿足線性關(guān)系，依托非均勻構(gòu)型抑制方向圖旁瓣相比于傳統(tǒng)的激勵(lì)加窗難度進(jìn)一步提升。為了解決該問(wèn)題，大量構(gòu)型尋優(yōu)算法被提出，可歸納為三類：第一類方法主要依靠啟發(fā)式搜索完成構(gòu)型優(yōu)化［2］；第二類是基于解析近似的確定類方法［3］；第三類構(gòu)型綜合方法采用壓縮感知（CS）同時(shí)對(duì)陣元的位置和激勵(lì)幅度進(jìn)行優(yōu)化［4］。其目標(biāo)都是盡可能獲取非均勻構(gòu)型的全局最優(yōu)解。但由于構(gòu)型綜合問(wèn)題的特殊性，并無(wú)高效算法可以保證獲取全局最優(yōu)構(gòu)型。

本文聚焦于局部最優(yōu)構(gòu)型搜索算法設(shè)計(jì)，對(duì)隨機(jī)初始構(gòu)型進(jìn)行快速尋優(yōu)。一般來(lái)說(shuō)，梯度下降算法是尋找局部最優(yōu)解的常用方法。但對(duì)于以降低峰值旁瓣電平（PSLL）為目標(biāo)的陣列綜合問(wèn)題，由于其目標(biāo)函數(shù)的定義形式，無(wú)法給出嚴(yán)格的解析梯度。為了使梯度下降成為可能，并盡可能提高算法的迭代效率，本文對(duì)目標(biāo)函數(shù)的梯度進(jìn)行近似以實(shí)現(xiàn)高效計(jì)算，并由此導(dǎo)出單次迭代內(nèi)構(gòu)型的幾何變化。在整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中，方向圖的旁瓣按強(qiáng)度被逐個(gè)抑制以降低構(gòu)型整體的PSLL。

1 信號(hào)模型

對(duì)于一個(gè)包含N個(gè)陣元的非均勻線陣，其AF定義即：

式中，u=sinθ即方位角正弦。k=2π/λ即系統(tǒng)工作頻率對(duì)應(yīng)的波數(shù)。xn和An則分別表示第n個(gè)陣元對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)和相對(duì)激勵(lì)。為了簡(jiǎn)化表述，本文采用如下矢量來(lái)表征陣列的整體構(gòu)型：

為了確保系統(tǒng)的工作效率，本文假設(shè)構(gòu)型始終采用最大增益進(jìn)行輻射。因此，式（1）中的An可以替換為An=ejkxnu0，其中u0即波束指向中心對(duì)應(yīng)的方位角正弦。因此，AF(u)可以被進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

由于波束掃描等效于AF在方位正弦域內(nèi)的平移，對(duì)于掃描范圍固定的非均勻線陣，其可以等效為一個(gè)波束指向固定但旁瓣區(qū)域被拉伸的陣列。為了簡(jiǎn)化符號(hào)，本文后續(xù)推導(dǎo)不區(qū)分u和u'。對(duì)于可見(jiàn)旁瓣區(qū)域內(nèi)的PSLL抑制問(wèn)題，其可以等價(jià)為：

式中，S={u|sinθmain≤|u|≤1+sinθmax}表示考慮波束偏轉(zhuǎn)后的可見(jiàn)旁瓣區(qū)域。θmain和θmax分別表示波束主瓣邊緣和最大掃描角度。dmin代表了綜合過(guò)程中允許的最小陣元間距，而F(u)為修正后的方向圖功率密度，其表達(dá)式即：

式中，B(u)為一個(gè)中心對(duì)稱的加權(quán)函數(shù)，其倒函數(shù)即反映了預(yù)期的旁瓣局部峰值的起伏形狀。不失一般性的，本文取B(u)≡1。

2 基于近似梯度下降的稀疏陣列優(yōu)化

梯度下降是尋找局部最優(yōu)最常用的方法。由于式（4）中目標(biāo)函數(shù)包含取最大處理，其精確梯度難以被解析求出。但是，峰值旁瓣所在的方位正弦umax在一個(gè)局部區(qū)域內(nèi)近似是固定不變的。因此，預(yù)期的梯度可以用F(u)在umax處的梯度近似表征，即：

容易證明，式（6）中的?RF(umax)可以進(jìn)一步展開(kāi)為：

式中，fn=Im[AF(umax)ejkxnumax]?；谠撎荻缺磉_(dá)式，待求解的構(gòu)型綜合問(wèn)題可以通過(guò)迭代求取AF并生成對(duì)應(yīng)的近似梯度實(shí)現(xiàn)。但是，該優(yōu)化搜索過(guò)程并未考慮優(yōu)化問(wèn)題中的最小間距約束。因此，除去對(duì)峰值旁瓣強(qiáng)度進(jìn)行梯度下降外，在迭代過(guò)程中還需要額外進(jìn)行構(gòu)型修正以確保算法輸出滿足式（4）中的間距約束。下文介紹算法在單次迭代內(nèi)的具體流程。

2.1 基于NuFFT的快速陣列因子計(jì)算

非均勻傅里葉變換（NuFFT）是對(duì)時(shí)域非均勻采樣的數(shù)據(jù)進(jìn)行快速頻譜分析的加速算法［5-6］。在將待計(jì)算方向圖的陣列坐標(biāo)按波長(zhǎng)λ進(jìn)行歸一化，并統(tǒng)一按因子2(1+sinθmax)進(jìn)行放縮后，其AF可以在一定數(shù)值精度下通過(guò)NuFFT快速求解。由于在優(yōu)化過(guò)程中稀疏陣列的構(gòu)型會(huì)不斷變化，本文無(wú)法使用針對(duì)固定采樣方式優(yōu)化的NuFFT算法?？紤]到高斯函數(shù)的時(shí)頻定域性和其計(jì)算高效性，可以采用基于高斯插值的NuFFT算法進(jìn)行快速計(jì)算，該算法在各種處理器架構(gòu)下均有快速實(shí)現(xiàn)。

2.2 近似梯度下降

梯度下降過(guò)程中一個(gè)關(guān)鍵的參數(shù)即下降的步長(zhǎng)。為了實(shí)現(xiàn)快速收斂，該參數(shù)通常使用牛頓法或類似方法進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整?？紤]到本文的優(yōu)化目標(biāo)并不是在umax處構(gòu)造一個(gè)方向圖零陷，該類方法在本文中并不適用。作為替代，本文選擇固定單次迭代內(nèi)的旁瓣功率抑制因子，即：

式中，σdB即設(shè)置的對(duì)數(shù)域下降步長(zhǎng)。在整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中，每一個(gè)強(qiáng)旁瓣的幅度按順序被逐個(gè)抑制，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)整個(gè)可見(jiàn)旁瓣區(qū)域內(nèi)的低PSLL。

為了進(jìn)一步提升算法的優(yōu)化效率，對(duì)于陣元個(gè)數(shù)較多的大型稀疏陣列，在單次迭代內(nèi)可以對(duì)多個(gè)高旁瓣進(jìn)行同時(shí)下降，即：

式中，umax即第i強(qiáng)旁瓣對(duì)應(yīng)的方位角正弦，其對(duì)應(yīng)的近似梯度和強(qiáng)度抑制因子在式（9）中分別用?i和σi表示。I表示了單次迭代內(nèi)同時(shí)進(jìn)行抑制的旁瓣個(gè)數(shù)，考慮到旁瓣分布的對(duì)稱性，以上排序以及旁瓣選取過(guò)程中僅靠考慮單側(cè)的可見(jiàn)旁瓣區(qū)域。需要注意的是，在對(duì)I進(jìn)行設(shè)置時(shí)，需要避免取值過(guò)大，否則容易導(dǎo)致優(yōu)化在局部最優(yōu)附近陷入無(wú)效震蕩。本文使用R'表示單次迭代優(yōu)化后的稀疏陣列構(gòu)型矢量，即：

基于式（9）可以對(duì)稀疏陣列構(gòu)型進(jìn)行迭代優(yōu)化。當(dāng)取I=1時(shí)，由ΔR導(dǎo)致的AF(umax)的變化量即：

式中，ξ是一個(gè)非常小非負(fù)量。容易發(fā)現(xiàn)，對(duì)于對(duì)稱陣列，其AF的相位在迭代后理論上保持不變。這是由于對(duì)稱構(gòu)型對(duì)應(yīng)的梯度同樣具備對(duì)稱性質(zhì)，因此迭代后構(gòu)型依然維持對(duì)稱性。然而，對(duì)于非對(duì)稱陣列，該操作顯然會(huì)導(dǎo)致抑制旁瓣位置的相位變化。由于不需要給出目標(biāo)AF的相位，本文所提算法對(duì)初始構(gòu)型的對(duì)稱性并無(wú)要求。需要注意的是，優(yōu)化過(guò)程中對(duì)稱構(gòu)型的保持特性僅在理論上成立，在實(shí)際優(yōu)化過(guò)程中由于數(shù)值誤差的累積，構(gòu)型會(huì)逐步退化為非對(duì)稱構(gòu)型。如果需要保持構(gòu)型的對(duì)稱性，則需要在迭代后消除數(shù)值誤差，即：

式中，ΔRRev即將ΔR中元素按對(duì)稱性進(jìn)行對(duì)調(diào)得到的對(duì)偶修正量。對(duì)于按排列順序編號(hào)的陣列，其即ΔR的反向列向量。

2.3 迭代后構(gòu)型修正

以上旁瓣抑制過(guò)程并未考慮陣元間距約束。因此，迭代后構(gòu)型可能無(wú)法滿足初始的構(gòu)型約束，需要進(jìn)行額外修正。為了減少修正對(duì)迭代后方向圖的影響，修正處理帶來(lái)的構(gòu)型變化量需要盡可能小。不難發(fā)現(xiàn)，該構(gòu)型修正可以表示為如下優(yōu)化問(wèn)題：

式中，x?n=1，…，N即R?=R″+ΔR'中的對(duì)應(yīng)元素。由于可行域非凸，無(wú)法嚴(yán)格求取式（13）對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，本文選擇對(duì)其進(jìn)行梯度下降求解。此時(shí)，構(gòu)型修正對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)即：

式中，relu(x)=xε(x)。式（14）對(duì)應(yīng)的梯度即：

由于需要對(duì)所有組合進(jìn)行求和，當(dāng)所有陣元均分布在長(zhǎng)度為dmin的線段上時(shí)，式（15）對(duì)應(yīng)的最差復(fù)雜度為o(n2)。但在實(shí)際的綜合過(guò)程中，由于僅相鄰的陣元之間的距離可能小于dmin，因此式（15）實(shí)際的計(jì)算復(fù)雜度為o(n)。考慮到構(gòu)型修正的效率，以及對(duì)輸出構(gòu)型性能的影響，本文統(tǒng)一取波長(zhǎng)λ的千分之一作為梯度下降的步長(zhǎng)。

2.4 完整迭代過(guò)程

由于目標(biāo)函數(shù)自身的非線性特征，僅當(dāng)取較小的σdB才可以確保在優(yōu)化搜索過(guò)程中實(shí)現(xiàn)平滑的PSLL下降，但這同樣會(huì)極大地惡化算法的優(yōu)化效率。為了平衡搜索效率以及收斂質(zhì)量，可以對(duì)迭代過(guò)程的震蕩行為進(jìn)行檢測(cè)進(jìn)而完成對(duì)算法收斂性的判斷。為了實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，本文將迭代進(jìn)行分組，并通過(guò)分析當(dāng)前組內(nèi)迭代貢獻(xiàn)的PSLL下降量判斷算法是否收斂。結(jié)合前面各小節(jié)的介紹，整體算法流程如圖1所示。

圖1 稀疏構(gòu)型優(yōu)化流程圖

3 數(shù)值仿真

由于本文所提算法需要在每次迭代內(nèi)完成近似梯度計(jì)算，而這需要得到當(dāng)前陣列構(gòu)型在整個(gè)旁瓣區(qū)域內(nèi)的AF。因此，制約算法效率的關(guān)鍵因素在于對(duì)稀疏激勵(lì)進(jìn)行的頻譜分析。得益于一維高斯插值和FFT的高效性，本文可以對(duì)所提算法的統(tǒng)計(jì)性能進(jìn)行分析，并和傳統(tǒng)的陣列綜合算法進(jìn)行對(duì)比。為了確保算法可以收斂，且保持參數(shù)一致性，本小節(jié)后續(xù)仿真案例中均采用固定的分組長(zhǎng)度K=2 000，此外迭代的收斂門限取1×10-4dB。

3.1 案例一

本文首先對(duì)一個(gè)包含N=41陣元的稀疏線陣進(jìn)行綜合，綜合過(guò)程中要求相鄰陣元的最小間距容限為dmin=0.5λ。該陣列的最大掃描角度為60°，故而等效后的可見(jiàn)波瓣區(qū)域范圍為|u|≤1.866。此外，將待設(shè)計(jì)的主瓣區(qū)域設(shè)置為|u|≤0.029 2，當(dāng)波束指向法向方位時(shí)，其對(duì)應(yīng)的方位角范圍約為3.3°。

案例一算法輸出方向圖如圖2所示。為了避免優(yōu)化過(guò)程中主瓣過(guò)窄導(dǎo)致算法陷入較差的局部最優(yōu)，算法采用在［-15λ，15λ］區(qū)間上隨機(jī)均勻采樣的方式得到初始構(gòu)型R0，為了提升算法優(yōu)化效果，并兼顧優(yōu)化效率，優(yōu)化過(guò)程中采用2組參數(shù)：

圖2 案例一算法輸出方向圖

1）快速收斂階段：取同時(shí)下降旁瓣數(shù)I=2并取抑制步長(zhǎng)σdB=-0.1。

2）精密搜索階段：同時(shí)下降旁瓣數(shù)不變，僅將抑制步長(zhǎng)減小為σdB=-0.01。

將上述優(yōu)化過(guò)程重復(fù)500次，圖2給出了對(duì)應(yīng)的最優(yōu)結(jié)果以及最差優(yōu)化結(jié)果。在最優(yōu)結(jié)果中，算法有效地將旁瓣能量均勻地分布在整個(gè)旁瓣區(qū)域內(nèi)；而最差結(jié)果中，則僅在可見(jiàn)旁瓣區(qū)域兩端獲取了等波紋旁瓣，而整體存在較為明顯的起伏。該起伏主要是由于構(gòu)型修正和旁瓣抑制相互矛盾導(dǎo)致的。如果去除最小間距約束，則最差構(gòu)型可以被進(jìn)一步優(yōu)化。為了更加清晰地展現(xiàn)算法的優(yōu)化性能，本文將間距約束和忽略間距約束情況下的輸出PSLL進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并給出其對(duì)應(yīng)的累積概率密度函數(shù)（CDF）曲線，案例一算法輸出PSLL統(tǒng)計(jì)曲線如圖3所示。

圖3 案例一算法輸出PSLL統(tǒng)計(jì)曲線

由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，所提算法對(duì)隨機(jī)初始化構(gòu)型的平均輸出PSLL為-15.95 dB。相比之下，忽略間距約束可以將輸出PSLL整體降低約1 dB，并且減小輸出中高PSLL的托尾范圍。這同樣從側(cè)面反映了間距約束和旁瓣抑制之間相互矛盾導(dǎo)致算法提前陷入震蕩。為了對(duì)比所提算法和傳統(tǒng)稀疏陣列構(gòu)型綜合算法在優(yōu)化效率上的區(qū)別，本文同樣采用粒子群算法對(duì)相同的綜合需求進(jìn)行了優(yōu)化，對(duì)應(yīng)的CDF同樣繪制于圖3。其中，粒子群算法中共使用了100個(gè)搜索粒子，并且總共進(jìn)行了1 000輪次的迭代搜索。雖然粒子群算法的執(zhí)行開(kāi)銷顯著高于本文所提算法，但本文算法依然有約1 dB的性能優(yōu)勢(shì)。這從側(cè)面反映了本文算法通過(guò)利用待求解問(wèn)題的局部解析性質(zhì)提升了優(yōu)化搜索的效率，而啟發(fā)式搜索算法面對(duì)該規(guī)模的綜合任務(wù)陷入維度爆炸，難以給出理想的綜合輸出。

3.2 案例二

為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法對(duì)大型稀疏陣列的綜合能力，在仿真案例二中，本文將陣元個(gè)數(shù)增加為N=301，并且將主瓣區(qū)域收縮至|u|≤0.003 2，其對(duì)應(yīng)的法向方位波束寬度約為0.37°。此外，其余約束條件和仿真案例一保持一致。類似的，整個(gè)優(yōu)化過(guò)程同樣分為2個(gè)階段，且參數(shù)和案例一保持一致。其中，僅將同時(shí)下降旁瓣個(gè)數(shù)增加為I=10以平衡旁瓣個(gè)數(shù)增多導(dǎo)致的搜索效率下降。由于分辨率差距較大，在進(jìn)行初始化時(shí)，選擇在［-145λ，145λ］范圍內(nèi)對(duì)初始構(gòu)型進(jìn)行均勻采樣。

圖4給出了案例二500次仿真中的最優(yōu)和最差結(jié)果。可以發(fā)現(xiàn)，2者基本都實(shí)現(xiàn)了旁瓣能量在整個(gè)區(qū)域內(nèi)的均勻分布，僅局部分布特征存在差異。此外，最差構(gòu)型中同樣并未出現(xiàn)如案例一中的陷入較差局部最優(yōu)的現(xiàn)象。這可以用大型陣列自由度高、局部最優(yōu)性質(zhì)差距不大來(lái)解釋。

圖5給出了所提算法輸出PSLL的統(tǒng)計(jì)性能。可以發(fā)現(xiàn)，算法整體輸出的PSLL變化范圍較案例一大幅減小，反映了算法對(duì)大型陣列進(jìn)行綜合時(shí)具有更好的穩(wěn)定性。

圖5 案例二算法輸出PSLL統(tǒng)計(jì)曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

本文將采用均勻激勵(lì)的線性陣列綜合問(wèn)題拆解為逐旁瓣抑制，并利用近似梯度下降完成迭代構(gòu)型優(yōu)化調(diào)整。通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析，并和其余方法對(duì)比，驗(yàn)證了本文算法在效率上的優(yōu)勢(shì)，并反映了算法對(duì)不同尺度陣列的綜合效果。后續(xù)研究將著重把算法推廣至更為一般的平面陣列，并對(duì)迭代調(diào)整前的構(gòu)型初始化方法展開(kāi)研究。