沈建國,陳志東,張 強(qiáng),沈永進(jìn)

(1.天津大學(xué)微電子學(xué)院,天津300072;2.中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,山東青島266580)

聲波測井理論研究中,井筒固有頻率的發(fā)現(xiàn)是第一個(gè)里程碑[1-2],復(fù)極點(diǎn)的貢獻(xiàn)和井內(nèi)、外聲場分布的獲得是另外兩個(gè)里程碑[3-4]。固有頻率的發(fā)現(xiàn)使人們認(rèn)識到井筒對聲波測井的頻率具有很強(qiáng)的選擇性;復(fù)極點(diǎn)的貢獻(xiàn)使我們跳出了認(rèn)識上的局限:只有響應(yīng)函數(shù)的實(shí)極點(diǎn)才描述聲波傳播,波數(shù)復(fù)平面上的所有極點(diǎn)都對響應(yīng)有貢獻(xiàn),復(fù)極點(diǎn)對應(yīng)的泄漏模式波對近場影響大,不能忽略[5-6]。復(fù)極點(diǎn)的貢獻(xiàn)使得聲波測井理論與數(shù)字信號處理的線性系統(tǒng)函數(shù)(由所有復(fù)極點(diǎn)和零點(diǎn)的模和復(fù)角組成)理論建立了緊密的聯(lián)系。另外,復(fù)極點(diǎn)還進(jìn)一步補(bǔ)充了井內(nèi)液體模式波的雙曲線在低波數(shù)區(qū)域的分布[6]。

瞬態(tài)激發(fā)波形的頻譜連續(xù),在聲波測井、瞬變電磁測井[7-9]響應(yīng)中,頻率是一個(gè)自變量,不是常數(shù),聲波測井和瞬變電磁測井響應(yīng)函數(shù)在波數(shù)復(fù)平面、頻率復(fù)平面上的所有極點(diǎn)都對響應(yīng)有貢獻(xiàn),特別是固有頻率附近的復(fù)極點(diǎn),構(gòu)成聲波測井地層縱波響應(yīng)的主要成分。瞬變電磁測井的重點(diǎn)研究對象也是復(fù)極點(diǎn)的響應(yīng)[8-9]。

瞬態(tài)激發(fā)的井內(nèi)、外聲場分布使我們發(fā)現(xiàn)井內(nèi)一次激發(fā),井外地層中有多個(gè)地層縱波和橫波向外傳播[6],這直觀地告訴我們:在井內(nèi)液體中的一次激發(fā)在井壁被多次反射,每次反射在地層中都激發(fā)出縱、橫波,導(dǎo)致多個(gè)地層縱波和橫波在地層中傳播,當(dāng)其沿井壁傳播時(shí),通過邊界條件,在井內(nèi)液體中有多個(gè)對應(yīng)的縱、橫波耦合波,這些耦合波同相疊加(在固有頻率處)產(chǎn)生共振響應(yīng)。瞬變電磁場在井內(nèi)激發(fā)以后,同樣具有這種特征,每次在井壁反射都會(huì)在井內(nèi)、外激發(fā)響應(yīng),所有反射響應(yīng)和耦合響應(yīng)的疊加構(gòu)成最終的響應(yīng),即瞬變電磁響應(yīng)也是在井壁被多次反射后由井內(nèi)的反射響應(yīng)和耦合響應(yīng)疊加形成的[7-9]。

現(xiàn)有聲波測井理論采用頻率為常數(shù)時(shí)波數(shù)的單變量復(fù)變函數(shù)[1-5]進(jìn)行分析,得到單頻正弦波激勵(lì)的響應(yīng)[6,10-16]。根據(jù)Fourier變換原理,瞬態(tài)激發(fā)的所有頻率的響應(yīng)(正弦穩(wěn)態(tài))疊加得到瞬態(tài)響應(yīng)[6,13-18]。這個(gè)結(jié)果在單變量線性系統(tǒng)中成立,對于平面液-固界面的聲波傳播也成立[13-14],因?yàn)椴〝?shù)(k)與頻率(f)之間的關(guān)系只有縱波、橫波和液體波速度(v)組成的3個(gè)簡單的線性關(guān)系k=fv,三者均是連續(xù)的。在聲波測井中,井壁對徑向傳播的聲波多次反射導(dǎo)致徑向波數(shù)只能取離散值,構(gòu)成井筒固有頻率。井內(nèi)液體中的聲波還必須滿足液體波動(dòng)方程,通過分離變量法得到頻率和波數(shù)之間的一個(gè)雙曲線關(guān)系。而井壁對徑向傳播聲波連續(xù)的無數(shù)次反射在地層中形成無數(shù)個(gè)縱、橫波,其頻率與波數(shù)是線性關(guān)系。井內(nèi)液體中有無數(shù)個(gè)縱、橫波的耦合波,對應(yīng)的雙曲線和直線相交,交點(diǎn)處這兩種關(guān)系都必須滿足,導(dǎo)致頻率和波數(shù)平面上特有的分布,同時(shí),還產(chǎn)生瞬態(tài)響應(yīng)。

圓柱邊界條件導(dǎo)致自變量k和f之間有多種函數(shù)關(guān)系,在f-k平面內(nèi)表現(xiàn)為曲線或直線。這些關(guān)系對應(yīng)于波動(dòng)方程和單變量復(fù)變函數(shù)中的支點(diǎn),并與井外地層中的縱、橫波(和套管波)的耦合波相對應(yīng)。

頻率作為自變量后,瞬態(tài)聲波測井響應(yīng)是兩個(gè)變量的復(fù)變函數(shù)。多復(fù)變函數(shù)與單復(fù)變函數(shù)有顯著的區(qū)別,因?yàn)槎鄰?fù)變?nèi)兒瘮?shù)的性質(zhì)在很大程度上由定義域的幾何和拓?fù)湫再|(zhì)(自變量之間的函數(shù)關(guān)系)所制約,其研究也由局部性質(zhì)到整體性質(zhì)逐步轉(zhuǎn)移[19]。

井筒對徑向傳播聲波多次反射后導(dǎo)致其反射系數(shù)和透射系數(shù)只在固有頻率處有較大幅度,形成峰,產(chǎn)生共振響應(yīng),響應(yīng)函數(shù)的極值沿雙曲線分布。本文從此入手,討論井筒固有頻率對聲波傳播的影響。用聲波測井響應(yīng)的二維幅度譜的極值分布討論地層縱、橫波耦合波和套管井各種模式波的耦合波。沿地層縱波或套管波速度線取二維譜獲得地層縱波耦合波或套管波的頻譜,其在固有頻率附近有單峰,峰的附近頻譜是斷開的,兩側(cè)是不同的地層縱波模式波或套管井模式波,該斷開的頻譜峰構(gòu)成地層縱波或套管波的共振響應(yīng),與井和地層參數(shù)有關(guān),決定首波波形形狀,攜帶了井和地層的信息;用指數(shù)函數(shù)的頻譜擬合斷開的頻譜峰,可獲得縱波或套管波波形包絡(luò)線隨時(shí)間的衰減系數(shù)。該衰減系數(shù)綜合描述了地層的物理衰減和聲速,對巖性敏感,可用于固井質(zhì)量和非常規(guī)油氣藏評價(jià)。改變套管井幾何參數(shù),套管固體內(nèi)各種模式波在f-k平面上將雙曲線形狀的極值分布以各種方式截?cái)?形成不同分布形態(tài)的耦合波。在截?cái)辔恢酶浇却?形成峰,響應(yīng)具有共振特征。

1 圓形井筒的反射、透射系數(shù)

裸眼井軸心激發(fā)的振動(dòng)沿半徑方向在井內(nèi)液體中傳播到井壁時(shí),其反射和透射系數(shù)不是常數(shù),隨頻率f變化,具有一系列峰。圖1a是裸眼井(其參數(shù)見表1)中聲波只沿徑向傳播時(shí)的廣義反射系數(shù)R、透射系數(shù)T(直接用軸對稱的徑向位移求解)。圖1b是平面界面和圓形界面反射、透射示意。平面波垂直入射到平面界面時(shí)只有一次反射、透射(反射系數(shù)R1D、透射系數(shù)T1D是常數(shù)),而軸心上激發(fā)的柱面波在圓柱界面上有無數(shù)次反射、透射,其反射系數(shù)和透射系數(shù)均隨頻率變化,在固有頻率處形成峰,即廣義反射和透射系數(shù)在此均達(dá)到極大值,其中反射系數(shù)R很大,除以10(R/10)以后與T繪制在一起。

圖1 平面界面和圓形界面反射系數(shù)和透射系數(shù)隨頻率的變化(a)和反射、透射示意(b)

表1 裸眼井參數(shù)

頻譜峰所在的頻率為井筒的固有頻率。二維圓形界面只對固有頻率有比較大的反射、透射系數(shù),井和地層內(nèi)的響應(yīng)只在固有頻率處幅度大,構(gòu)成共振響應(yīng)。

在井內(nèi)軸心激發(fā)的振動(dòng)能量沿徑向傳播時(shí)同時(shí)到達(dá)井壁,同時(shí)反射,反射波(能量)在圓心聚焦后繼續(xù)沿半徑傳播到井壁,再次反射、透射,……。每次反射、透射均有能量進(jìn)入地層,這樣的過程一直重復(fù),直到井內(nèi)液體的振動(dòng)能量全部穿過井壁進(jìn)入地層。井內(nèi)液體中的這種多次反射、傳播過程導(dǎo)致了井筒固有頻率fs,用縱波勢函數(shù)求解時(shí)它由Bessel函數(shù)J1(x)的零點(diǎn)xs確定[1,5],直接用位移求解(1)直接用位移求解:對于聲波測井響應(yīng),通常用勢函數(shù)求解,因?yàn)閯莺瘮?shù)分別滿足縱波和橫波波動(dòng)方程,液體中點(diǎn)聲源激發(fā)的勢函數(shù)是球面波。實(shí)際的聲源激發(fā)位移和應(yīng)力,只對徑向位移ur求解時(shí),作為標(biāo)量函數(shù)的ur也滿足縱波波動(dòng)方程,是零階Bessel方程,出現(xiàn)J0的零點(diǎn);將ur作為矢量函數(shù)urer時(shí),其矢量波動(dòng)方程為一階Bessel方程,出現(xiàn)J1的零點(diǎn)。一般情況下只用J1的零點(diǎn),但是,最近將純數(shù)值解的聲波測井響應(yīng)波形變換到f-k平面時(shí)發(fā)現(xiàn)了大量的零點(diǎn)。懷疑聲波測井響應(yīng)波形中這兩個(gè)零點(diǎn)都可能存在,都構(gòu)成共振響應(yīng)。(對應(yīng)球形聲源激發(fā)球面形狀的位移到達(dá)剛性壁井壁)時(shí),xs是零階Bessel函數(shù)J0(x)的零點(diǎn)。這兩種零點(diǎn)不在一起,均能構(gòu)成井筒的固有頻率,對應(yīng)共振響應(yīng)。

(1)

式中:vf是井內(nèi)液體的聲波速度;a是井半徑。因?yàn)榉瓷?、透射系?shù)只在固有頻率處形成峰,幅度大,因此,其對應(yīng)的井內(nèi)液體響應(yīng)也只在固有頻率處幅度大、形成共振響應(yīng),其它頻率幅度小,頻譜峰的形狀決定了響應(yīng)波形包絡(luò)線的形狀。該現(xiàn)象由聲波在井內(nèi)液體中沿徑向傳播所導(dǎo)致,因此響應(yīng)波形形狀和幅度受井內(nèi)液體的衰減系數(shù)和地層與井內(nèi)液體聲速的差等因素影響。

2 剛性壁井中聲波響應(yīng)的二維譜

井內(nèi)液體是圓柱形狀,聲波在其軸線上激發(fā)后,除了沿半徑方向傳播、反射形成固有頻率外,還沿z方向傳播,井內(nèi)液體中的波數(shù)由徑向波數(shù)kr和z方向波數(shù)k組成,徑向波數(shù)(因?yàn)閺较蜻吔?取一系列的離散值,z方向的波數(shù)k(沒有z方向的界面)隨頻率f連續(xù)變化。用實(shí)軸積分方法[5]求解,井內(nèi)液體的響應(yīng)(勢函數(shù))是k與角頻率ω的雙重積分:

(2)

其中,第一項(xiàng)積分是點(diǎn)源激發(fā)的球面波,第二項(xiàng)積分是井壁導(dǎo)致的廣義反射波。式中:r是柱坐標(biāo)的半徑;H0和J0分別是零階Hankel函數(shù)和Bessel函數(shù);A是廣義反射系數(shù)。(2)式中方括號內(nèi)的函數(shù)是變量k,ω的(雙變量)復(fù)變函數(shù),稱為二維譜。

先不考慮井外固體介質(zhì)中傳播的聲波,只研究圓柱形狀的井內(nèi)液體中聲波的傳播特征。設(shè)井壁為剛性壁(縱、橫波速度為無窮大)或圓周液體外是自由邊界、應(yīng)力為0或薄壁管;它們都沒有沿z方向傳播的聲波。軸心上的點(diǎn)聲源在圓柱形井內(nèi)液體中激發(fā)的聲波測井響應(yīng)(壓強(qiáng))的二維幅度譜如圖2所示,圖2a 對應(yīng)的是5.5in的剛性壁,圖2b對應(yīng)的是7.0in的薄壁管(1in≈2.54cm)。f-k平面上的二維幅度譜均沿一組雙曲線及其漸近線分布,漸近線是過原點(diǎn)的斜直線,其斜率為1/vf,是井內(nèi)液體的聲波時(shí)差(液體聲速vf的倒數(shù)),對應(yīng)液體直達(dá)波或Stoneley波在f-k平面內(nèi)的分布;雙曲線與橫軸的交點(diǎn)是井筒的固有頻率((1)式)。雙曲線滿足的方程由液體的波動(dòng)方程通過分離變量法獲得[6-14]:

圖2 圓柱形液體中傳播的模式波測井響應(yīng)的二維幅度譜

(3)

式中:xs/a是離散的徑向波數(shù),由剛性壁和薄壁管的邊界條件決定。其中,k和f均是自變量,構(gòu)成f-k平面。當(dāng)k=0(描述沿半徑方向傳播的聲波,在徑向產(chǎn)生多次反射)時(shí),雙曲線與頻率軸相交,交點(diǎn)的頻率為井筒固有頻率fs。k>0時(shí)描述井內(nèi)液體中沿傾斜方向(k,xs/2πa)傳播的聲波,k隨頻率改變,不同頻率的聲波傳播方向不一樣。井內(nèi)液體響應(yīng)的幅度譜只沿雙曲線和漸近線分布,只在這些位置響應(yīng)幅度比較大,其它區(qū)域幅度很小;f-k平面內(nèi)的雙曲線分布是圓柱形狀的液體中能夠傳播的聲波模式波——井內(nèi)液體模式波,是圓柱邊界對井內(nèi)液體中的聲波無數(shù)次反射后導(dǎo)致的自變量k,f之間的內(nèi)在約束關(guān)系;雙曲線形狀的二維譜隨頻率連續(xù)變化,其漸近線是過原點(diǎn)斜率為1/vf的直線,是Stoneley波的頻譜,也隨頻率連續(xù)變化。

3 自由套管的二維譜

當(dāng)井外是非剛性的固體介質(zhì)時(shí),其中有聲波傳播,例如地層縱波、套管波等;通過井壁邊界,在井內(nèi)液體中存在與其耦合的聲波,該耦合聲波沿z方向的傳播速度v與井外固體的傳播速度相同(滿足邊界條件),其波數(shù)k=f/v,在f-k平面中,這是一條過原點(diǎn)的直線,其斜率為1/v。當(dāng)聲速v大于井內(nèi)液體聲速vf時(shí),其斜率1/v小于1/vf,該直線與圖2的雙曲線相交,聲波測井響應(yīng)的二維譜極值沿該直線分布。當(dāng)聲速小于井內(nèi)液體聲速vf時(shí),其斜率1/v大于1/vf,位于圖2的雙曲線漸近線即Stoneley波斜線的上方,與雙曲線不相交。

圖3a是自由套管(參數(shù)見表2,套管內(nèi)、外均只有液體)內(nèi)聲波測井響應(yīng)的二維幅度譜。與圖2相比,圖3a中多了兩個(gè)模式波。一個(gè)是以1/vt為斜率、過原點(diǎn)的直線,位于圖3a的下方,其速度vt大于液體聲速vf,與雙曲線相交。這是套管固體中的模式波沿z方向以套管波速度vt(接近常數(shù))傳播時(shí),通過邊界在井內(nèi)液體耦合的聲波——聲波測井的套管波,簡稱套管波。另一個(gè)在低頻區(qū)域,其速度v小于液體聲速vf,位于Stoneley波斜線(井內(nèi)液體聲速vf的斜直線)之上,是一段向上翹起的曲線,稱為第二Stoneley波,其相速度隨頻率連續(xù)變化。

圖3 套管波(直線)與井內(nèi)液體模式波(雙曲線)的耦合以及套管波的幅度譜

表2 套管參數(shù)

從圖3a的二維幅度譜的極值分布可以看出:斜直線與雙曲線組相交,在井內(nèi)液體中形成套管井模式波。其二維幅度譜表現(xiàn)為:在交點(diǎn)處極值分布的雙曲線和斜直線均被斷開。斷點(diǎn)兩側(cè)屬于不同的套管井模式波[12,15-16],從左到右觀察,從第1個(gè)雙曲線下面的部分(見A點(diǎn)周圍的分布)開始,沿雙曲線向上接近交點(diǎn)時(shí)向右轉(zhuǎn)彎到斜直線(B點(diǎn)周圍),沿斜直線到第2個(gè)雙曲線(見C點(diǎn)周圍)時(shí),向上轉(zhuǎn)彎到第2條雙曲線,構(gòu)成一個(gè)連續(xù)的套管井模式波分布[12,15-16]。在交點(diǎn)(見C點(diǎn)周圍)的斜直線下面,從D點(diǎn)周圍的極值分布開始,極值分布沿第2個(gè)雙曲線向上,在交點(diǎn)即斷開位置(見C點(diǎn)周圍)的下方向右轉(zhuǎn)彎到斜直線(見E點(diǎn)周圍),沿斜直線到第3個(gè)雙曲線后向上轉(zhuǎn)彎到第3個(gè)雙曲線,形成第2個(gè)套管井模式波,以此類推。每個(gè)套管井模式波均由相鄰的兩段雙曲線和一段斜直線組成,隨頻率連續(xù)變化,與套管井中套管模式波的頻散曲線對應(yīng)[12,15-16]。在交點(diǎn)的上、下分別有兩個(gè)套管井模式波分別轉(zhuǎn)彎,一個(gè)從(斜直線下面的)雙曲線(見D點(diǎn)周圍的分布)向右轉(zhuǎn)向斜直線(見E點(diǎn)周圍),另一個(gè)從斜直線(B點(diǎn)周圍)向上轉(zhuǎn)向雙曲線,見C點(diǎn)周圍的極值分布。交點(diǎn)兩側(cè)沿斜直線的部分其速度等于或接近于套管波速度,是聲波測井的套管波;沿套管波斜直線(速度vt斜直線周圍)取二維譜的極值得到套管波的頻譜,其幅度在交點(diǎn)附近最大,離開交點(diǎn)后幅度快速減小,并且該頻譜在交點(diǎn)附近斷開,不連續(xù),如圖3b所示(套管井Ⅰ界面膠結(jié)差,不同水泥密度時(shí)的套管波頻譜);交點(diǎn)兩側(cè)沿斜率為1/vt的斜直線部分的二維譜隨頻率和波數(shù)的變化構(gòu)成套管波(一個(gè)完整)的頻譜峰和波數(shù)峰。頻譜峰及其形狀決定了套管波的波形形狀,波數(shù)峰的形狀決定了陣列聲波測井波形幅度隨z的變化規(guī)律。

在雙曲線和斜直線的交點(diǎn)位置二維幅度譜沒有極值分布,斜線之上的雙曲線(見C點(diǎn)周圍的極值分布)與交點(diǎn)左側(cè)的斜直線(見B點(diǎn)周圍的極值分布)連在一起,并一直延伸到左邊的雙曲線下面(見A點(diǎn)周圍),構(gòu)成一個(gè)連續(xù)的頻譜;斜線之下的雙曲線(見D點(diǎn)周圍)向右轉(zhuǎn)彎到斜直線(見E點(diǎn)周圍),并最終與右邊的雙曲線向上變化連接在一起,構(gòu)成另一個(gè)連續(xù)的頻譜。在f-k平面上的這些極值分布刻畫了套管井內(nèi)的聲波測井響應(yīng),描述了井筒的圓柱形狀液體對套管波的影響,是聲波測井響應(yīng)函數(shù)(即(1)式)的雙變量復(fù)變函數(shù)自身的特征,或者說描述井內(nèi)液體中的套管波的雙變量復(fù)變函數(shù)的極值分布自身進(jìn)行了改變,其目的是實(shí)現(xiàn)套管波的耦合,也是套管固體內(nèi)傳播的聲波在井內(nèi)液體耦合后所形成的耦合波的存在方式,即在交點(diǎn)處二維幅度譜沒有極值分布,聲波測井響應(yīng)為0[6]。文獻(xiàn)[6]指出:在交點(diǎn)位置存在孤立的實(shí)極點(diǎn),對應(yīng)正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。在交點(diǎn)左右兩側(cè)沿套管波速度的斜線周圍有幅度較大的極值分布,其斜率與套管波時(shí)差接近(略有差別),隨著頻率的增加,相速度從大于套管波速度連續(xù)變化到小于套管波速度,在相鄰兩個(gè)雙曲線的中間位置與套管波的斜直線相交,該交點(diǎn)處的相速度等于套管波速度,但是幅度很小。幅度最大的位置在斜線與雙曲線的交點(diǎn)附近,但是其極值分布在此轉(zhuǎn)彎(相速度f/k變化小,極值分布的斜率(即群速度)劇烈變化),沿斜直線的極值分布被斷開。沿套管波速度斜線(周圍或在一定的區(qū)域內(nèi))由二維譜幅度得到聲波測井的套管波頻譜,其在幅度最大位置附近斷開,形成斷開的頻譜峰。這是聲波測井套管波頻譜的一個(gè)主要特點(diǎn)。裸眼井中地層縱波耦合波的頻譜也具有該特征,其頻譜峰值在斷開位置的右側(cè)。

上述套管波的斜直線與雙曲線交點(diǎn)處二維譜的極值分布與基于單變量復(fù)變函數(shù)的聲波測井理論所得到的頻譜[6]有較大的區(qū)別。在套管井中套管波的速度恒定,對應(yīng)于二維譜中的斜直線,裸眼井中地層的縱波速度恒定,也對應(yīng)于二維譜中的斜直線?；趩巫兞縦的聲波測井理論顯示,裸眼井響應(yīng)中,雙曲線與直線的交點(diǎn)是孤立的實(shí)極點(diǎn)[6],響應(yīng)幅度較大[5-6],在雙曲線與縱波斜直線的交點(diǎn)處達(dá)到極大值?？v波支點(diǎn)的垂直割線積分隨頻率變化,在固有頻率處形成峰值[5],這些響應(yīng)都在縱波斜直線上。而圖3a所示的二維譜顯示,交點(diǎn)處的二維譜是錯(cuò)開的,交點(diǎn)及周圍沒有極值分布,偏離縱波線或套管波線后才有極值分布,并且極值位置偏離交點(diǎn),不在縱波或套管波斜線上。

對于裸眼井或膠結(jié)良好的套管井(套管波幅度小或沒有),二維譜中極值沿地層縱波速度線分布(以地層縱波速度的倒數(shù)為斜率)的幅度大,其單個(gè)頻譜峰形狀反映地層的物理衰減和縱波速度。用陣列聲波測井波形通過現(xiàn)代信號處理方法(Prony法)對測量波形建模,用指數(shù)函數(shù)的頻譜模擬斷開的單峰,將單峰的形狀轉(zhuǎn)換為綜合衰減系數(shù)(GAL),可直接指示地層的聲速和物理衰減,它對巖性變化靈敏,不同的巖性其幅度變化大。圖4是不同巖性的套管井固井質(zhì)量好時(shí)的聲波測井波形以及用首波處理的時(shí)差和GAL。從左到右第1道是聲波時(shí)差(DT)的分布,比較集中;第3道是GAL的分布,比較分散;第4道是從第1道、第3道分布中分別提取的DT和GAL曲線(GAL曲線被平滑),第5道是第1個(gè)波形的變密度圖,最右邊是模型井示意圖。這是用“一發(fā)八收”的陣列聲波測井儀器測量的結(jié)果,接收探頭間距為0.5ft(1ft≈0.3048m),最近的源距為2.5ft。模型的第2層是砂巖含油、第3層是砂巖含水,兩者的物理衰減系數(shù)不同,其GAL差異明顯。GAL是個(gè)全新的測井曲線,綜合描述了測井波形中首波的單個(gè)頻譜峰形狀,展現(xiàn)了首波波形形狀所攜帶的地層物理衰減和縱波時(shí)差信息,該參數(shù)除了用于固井質(zhì)量評價(jià)外,還可用于非常規(guī)油氣藏評價(jià)和裂縫識別。

圖4 套管模型井陣列聲波測井首波的聲波時(shí)差(DT)和綜合衰減系數(shù)(GAL)

套管厚度不同,聲波沿徑向在套管固體內(nèi)無數(shù)次反射形成的模式波特征不一樣,沿井軸方向傳播的速度特征發(fā)生改變,自變量f,k之間的函數(shù)關(guān)系隨之改變,耦合到井內(nèi)液體中的套管井模式波的分布也不一樣,在對應(yīng)的f-k平面上聲波測井響應(yīng)的二維幅度譜的極值分布發(fā)生明顯改變,即雙變量復(fù)變函數(shù)通過幅度和極值分布的變化展現(xiàn)了不同厚度套管內(nèi)的套管模式波的速度和幅度特征。表3是套管內(nèi)、外介質(zhì)的參數(shù)(h是套管厚度)。圖5給出了套管井聲波測井響應(yīng)的二維幅度譜分布。由圖5可以看出:當(dāng)套管厚度為0.5mm時(shí),二維譜中位于上面的Stoneley波和第二Stoneley波幅度小,套管波的斜直線將雙曲線截?cái)?圖5a);當(dāng)厚度增加到4.0mm時(shí),雙曲線的形狀發(fā)生了比較大的改變,在0～35kHz的頻率范圍內(nèi)雙曲線由3個(gè)增加到4個(gè),位于Stoneley波斜線上面的第二Stoneley波幅度增加(圖5b);當(dāng)套管厚度為10.0mm時(shí),二維譜中第二Stoneley波幅度明顯,低頻段相速度接近液體聲速(圖5c);當(dāng)套管厚度為30.0mm時(shí),二維譜中上部的雙曲線被截?cái)?Stoneley波幅度大,第二Stoneley波消失,在10kHz附近的兩個(gè)雙曲線之間的間距減小(圖5d);當(dāng)套管厚度為100.0mm時(shí),二維譜中上部截?cái)嚯p曲線的位置下移到橫波線vs之上,7kHz處的雙曲線逐漸消失,在28kHz處出現(xiàn)新的模式波分布(圖5e);當(dāng)套管厚度為300.0mm時(shí),二維譜中低波數(shù)段出現(xiàn)多個(gè)模式波,其在f-k平面的分布各異,將幅度大的黃色雙曲線截?cái)喑珊芏喽?圖5f);當(dāng)套管厚度為500.0mm時(shí),二維譜中截?cái)嚯p曲線的最上面的斜線位置下移到橫波線vs之下,橫波線vs以下出現(xiàn)更多的模式波分布,將3個(gè)雙曲線截?cái)喑啥鄠€(gè)線段(圖5g);當(dāng)套管厚度趨于無窮大時(shí),變成圖5h所示的裸眼井的二維譜,雙曲線只被地層縱波線vc和地層橫波線vs截?cái)?其它位置均是連續(xù)的,其中沿橫波線vs截?cái)嚯p曲線的特征明顯,沿縱波線vc截?cái)嚯p曲線的位置在圖5h中顯示不明顯,需要放大后才能顯示該截?cái)嗟奶卣鳌?/p>

圖5 套管厚度不同時(shí)套管內(nèi)液體響應(yīng)的二維譜

表3 套管內(nèi)外介質(zhì)參數(shù)

4 自由套管內(nèi)、外的聲場分布

為了對比圖5所示的自由套管內(nèi)、外的聲波分布和傳播過程,圖6給出了2種套管厚度的自由套管井內(nèi)、外液體和套管固體內(nèi)的聲場分布。圖6a是套管厚度為300.0mm時(shí)的聲場分布,可以看到井內(nèi)液體的反射波多次到達(dá)井壁產(chǎn)生的反射波和透射波,套管內(nèi)的縱、橫波到達(dá)外邊界產(chǎn)生的透射波和反射波,以及套管外液體的透射波。隨著時(shí)間的增加,套管和井內(nèi)外液體的聲波模式增多,疊加在一起形成復(fù)雜的聲場分布。圖6b是套管厚度為30.0mm時(shí)不同時(shí)刻的聲場分布。隨著套管厚度的減小,套管內(nèi)傳播的聲波發(fā)生了巨大變化,以套管模式波為主,其在井內(nèi)液體對應(yīng)的耦合波(測井的套管波)的波陣面分布也隨之發(fā)生巨大變化。

5 套管井Ⅰ界面膠結(jié)差的二維譜

用套管井模型,將水泥環(huán)和地層的半徑增大,見表4中所示參數(shù),改變套管厚度h計(jì)算井內(nèi)液體的二維譜,結(jié)果如圖7所示。因?yàn)樗喹h(huán)和地層半徑增大,其界面反射使得二維譜中有很多雙曲線形狀的模式波分布,它們的間距較小。隨著套管厚度的增加,套管的反射和套管內(nèi)模式波的影響逐漸顯著,逐步與圖5的二維譜形狀接近。

表4 套管井Ⅰ界面膠結(jié)模型計(jì)算參數(shù)(一)

從圖7可以看出:當(dāng)套管很薄,其厚度只有0.5mm時(shí),套管井的響應(yīng)主要是水泥環(huán)界面反射所引起的響應(yīng),因?yàn)榘霃奖容^大,雙曲線分布的間距很近,雙曲線很多(圖7a);當(dāng)套管厚度增加到4.0mm時(shí),套管的作用明顯,在二維譜中低頻區(qū)域出現(xiàn)第二Stoneley波,高頻區(qū)出現(xiàn)幅度比較大、集中的雙曲線黃色帶(圖7b);當(dāng)套管厚度增加到9.0mm時(shí),二維譜中低頻處仍然能夠看到很多類似雙曲線形狀的模式波分布,而高頻段集中在兩個(gè)雙曲線周圍,雙曲線被套管波截?cái)?圖7c);當(dāng)套管厚度為30.0mm時(shí),低頻區(qū)域的模式波幅度減小,右上角出現(xiàn)黃色雙曲線分布被截?cái)嗟那闆r,截?cái)辔恢贸尸F(xiàn)鋸齒狀,水泥環(huán)界面的反射作用仍然有所體現(xiàn)(圖7d);進(jìn)一步增加套管厚度到70.0mm時(shí),套管井的模式波分布特征顯著,由水泥環(huán)和地層產(chǎn)生的密集雙曲線分布只在雙曲線被截?cái)嗟奈恢贸霈F(xiàn)(圖7e);當(dāng)套管厚度為100.0mm時(shí),出現(xiàn)了新的模式波分布,截?cái)嗵幦匀荒軌蚩吹矫芗植嫉碾p曲線痕跡(圖7f);當(dāng)套管厚度為400.0mm時(shí),水泥環(huán)的反射特征引起的鋸齒形狀的分布完全消失,在橫波線vs以上模式波分布是連續(xù)的,以液體速度線vf為漸近線,橫波線以下各種模式波將井內(nèi)液體的雙曲線截?cái)喑筛鞣N各樣的形狀,所有模式波幅度均在截?cái)辔恢?固有頻率)附近達(dá)到最大,形成頻譜峰,該頻譜峰的響應(yīng)具有共振特征(圖7g);圖7h是同一尺寸和參數(shù)的裸眼井的二維譜,圖7g中被截?cái)嗟碾p曲線分布形狀與裸眼井一致。

改變水泥環(huán)尺寸,見表5中所示參數(shù),套管井內(nèi)響應(yīng)的二維譜如圖8所示。當(dāng)套管很薄(厚度為

圖8 不同套管厚度時(shí)套管井響應(yīng)的二維譜(二)

表5 套管井Ⅰ界面膠結(jié)模型計(jì)算參數(shù)(二)

0.5mm)時(shí),二維譜仍然以雙曲線形式的模式波集中分布(圖8a),與圖7相比,模式波之間的間距加大了。薄套管的影響只表現(xiàn)在幾個(gè)模式波的幅度上(比較大)。當(dāng)厚度增加到4.0mm時(shí),套管引起的模式波分布集中在一起,形成黃色條帶(圖8b)。厚度進(jìn)一步增加后,套管井的模式波越來越集中,雙曲線被模式波截?cái)嗟奈恢贸霈F(xiàn)鋸齒狀的斷面(圖8c、圖8d)。隨著套管厚度的進(jìn)一步增加,鋸齒狀的分布越來越少(圖8e、圖8f)。

在圖8f中,當(dāng)套管厚度為100.0mm時(shí),在25～30kHz的頻率范圍內(nèi),二維譜右下角出現(xiàn)一個(gè)明顯的彎曲形狀(鐮刀型)模式波,圖5e中也有。改變套管厚度(80.0～150.0mm),套管井內(nèi)的二維譜變化如圖9所示,可以看出,在聲波測井的頻率區(qū)間內(nèi),二維譜分布有明顯的變化,截?cái)嚯p曲線的方式也有了新的變化(見圖9b右下角),圖9e、圖9f中出現(xiàn)雙曲線被豎直截?cái)嗟那闆r。

圖9 套管厚度為80.0～150.0mm之間的二維譜

當(dāng)套管厚度改變時(shí),套管固體內(nèi)的模式波發(fā)生改變,耦合到井內(nèi)液體的耦合波也隨之改變(圖6)。用套管厚度改變調(diào)整井內(nèi)液體耦合波f,k之間的函數(shù)關(guān)系,研究了井內(nèi)液體響應(yīng)的雙變量復(fù)變函數(shù)隨該函數(shù)關(guān)系的變化(圖7、圖8、圖9)。函數(shù)幅度、極值及其分布隨套管內(nèi)聲波傳播特征的改變而明顯變化。雙變量復(fù)變函數(shù)為了適應(yīng)套管內(nèi)傳播的各種模式波在井內(nèi)液體的耦合(滿足邊界條件)做出了相應(yīng)變化,這是聲波通過圓柱邊界條件耦合的結(jié)果,也是多變量復(fù)變函數(shù)的主要特點(diǎn)。聲波測井響應(yīng)的二維譜具體刻畫了井內(nèi)液體耦合波的特征。

6 聲波測井響應(yīng)的二維譜與耦合波

6.1 聲波測井瞬態(tài)響應(yīng)波形與固有頻率

聲波測井是在井內(nèi)液體中進(jìn)行的,測量的是瞬態(tài)聲源激發(fā)的瞬態(tài)響應(yīng)波形,采用陣列方式接收,能夠獲得沿z方向不同源距的瞬態(tài)響應(yīng)波形。

在井內(nèi)液體軸心激發(fā)的瞬態(tài)聲波沿徑向傳播到井壁后發(fā)生反射和透射,反射波向軸心匯聚后繼續(xù)沿徑向傳播,再次到達(dá)井壁發(fā)生反射和透射[6],無數(shù)次的反射和透射形成駐波解(用Bessel函數(shù)J0(x)描述[6]),井內(nèi)的響應(yīng)有別于無限大液-固平界面的響應(yīng);圓柱形井筒對徑向傳播聲波的每次反射都有能量透射到地層,井內(nèi)液體的振動(dòng)能量以無數(shù)次透射的形式進(jìn)入地層,不同于平界面的一次反射、透射(反射、透射系數(shù)為常數(shù))。圓柱形界面的無數(shù)次反射對瞬態(tài)振動(dòng)能量重新進(jìn)行了分配:只有井筒固有頻率才產(chǎn)生較大的反射和透射系數(shù),其它頻率的反射和透射系數(shù)很小,即軸對稱的聲波振動(dòng)能量只能以固有頻率共振的形式穿過圓柱界面進(jìn)入地層(套管、水泥環(huán)和地層)。聲源激發(fā)的其它頻率的能量在井內(nèi)液體中被無數(shù)次反射后轉(zhuǎn)變?yōu)榫补逃蓄l率的能量,然后再透射到地層中,使得井內(nèi)液體和地層中只有固有頻率的振動(dòng)能量較大。井和地層中所有頻率的響應(yīng)疊加構(gòu)成瞬態(tài)響應(yīng),其中,固有頻率的響應(yīng)大,其它頻率的響應(yīng)小。井筒具有頻率選擇和頻率重新采樣的功能,也有振動(dòng)能量重新分配的功能。就像沖擊有限長桿,聲波在其內(nèi)無數(shù)次反射后只能以其固有頻率振蕩或傳播振動(dòng)能量一樣,沖擊激勵(lì)中的所有激發(fā)頻率最后都只能以固有頻率的振動(dòng)方式來表現(xiàn),這是聲波(和電磁波)傳播的基本規(guī)律,是波動(dòng)方程解的基本特性。井內(nèi)液體只能有固有頻率的振動(dòng)能量和聲波傳播。在井內(nèi)液體中用固有頻率為主頻的聲源激發(fā)產(chǎn)生共振響應(yīng),共振波的幅度大,用其它頻率為主頻的聲源激發(fā)也只能在固有頻率處產(chǎn)生共振響應(yīng),共振波的幅度小。

聲波沿徑向的無數(shù)次反射過程以及由此產(chǎn)生的頻率選擇性在基于幾何聲學(xué)(滑行波理論)的聲波測井理論中沒有得到充分的認(rèn)識和討論,聲波測井傳統(tǒng)理論長期忽視這個(gè)基本規(guī)律。雖然用縱波支點(diǎn)的垂直割線積分也獲得了頻譜的共振峰,承認(rèn)首波具有共振特征,但是,所獲得的共振峰是連續(xù)的。聲波測井響應(yīng)函數(shù)中沿地層縱波線的極值分布對應(yīng)以地層縱波速度傳播的聲波,其頻譜是斷開的,如圖3所示,而且在單峰附近斷開,峰兩側(cè)是連續(xù)的極值,合在一起構(gòu)成首波頻譜的共振峰,但是峰兩側(cè)的分布并不屬于同一個(gè)井內(nèi)模式波。因此,沿縱波支點(diǎn)的垂直割線積分并沒有完全描述裸眼井縱波的響應(yīng),多年來人們無法對首波波形形狀及其所攜帶的地層物理衰減、時(shí)差等信息進(jìn)行有效開發(fā)利用。

井筒對沿z方向傳播的聲波同樣具有頻率選擇和過濾效應(yīng):位于井筒固有頻率附近的響應(yīng)幅度大,偏離井筒固有頻率響應(yīng)幅度小,所有的響應(yīng)均圍繞著固有頻率。地層或套管中傳播的各種模式波其傳播速度恒定時(shí),在f-k平面是直線,耦合到井內(nèi)液體后,在f-k平面上直線和井內(nèi)液體模式波的雙曲線相交,形成的極值分布是:井內(nèi)液體模式波的雙曲線和直線均被截?cái)?沿直線的響應(yīng)頻譜在其斷點(diǎn)附近形成峰,單個(gè)頻譜峰的響應(yīng)具有共振特征,響應(yīng)波形形狀完全由頻譜峰形狀決定。

當(dāng)激發(fā)探頭的頻帶較寬,在其頻率區(qū)間內(nèi)包含多個(gè)固有頻率時(shí),頻譜仍然只在固有頻率附近幅度大,形成峰;離散的頻譜峰合在一起類似于頻率采樣。多個(gè)頻譜峰響應(yīng)疊加后形成一個(gè)整體,此時(shí)頻譜中單個(gè)峰的響應(yīng)特征不變,整體頻譜的響應(yīng)是這些單個(gè)頻譜峰響應(yīng)的疊加,所形成的波陣面是連續(xù)的。激發(fā)頻帶越寬,頻譜峰越多,波陣面形狀越接近平面液-固界面的形狀,幾何聲學(xué)的條件逐步被滿足。當(dāng)激發(fā)的主頻較高,頻帶內(nèi)包含很多頻譜峰時(shí),響應(yīng)滿足幾何聲學(xué)條件,得到圖6所示的井內(nèi)液體耦合波波陣面(見圖6 中的斜直線),與井壁兩側(cè)界面相交形成X形,沿z方向以套管波速度傳播,波陣面形狀在傳播過程中保持不變。被井內(nèi)接收探頭接收時(shí),其波陣面在套管或地層中已經(jīng)超過了接收探頭所在源距,響應(yīng)波形所測量的地層位置不是滑行波所描述的地層位置,比接收探頭所在的源距稍遠(yuǎn)。實(shí)際儀器所測量的波形還受探頭半徑與井半徑的影響,因此,這些測量位置不同所引起的深度誤差很小,在實(shí)際應(yīng)用的1∶200的曲線圖中誤差不到1mm,通過簡單的校深或初始值設(shè)定就能將其掩蓋。

6.2 井內(nèi)液體中的耦合波

井外地層縱、橫波(面波)和套管的模式波沿界面在z方向傳播時(shí),通過邊界會(huì)耦合到井內(nèi)液體,各種耦合波和井內(nèi)液體中傳播的各次反射波疊加形成測井響應(yīng)。井壁邊界條件使得各個(gè)耦合波沿z方向以地層縱波、橫波或以套管模式波的速度傳播,在f-k平面是直線分布。同時(shí),圓柱形液體中的各個(gè)耦合波還滿足井內(nèi)液體的波動(dòng)方程以及邊界對徑向傳播聲波無數(shù)次反射導(dǎo)致的徑向離散波數(shù),波動(dòng)方程和徑向離散波數(shù)也構(gòu)成了自變量k,f的內(nèi)在關(guān)系:在f-k平面是雙曲線。井內(nèi)液體中的聲波測井響應(yīng)受這些關(guān)系影響,最終表現(xiàn)為:描述響應(yīng)的雙變量復(fù)變函數(shù)的極值沿雙曲線和直線分布,在雙曲線和直線的交點(diǎn)附近極值分布發(fā)生改變,出現(xiàn)新的二維幅度譜極值分布。這些改變后的極值分布與現(xiàn)有聲波測井理論(單變量k的復(fù)變函數(shù))相比:①支點(diǎn)處的積分為0得到體現(xiàn),即在雙曲線與地層縱波支點(diǎn)對應(yīng)的縱波線k=f/vc的交點(diǎn)處二維幅度譜沒有極值分布;②沿縱波支點(diǎn)的垂直割線積分(以地層縱波速度vc傳播)對應(yīng)二維譜中的地層縱波斜直線f=kvc,井內(nèi)液體中的地層縱波耦合波或套管波耦合波的二維譜極值分布稍微偏離該縱波線f=kvc和套管波線f=kvt,沿地層縱波和套管波線得到的二維譜隨頻率變化不連續(xù)。

聲波測井的瞬態(tài)響應(yīng)是連續(xù)頻譜的響應(yīng),頻率是自變量、不是常數(shù),是雙變量復(fù)變函數(shù)的整體特征?，F(xiàn)有的聲波測井理論假設(shè)頻率為常數(shù),用單變量k的復(fù)變函數(shù)描述,對k積分所得到的解是井筒內(nèi)的正弦激勵(lì)響應(yīng),只包含單頻的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),即能夠在井內(nèi)長期存在的所有響應(yīng),不包含那些在井內(nèi)不能長期存在的瞬態(tài)響應(yīng),因此,它還不是完整的瞬態(tài)響應(yīng),需要向雙變量復(fù)變函數(shù)在f-k平面的整體響應(yīng)過渡[14]。雙變量復(fù)變函數(shù)的積分本身還有瞬態(tài)響應(yīng),不在單頻的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中,因此,只用連續(xù)的單頻穩(wěn)態(tài)響應(yīng)疊加得到的瞬態(tài)響應(yīng)不包括積分本身的瞬態(tài)響應(yīng)。

雙變量復(fù)變函數(shù)整體響應(yīng)特征受雙變量之間的函數(shù)關(guān)系(約束、定義域、f-k平面的曲線)影響,在約束所對應(yīng)的曲線取極值,這些曲線刻畫了地層中傳播的聲波通過邊界與井內(nèi)液體中傳播聲波的耦合。耦合的結(jié)果使得井筒固有頻率發(fā)生偏移,固有頻率附近模式波相互轉(zhuǎn)換,幅度較大,在f-k平面的分布變化明顯。而(井內(nèi)液體模式波的)雙曲線與(井外聲波的)斜直線的交點(diǎn)處無法存在模式波,雙變量復(fù)變函數(shù)沒有極值分布。

井內(nèi)液體中的聲波沿徑向多次反射后形成的離散徑向波數(shù)在聲波測井響應(yīng)的二維譜中對應(yīng)雙曲線形狀的極值分布。它從橫軸的各個(gè)固有頻率開始,隨著z方向波數(shù)k(或頻率)的增加,極值分布沿雙曲線變化,響應(yīng)的能量均集中在雙曲線上。而地層縱、橫波耦合波和套管模式波耦合波的頻譜需要一定的頻率范圍才能形成瞬態(tài)波形,需要二維譜極值從交點(diǎn)兩側(cè)分別沿地層縱波斜直線或套管波的斜直線延伸,使耦合波頻譜沿直線延伸,對應(yīng)頻率以地層縱波或套管模式波速度傳播,形成連續(xù)的頻譜(需要有響應(yīng)能量從雙曲線分散到斜直線),這個(gè)矛盾是聲波測井瞬態(tài)響應(yīng)所特有的。雙變量復(fù)變函數(shù)在此以交點(diǎn)處極值分布轉(zhuǎn)彎(見圖3a的C點(diǎn)周圍的極值分布),交點(diǎn)處直線和雙曲線均斷開、斷開位置的雙曲線幅度沿斜直線分布,將其能量分散到了地層縱波耦合波或套管波耦合波,即以這種極值分布改變的方式有效地解決了這個(gè)矛盾并實(shí)現(xiàn)了井內(nèi)聲波的耦合。結(jié)果導(dǎo)致沿斜直線的地層縱波和套管波耦合波的頻譜斷開,斷點(diǎn)兩邊為不同的模式波、其頻譜連續(xù),在斷點(diǎn)附近沿斜直線周圍的二維幅度譜形成極值,并沿斜線向兩側(cè)延伸(圖3a的B點(diǎn)、E點(diǎn))形成地層縱波耦合波和套管波的頻譜,沿縱波線或套管波線得到的頻譜是斷開的。聲波測井首波(地層縱波或套管波)的幅度和相位(到時(shí))主要由頻譜斷開處的頻譜峰形狀(圖3b)決定,而頻譜峰處的極值分布轉(zhuǎn)彎(見圖3雙曲線斷開位置C點(diǎn)周圍的分布),其斜率隨頻率快速變化,群速度急劇減小,不等于地層縱波速度或套管波速度,響應(yīng)出現(xiàn)在后續(xù)波形中;離開峰值后沿直線的分布與地層縱波、套管波速度接近甚至相等(見圖3a的B點(diǎn)、E點(diǎn)),響應(yīng)出現(xiàn)在首波位置,但是頻譜的幅度小,響應(yīng)波形的幅度也較小。

頻譜幅度隨頻率減小越快,頻譜峰越尖銳,響應(yīng)的共振特征越明顯,首波響應(yīng)的振蕩周期越長。這些地層縱波耦合波和套管波的頻譜特征刻畫了其響應(yīng)波形的形狀,導(dǎo)致聲波測井首波波形形狀隨地層變化,使得測井過程中首波幅度和形狀千變?nèi)f化,包含了豐富的地層信息。

現(xiàn)有聲波測井滑行波理論對這些結(jié)果并沒有完整的描述,井內(nèi)液體中傳播的地層縱波耦合波和套管波不能用滑行波解釋。

6.3 與現(xiàn)有聲波測井理論的區(qū)別

上述特征從雙變量復(fù)變函數(shù)的角度來分析是正常的,即井內(nèi)外傳播的聲波分別構(gòu)成雙變量之間的函數(shù)關(guān)系,在f-k平面構(gòu)成曲線和直線,通過邊界耦合,曲線和直線相交,雙變量復(fù)變函數(shù)的極值在交點(diǎn)位置改變分布,滿足相應(yīng)的邊界條件。但是從單變量復(fù)變函數(shù)的角度分析,頻率視為常數(shù),只有波數(shù)k一個(gè)變量,縱波支點(diǎn)處的垂直割線積分對應(yīng)于聲波測井響應(yīng)中以地層縱波速度傳播的聲波。垂直割線積分在井筒固有頻率處取得極值[5],該極值是嚴(yán)格按照地層縱波速度傳播的首波的幅度[5]。對應(yīng)的二維譜應(yīng)該在f-k平面的固有頻率(直線與雙曲線的交點(diǎn))處取得極值。實(shí)際上,在該頻率位置二維譜沒有極值分布[5-6],幅度也很小(與圍繞該支點(diǎn)的積分為0的結(jié)論一致)。

垂直割線積分所描述的地層縱波響應(yīng)實(shí)際上是二維譜中的縱波線兩側(cè)響應(yīng)函數(shù)的差異產(chǎn)生的。地層縱波經(jīng)過井壁耦合后在二維譜中已經(jīng)分裂為沿縱波線的模式波,表現(xiàn)為響應(yīng)函數(shù)的極值。因此,垂直割線積分給出的單頻激勵(lì)解只能描述縱波線兩側(cè)響應(yīng)函數(shù)的差,并不能完整地描述聲波測井首波的瞬態(tài)響應(yīng),它只是首波響應(yīng)一部分,縱波線周圍的極值才構(gòu)成首波的主要響應(yīng)。

聲波測井瞬態(tài)響應(yīng)的頻率是連續(xù)的,有一個(gè)區(qū)間。但是沿地層縱波速度和套管波速度線從二維譜中取出的頻譜是斷開的,斷點(diǎn)周圍是頻譜峰,頻譜峰兩側(cè)還屬于不同的模式波。即沿地層縱波線或套管波線取出的頻譜幅度是一段一段的,分別屬于不同的模式波、只在特定的頻率位置幅度大,離開該位置幅度快速減小。這些一段段的二維譜組成地層縱波耦合波、套管波的頻譜,合在一起做Fourier逆變換得到響應(yīng)波形和連續(xù)的地層縱波耦合波或套管波波陣面(圖6井內(nèi)與井壁相交的X形的斜直線),它們是這些斷開頻譜共同作用的結(jié)果。

多個(gè)斷開的頻譜峰構(gòu)成連續(xù)的耦合波波陣面,這是井內(nèi)液體中縱、橫波和套管波耦合波的主要特征。對于高頻(85kHz)激發(fā)源,頻帶很寬時(shí),包含多個(gè)固有頻率的頻譜峰,構(gòu)成圖6所示的井內(nèi)液體X形的波陣面。而聲波測井的頻率范圍(1～25kHz)只能包含一個(gè)或兩個(gè)固有頻率的響應(yīng),響應(yīng)波形完全由單個(gè)斷開的頻譜峰形狀所決定(圖3b),是典型的共振響應(yīng)。并且在頻譜幅度最大位置二維譜分布轉(zhuǎn)彎,群速度突變,因此,其瞬態(tài)響應(yīng)具有特殊的形狀,沿z的幅度分布具有特殊的包絡(luò)線,這些均表現(xiàn)在聲波測井首波的波形形狀中,構(gòu)成首波豐富的形狀變化。

6.4 聲波測井響應(yīng)函數(shù)與耦合方式

聲波測井響應(yīng)函數(shù)是雙變量復(fù)變函數(shù),其極值分布于雙變量約束關(guān)系對應(yīng)的曲線上,這些極值刻畫了聲波測井的響應(yīng)特征,即井內(nèi)各種聲波沿z方向的相速度和群速度以及幅度。這是井壁邊界和井內(nèi)、外的聲波相互耦合后產(chǎn)生的頻率f和波數(shù)k之間的約束關(guān)系、定義域分布的具體表現(xiàn),極值在f-k平面的分布還受制于各聲波之間的耦合特征。

剛性壁的井內(nèi)液體中其二維譜呈雙曲線形狀,描述井內(nèi)液體中圓柱界面對徑向傳播的聲波無數(shù)次反射后引起的共振特征,稱為井內(nèi)液體的模式波。地層或套管中存在沿z方向快速傳播的地層縱波或套管波,其二維譜極值沿斜直線分布。它們都通過井邊界與井內(nèi)液體中的共振聲波耦合,雙曲線和斜直線在f-k平面相交,在交點(diǎn)處,響應(yīng)函數(shù)的極值與分布均被改變,對應(yīng)的相速度、群速度均發(fā)生變化,形成連續(xù)的模式波分布,該模式波在交點(diǎn)處轉(zhuǎn)彎,極值分別從交點(diǎn)的上、下(變化的)雙曲線轉(zhuǎn)彎到左右(變化)的斜直線(見圖5、圖6、圖7中的黃色雙曲線斷開位置和圖3a的C點(diǎn)周圍的分布),或從斜直線轉(zhuǎn)彎到雙曲線,轉(zhuǎn)彎過程是連續(xù)的。交點(diǎn)位置沒有極值分布,因?yàn)榻稽c(diǎn)既屬于雙曲線又屬于斜直線,交點(diǎn)處的相速度相同,但沿斜直線和雙曲線的斜率即群速度差異大,沿雙曲線和沿斜直線的兩種聲波能量的傳播方向和傳播速度完全不同。所以該交點(diǎn)所代表的頻譜能量不能屬于任何一種聲波,即既不能屬于斜直線沿z方向快速傳播,也不能屬于雙曲線沿傾斜方向以液體共振波的慢群速度傳播。因此,交點(diǎn)處沒有極值。響應(yīng)函數(shù)必須做出改變以適應(yīng)井內(nèi)、外聲波耦合的需要?；蛘哒f,井外地層的縱波或套管波在井內(nèi)液體的耦合波在雙曲線與斜直線的交點(diǎn)處(固有頻率處)不能夠存在極值分布。

雙變量復(fù)變函數(shù)通過幅度和極值分布的這些變化,適應(yīng)了聲波耦合和邊界條件對f和k取值的限制,完成了聲波之間的耦合,實(shí)現(xiàn)耦合波與邊界條件的統(tǒng)一。雙變量復(fù)變函數(shù)在稍稍偏離縱波線的位置取得極值,極值分布偏離縱波線后其對應(yīng)的群速度和相速度均與地層縱波速度有小的差異(見圖3a從A點(diǎn)位于縱向線以下,經(jīng)過B點(diǎn)與縱波線相交再到C點(diǎn)位于縱向線之上)。

從圖3a中還可以看到:單頻的響應(yīng)是正弦波激勵(lì)的響應(yīng),其頻率固定。當(dāng)正弦波的頻率與井筒固有頻率接近時(shí),響應(yīng)幅度逐漸增大達(dá)到峰值。實(shí)際上井內(nèi)液體中單個(gè)頻率的激勵(lì)有多個(gè)模式波響應(yīng)(對應(yīng)圖3a 二維譜的豎線遇到的極值),它們都是同一頻率的正弦波,幅度和相位不同,疊加后形成一個(gè)幅度和相位差,構(gòu)成單頻正弦波的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。它們不像瞬態(tài)響應(yīng)那樣,不同類型的模式波因?yàn)橄辔徊煌纬傻竭_(dá)時(shí)間的差異以及波形形狀的差異,即使疊加在一起也能通過不同源距的波形和頻散曲線進(jìn)行區(qū)分。

另外,從能量的角度分析,單頻的激勵(lì)是無限能量信號,有持續(xù)的后續(xù)能量提供,隨著時(shí)間的增加,能量一直提供,保障其響應(yīng)所需要的能量,共振時(shí)幅度可以趨于很大。瞬態(tài)響應(yīng)的激勵(lì)只有一個(gè)瞬態(tài)沖擊(連續(xù)的頻帶,頻帶內(nèi)每個(gè)頻率的幅度都是有限的),其總能量是有限的,沒有正弦穩(wěn)態(tài)持續(xù)提供的再激發(fā)能量。單頻的地層縱波耦合波響應(yīng)的頻譜在二維譜中只是一個(gè)點(diǎn)(頻率豎線與縱波線的交點(diǎn)),而瞬態(tài)響應(yīng)在二維譜中是一段頻率區(qū)間。

通常情況下,連續(xù)的單頻響應(yīng)疊加(積分)得到瞬態(tài)響應(yīng)。注意,這里的單頻響應(yīng)是二維譜所描述的響應(yīng),并不是單變量k的復(fù)變函數(shù)積分,因?yàn)?k積分時(shí),頻率f也隨著極值分布改變,并不是常數(shù)。單變量復(fù)變函數(shù)沿縱波支點(diǎn)的垂直割線的積分在二維譜中表現(xiàn)為:在給定的頻率和波數(shù)位置跨越縱波線,因縱波線兩側(cè)響應(yīng)函數(shù)不同,在跨越時(shí)產(chǎn)生響應(yīng)。該響應(yīng)以地層縱波速度傳播。

裸眼井中,通過單變量k的復(fù)變函數(shù)發(fā)現(xiàn):單頻激勵(lì)的響應(yīng)函數(shù)在固有頻率處存在獨(dú)立的實(shí)極點(diǎn),實(shí)極點(diǎn)周圍沒有沿縱波線的連續(xù)分布[6],構(gòu)不成瞬態(tài)響應(yīng)的頻譜。單頻的正弦波激勵(lì)在波數(shù)復(fù)平面上有復(fù)極點(diǎn),對應(yīng)泄露模式,沿雙曲線分布于低波數(shù)區(qū)域(在圖3a中是A、D周圍的分布位置,橫波線下方的雙曲線),這些分布只影響近源距的響應(yīng)波形,是井壁對徑向傳播的聲波沿徑向反射所造成的,并不構(gòu)成地層縱波耦合波瞬態(tài)波形所需要的頻譜。

實(shí)際測量的首波波形是瞬態(tài)的,有一個(gè)連續(xù)的頻率段,其頻譜也是連續(xù)的。這就要求響應(yīng)函數(shù)即二維譜沿縱波線周圍有連續(xù)的極值分布,圖3a中交點(diǎn)兩側(cè)的二維譜極值沿套管波(縱波線)周圍的連續(xù)分布提供了這樣的瞬態(tài)響應(yīng)頻譜,而現(xiàn)有的聲波測井理論——單變量復(fù)變函數(shù)沿垂直割線的積分提供了縱波耦合波的連續(xù)頻譜,其幅度較小;沒有提供沿縱波線連續(xù)分布的極值,實(shí)際上,這些極值構(gòu)成了地層縱波耦合波瞬態(tài)響應(yīng)連續(xù)頻譜的主要成分。井中瞬變電磁場的響應(yīng)也具有雙變量復(fù)變函數(shù)的這些特征。

6.5 井的影響

對聲波測井來講,井的影響主要表現(xiàn)為井筒固有頻率。地層縱波耦合波、套管波均是瞬態(tài)響應(yīng),頻譜是連續(xù)的,在固有頻率附近有峰值,離開固有頻率,響應(yīng)幅度快速減小。圖1所示裸眼井中的反射系數(shù)和透射系數(shù)同時(shí)達(dá)到峰值,瞬態(tài)激發(fā)的連續(xù)頻譜在井中轉(zhuǎn)化為離散的固有頻率后穿過井壁進(jìn)入套管和地層?？紤]沿z方向傳播(井壁為剛性壁)時(shí),在f-k平面中,k>0,從固有頻率開始井內(nèi)液體模式波對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)極值沿雙曲線分布,離開雙曲線,響應(yīng)幅度快速減小。

井壁是非剛性壁時(shí),井外地層中有縱、橫波或套管波傳播,通過邊界在井內(nèi)液體中產(chǎn)生耦合波,在f-k平面中沿斜直線分布,與雙曲線相交,地層縱波耦合波或套管波極值越靠近雙曲線其幅度越大,離開雙曲線幅度快速減小。

耦合波傳播時(shí),振動(dòng)最先在井壁的液體中出現(xiàn),沿井壁和半徑反方向傳播。振動(dòng)能量以地層縱波速度沿井壁快速傳播,在f-k平面的二維譜中這個(gè)能量表現(xiàn)為:雙曲線與斜直線交點(diǎn)處的響應(yīng)函數(shù)極值被移動(dòng),沿縱波、套管波斜線有極值分布,將雙曲線截?cái)?截?cái)嗵庪p曲線上原有的能量被地層縱波或套管波沿井壁傳播帶走,分散到縱波線或套管波斜線上,構(gòu)成沿縱波線和套管波線(周圍)分布的耦合波的瞬態(tài)響應(yīng)所需要的連續(xù)頻譜。

7 分析與討論

聲波測井波形中的地層縱波和套管波均是瞬態(tài)波形,波形形狀在測井過程中變化明顯,均具有共振特征。該波形形狀主要由斷開的頻譜峰決定,與激發(fā)波形的形狀差異很大,受井內(nèi)液體和地層參數(shù)影響。這是井壁對徑向傳播的聲波無數(shù)次反射后形成的固有頻率的響應(yīng)。無論是井內(nèi)還是井外,其響應(yīng)只在固有頻率附近幅度大,離開固有頻率,幅度快速減小。聲波測井響應(yīng)的二維譜中沿地層縱波和套管波的速度線均有極值分布,極值的幅度變化取決于地層縱波或套管波速度與井內(nèi)液體速度的差和井內(nèi)液體、地層或套管的物理衰減系數(shù),該極值分布構(gòu)成瞬態(tài)首波響應(yīng)的頻譜。

Stoneley波的頻譜連續(xù),是井內(nèi)液體模式波的雙曲線的漸近線,沒有共振特征,與Stoneley波分布越接近,共振特征越弱,例如橫波線附近的響應(yīng);相反,遠(yuǎn)離Stoneley波速度的地層縱波和套管波響應(yīng)共振特征明顯。

在橫波線附近,井內(nèi)液體中的橫波和偽瑞利波耦合波的極值幅度大,其斜率和分布與Stoneley波接近,橫波線與雙曲線相交位置的二維譜沒有極值,橫波線之上是實(shí)極點(diǎn)產(chǎn)生的極值分布,極值幅度大,橫波線之下是復(fù)極點(diǎn)產(chǎn)生的極值分布,極值幅度小,交點(diǎn)位置上、下的兩個(gè)模式波分布相距比較遠(yuǎn),均是連續(xù)的。沿橫波線(在一定的速度范圍內(nèi))取出的頻譜同樣是斷開的,或者說橫波的頻譜也是由一段段斷開的頻譜所構(gòu)成。斷點(diǎn)之間的距離較大,斷開的雙曲線分布區(qū)域大。因?yàn)槠漕l譜分布連續(xù),離漸近線Stoneley波較近,通常人們將其作為不同的模式波看待,并用截止頻率描述。橫波頻譜的斷點(diǎn)兩側(cè)也是連續(xù)的模式波分布,橫波線以上部分的實(shí)極點(diǎn)極值幅度大,構(gòu)成橫波響應(yīng)的主要成分(頻散曲線),橫波線以下部分的復(fù)極點(diǎn)的極值幅度小,對響應(yīng)貢獻(xiàn)小,兩段共同作用形成模式波的頻譜,共振特征不明顯。

地層縱波和套管波速度遠(yuǎn)離Stoneley波速度,只在雙曲線周圍(固有頻率)有幅度較大的響應(yīng)頻譜,形成頻譜峰,響應(yīng)波形主要由頻譜峰決定,具有共振特征。隨著套管厚度的增加,出現(xiàn)很多模式波將雙曲線分布以不同斜率和形狀截?cái)?形成多種極值分布,它們是套管內(nèi)多種不同速度分布的模式波在井內(nèi)液體的耦合波。

聲波測井響應(yīng)中,不論是哪種模式波的耦合波,其速度是多少,隨頻率怎么變,在f-k平面上只要分布靠近雙曲線,其幅度就較大,離開雙曲線則幅度快速減小。每個(gè)模式波的耦合波響應(yīng)均將雙曲線截?cái)?沿截?cái)嗟男甭嗜≡撃Ｊ讲ǖ鸟詈喜ǖ亩S譜得到其頻譜,在截?cái)?固有頻率附近)位置兩側(cè)極值幅度均快速減小,形成斷開的頻譜峰,所有模式波的波形形狀均由斷開的頻譜峰決定。頻譜峰斷開是聲波測井響應(yīng)波形的主要特征之一。其速度一定,頻譜峰附近不連續(xù)。

聲波測井的首波(縱波或套管波)通常由一個(gè)或兩個(gè)固有頻率附近斷開的頻譜峰響應(yīng)組成,單個(gè)固有頻率的瞬態(tài)響應(yīng)是共振響應(yīng),其波形特點(diǎn)是:以峰值所在的頻率振蕩,單峰的頻譜形狀決定響應(yīng)波形形態(tài),即包絡(luò)線形狀由單個(gè)頻譜峰的形狀決定。高頻寬帶激發(fā)時(shí),在激發(fā)探頭的頻帶范圍內(nèi)有多個(gè)這樣的頻譜峰,它們彼此分開,形成離散的頻率,共同構(gòu)成連續(xù)的耦合波響應(yīng)和波陣面,此時(shí),共振特征不明顯,單個(gè)頻譜峰的響應(yīng)不突出,其整體響應(yīng)滿足幾何聲學(xué)的規(guī)律。

聲波測井測量瞬態(tài)波形,通過不同源距瞬態(tài)波形的時(shí)間延遲(相位)確定地層的縱波速度。從基于幾何聲學(xué)的滑行波理論到基于單變量復(fù)變函數(shù)的解析解理論以及實(shí)軸積分方法,人們在對聲波測井響應(yīng)認(rèn)識深入的同時(shí)帶動(dòng)了聲波測井技術(shù)的快速發(fā)展。

上述聲波測井理論上的認(rèn)識突破和改變對聲波測井波形的應(yīng)用表現(xiàn)在:對于聲波時(shí)差測井,從頻率域入手,用多個(gè)頻率的相速度分布,特別是頻譜較低的相速度分布構(gòu)成的相速度頻散曲線獲得的聲波時(shí)差精度比較高。還可以利用斷開的頻譜峰形狀生成首波綜合衰減系數(shù)曲線,顯示地層時(shí)差與物理衰減系數(shù),評價(jià)非常規(guī)油氣藏以及裂縫油藏。對于套管井測井,根據(jù)套管波的共振特征可以構(gòu)造固井質(zhì)量評價(jià)曲線GAL。

8 結(jié)論

實(shí)軸積分方法計(jì)算的響應(yīng)一直作為其它數(shù)值算法的標(biāo)準(zhǔn)解使用,因?yàn)樗o出了雙變量復(fù)變函數(shù)的解,是對聲波測井瞬態(tài)響應(yīng)完整的描述。其中套管波和地層縱波耦合波的頻譜峰揭示了井筒固有頻率對響應(yīng)的影響。井外固體中沿井壁傳播的聲波通過邊界耦合到井內(nèi)液體,其耦合波沿z方向的傳播速度與固體中的傳播速度相同。它與井壁的無數(shù)次反射波耦合,構(gòu)成了雙變量f和k之間的函數(shù)關(guān)系,影響或改變雙變量復(fù)變函數(shù)的極值分布,形成了f-k平面的二維譜。沿地層縱波和套管波速度斜線獲取二維譜的極值得到地層縱波耦合波和套管波的頻譜,其在峰值附近是斷開的,單個(gè)斷開的頻譜峰構(gòu)成共振響應(yīng)。套管井中每個(gè)速度比液體速度快的模式波與井內(nèi)液體耦合后均將雙曲線截?cái)?沿其速度線取出頻譜,均是斷開的頻譜峰,響應(yīng)具有共振特征。沿z方向傳播的速度越快,頻譜峰越尖銳,共振響應(yīng)特征越明顯。一般的聲波測井僅僅涉及到一個(gè)或兩個(gè)固有頻率,只有一個(gè)或兩個(gè)頻譜峰,其響應(yīng)具有共振特征,利用該特征可獲得綜合衰減系數(shù),描述聲波測井首波形狀所包含的豐富地質(zhì)信息,用于固井質(zhì)量評價(jià)、巖性識別和地層裂縫評價(jià)。