林致睿,李建興,石宇靜,周從航

(1.福建理工大學(xué) 電子電氣與物理學(xué)院,福建 福州 350118;2.福建省工業(yè)集中自動(dòng)化行業(yè)技術(shù)開發(fā)基地,福建 福州 350118)

永磁同步電動(dòng)機(jī)(permanent magnet synchronous motor,PMSM)因制造成本低、功率因素高、調(diào)速范圍寬、控制性能良好等優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域[1]。然而,永磁同步電動(dòng)機(jī)作為一種多變量、強(qiáng)耦合的高度非線性系統(tǒng),在某些參數(shù)范圍下表現(xiàn)出混沌振蕩現(xiàn)象,可能導(dǎo)致電流低頻振蕩,扭矩間歇性波動(dòng),轉(zhuǎn)速忽高忽低等問題,對(duì)電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能及其運(yùn)行的穩(wěn)定性造成嚴(yán)重危害[2]。因此,學(xué)者們提出一些控制方法消除永磁同步電動(dòng)機(jī)的混沌振蕩現(xiàn)象,保證永磁同步電動(dòng)機(jī)的穩(wěn)定運(yùn)行[3～5]。例如,文獻(xiàn)[3]提出了一種消除和抑制永磁同步電動(dòng)機(jī)混沌振蕩的自適應(yīng)魯棒控制方法。文獻(xiàn)[5]針對(duì)外部因素導(dǎo)致的永磁同步電動(dòng)機(jī)的參數(shù)不確定時(shí),設(shè)計(jì)了自適應(yīng)有限時(shí)間控制器消除電動(dòng)機(jī)的混沌振蕩現(xiàn)象。上述控制方法主要用于解決單臺(tái)永磁同步電動(dòng)機(jī)的振蕩問題,但在實(shí)際中常常遇到數(shù)量眾多的電動(dòng)機(jī)互聯(lián)的復(fù)雜電動(dòng)機(jī)網(wǎng)絡(luò)。利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步控制方法研究復(fù)雜電機(jī)網(wǎng)絡(luò)的混沌振蕩問題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。現(xiàn)有的同步控制方法主要有自適應(yīng)控制、節(jié)點(diǎn)反饋控制、優(yōu)化控制、事件驅(qū)動(dòng)控制、混合控制等[6]。近年來,因PID(Proportion integration differentiation)控制器具有簡(jiǎn)單的反饋控制結(jié)構(gòu),并且不需要精確的數(shù)學(xué)模型[7],基于PID控制的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步研究也引起關(guān)注。Peng等[8]針對(duì)具有有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),設(shè)計(jì)了PI(proportion integration)和PD(proportion differentiation)控制器,并考慮保證復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)全局同步的充分條件。Lin等[9]分別建立有外部干擾和無(wú)外部干擾的多輸出耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的模型,在所設(shè)計(jì)的PD和PI控制器作用下,分別實(shí)現(xiàn)了兩種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的H∞輸出同步。而Gu等人[10]結(jié)合PI控制和自適應(yīng)控制思想,提出了自適應(yīng)PI控制器設(shè)計(jì)方法,利用隨機(jī)分析技術(shù)和LaSalle不變?cè)?證明了具有隨機(jī)耦合的非線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步誤差系統(tǒng)的均方穩(wěn)定性。

然而,上述PID控制器僅僅是在時(shí)間趨于無(wú)窮的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)才能達(dá)到同步狀態(tài)。實(shí)際應(yīng)用更希望可以在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)同步,以節(jié)約時(shí)間和成本、提高效益和利潤(rùn)。文獻(xiàn)[11]提出了一種保證一類具有多狀態(tài)/微分耦合的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間無(wú)源性和有限時(shí)間同步的PD控制器設(shè)計(jì)方案。但其所設(shè)計(jì)的PD控制器中含有符號(hào)函數(shù),而符號(hào)函數(shù)的不連續(xù)性會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生抖振的負(fù)面影響。

綜上,本課題圍繞復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間同步控制開展研究,旨在將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)有限同步控制理論應(yīng)用于電動(dòng)機(jī)網(wǎng)絡(luò)研究,設(shè)計(jì)一種無(wú)抖振、高收斂性的PD控制器實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步,使整個(gè)系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)性能和抗干擾能力。

1 永磁同步電動(dòng)機(jī)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型

單臺(tái)永磁同步電動(dòng)機(jī)在d-q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型如下[12～13]:

(1)

式中,id、iq和ω分別表示永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)d軸定子電流、q軸定子電流和轉(zhuǎn)子角速度;R1表示定子繞組;ψr是轉(zhuǎn)子磁極永久磁通;Ld和Lq分別表示d軸和q軸的定子電感;J是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;β表示轉(zhuǎn)子粘性阻尼系數(shù);np是極對(duì)數(shù);ud、ud和TL分別表示d軸、q軸的定子電壓和外部扭矩;其中,R1、β、J、Ld、Lq和TL均為正數(shù)。

代入(1)式,則變換后的無(wú)量綱狀態(tài)方程為:

(2)

其中:

本研究針對(duì)氣隙均勻的永磁同步電動(dòng)機(jī),即Ld=Lq=L時(shí),式(2)可變換為:

(3)

已有研究表明,當(dāng)永磁同步電動(dòng)機(jī)處在負(fù)載加電工作情況下,永磁同步電動(dòng)機(jī)在一定的系統(tǒng)參數(shù)選擇和外部輸入下會(huì)出現(xiàn)混沌振蕩狀態(tài)[2,15]。如圖1所示,當(dāng)σ=5.46、γ=25時(shí),令初始條件id(0)=5 A,iq(0)=1 A,ω(0)=-1 rad/s,永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的各狀態(tài)變量處于無(wú)規(guī)則的振蕩狀態(tài),其仿真的三維混沌吸引子如圖2所示?；煦缯袷帬顟B(tài)可能會(huì)影響電機(jī)的工作狀態(tài),甚至引起電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的崩潰。

圖1 永磁同步電動(dòng)機(jī)狀態(tài)變量混沌振蕩曲線Fig.1 Chaotic oscillation curve of PMSM state variables

圖2 單臺(tái)永磁同步電動(dòng)機(jī)混沌吸引子Fig.2 Chaotic attractor of a single PMSM

由N個(gè)永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)構(gòu)建的多電機(jī)網(wǎng)絡(luò)在一定的系統(tǒng)參數(shù)下,同樣呈現(xiàn)無(wú)周期的混沌振蕩非同步狀態(tài)。在多電機(jī)互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)模式中,單機(jī)故障有可能會(huì)進(jìn)一步誘發(fā)級(jí)聯(lián)故障,導(dǎo)致整個(gè)電機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的癱瘓;同時(shí)在多電機(jī)網(wǎng)絡(luò)中需要協(xié)調(diào)多臺(tái)電動(dòng)機(jī)的運(yùn)行,而混沌振蕩現(xiàn)象會(huì)影響同步協(xié)調(diào)工作難以進(jìn)行,進(jìn)而導(dǎo)致電動(dòng)機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的崩潰。

以單臺(tái)永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)為節(jié)點(diǎn),構(gòu)造含有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的電動(dòng)機(jī)網(wǎng)絡(luò),則電動(dòng)機(jī)網(wǎng)絡(luò)的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程如下:

(4)

(5)

則(4)可以看成如下由N個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的一般化復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的特殊形式:

(6)

其中xi(t)=[xi1,xi2,…,xin]T∈n,表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)向量;f(xi(t))=[f1(xi1(t),f2(xi2(t)),…fn(xin(t))]T∈n表示連續(xù)的非線性向量值函數(shù),用于描述每個(gè)孤立節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué);ui(t)∈n表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的控制輸入;00;A=(aij)N*N表示外部耦合矩陣(網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)),若第i個(gè)節(jié)點(diǎn)和第j個(gè)節(jié)點(diǎn)之間有連接,則aij=aji>0,否則aij=aji=0,且

備注1由外部耦合矩陣A的定義可知,A=-L,其中,矩陣L為拉普拉斯矩陣。對(duì)于一個(gè)無(wú)向圖,矩陣L是對(duì)稱的。且0是矩陣L的一個(gè)特征值,其對(duì)應(yīng)的特征向量為lN=[1,…,1]T。根據(jù)Gershgorin定理,在無(wú)向圖中,L的所有非零特征值都是正的。因此,A的所有非零特征值都為負(fù)。即矩陣A是一個(gè)對(duì)稱負(fù)半定矩陣。當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)向圖是連通時(shí),0是L的一個(gè)特征值。因此,對(duì)于連通無(wú)向圖,矩陣A的特征值為0=λ1≥λ2≥…≥λN。

2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間同步控制的預(yù)備知識(shí)

本研究的目標(biāo)是通過設(shè)計(jì)合適的控制策略,在多機(jī)互聯(lián)模式下控制電機(jī)網(wǎng)絡(luò)的同步穩(wěn)定性,將處在任意狀態(tài)的電動(dòng)機(jī)網(wǎng)絡(luò)在有限時(shí)間內(nèi)控制在穩(wěn)定狀態(tài)值。

令s(t)=(s1(t),s2(t),….sN(t))Τ∈N為復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定平衡點(diǎn),假設(shè)它是唯一的且滿足

定義同步誤差為ei(t)=xi(t)-s(t),則同步誤差系統(tǒng)可以描述為:

(7)

定義1對(duì)于復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1),若存在某一時(shí)刻t*>0,使得

假設(shè)1假設(shè)函數(shù)f(x)滿足Lipschitz條件,即存在一個(gè)常數(shù)μ>0,對(duì)于?x1,x2∈n有如下不等式成立:

‖f(x1)-f(x2)‖≤μ‖x1-x2‖

引理1[16]給定一個(gè)對(duì)稱矩陣A∈N×N且令λmax(A)和λmin(A)分別為矩陣A的最大特征值和最小特征值,則

λmin(A)ζTζ≤ζTAζ≤λmax(A)ζTζ,?ζ∈N

引理2[17]對(duì)于任意θi∈,i=1,2,…,n,0<τ≤1,有如下不等式成立:

引理3[18]假設(shè)一個(gè)連續(xù)且正定的函數(shù)V(t)滿足以下不等式條件:

其中,l>0,0<η<1,k>0,那么對(duì)于任意初始時(shí)刻t0,當(dāng)V1-η(t0)

t0≤t≤t1

且

V(t)=0,t≥t1

3 PD控制器設(shè)計(jì)

為實(shí)現(xiàn)復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(6)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步,設(shè)計(jì)PD控制器實(shí)現(xiàn)復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(6)有限時(shí)間同步,并通過有限時(shí)間穩(wěn)定性引理加以證明,設(shè)計(jì)PD控制器如下:

(8)

由式(7)和式(8)可得同步誤差系統(tǒng)為:

(9)

定理1考慮由式(6)描述的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò),在假設(shè)1成立的條件下,在PD控制協(xié)議(8)的作用下,當(dāng)滿足:

則復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(6)可達(dá)到有限時(shí)間同步。

證明:選取如下Lyapunov函數(shù)

(10)

根據(jù)耦合矩陣A的定義,備注1可知矩陣A為對(duì)稱半負(fù)定矩陣。又由KD>0,因此矩陣IN-KD(A?Γ)為正定矩陣且最小特征值λmin(IN-KD(A?Γ))=1。

計(jì)算V(t)沿系統(tǒng)(9)的導(dǎo)數(shù)并考慮假設(shè)1成立,得到:

KP(β?IN)eε(t)]

(11)

由(11)式可得:

Γ)e(t)]η

(12)

由假設(shè)1可得:

(13)

根據(jù)引理2可得:

(eT(t)e(t))η

(14)

根據(jù)引理1和(13)、(14)可得:

(15)

4 仿真

永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)置為σ=5.46,γ=20?？紤]含有N=5個(gè)節(jié)點(diǎn)的永磁同步電動(dòng)機(jī)網(wǎng)絡(luò),耦合強(qiáng)度c=0.5,外部耦合矩陣如下:

電動(dòng)機(jī)網(wǎng)絡(luò)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的初始狀態(tài)分別為:

x1(0)=[-1.062,3.665,-7]Τ,

x2(0)=[4.8,-7.65,-3.8]Τ,

x3(0)=[-1.55,3.714,-4.58]Τ,

x4(0)=[2.5,-3.36,-3.23]Τ,

x5(0)=[-2.3058,3.888,1.8]Τ.

圖3 未施加控制時(shí)同步誤差Fig.3 Synchronization errors without control

圖4描述了在PD控制的作用下,永磁同步電動(dòng)機(jī)網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)與目標(biāo)平衡點(diǎn)之間的同步誤差變化曲線,可見永磁同步電動(dòng)機(jī)網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)與目標(biāo)控制點(diǎn)之間的同步誤差在有限時(shí)間內(nèi)趨于零,即電動(dòng)機(jī)網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)被控制到目標(biāo)平衡點(diǎn),保證了永磁同步電動(dòng)機(jī)網(wǎng)絡(luò)短時(shí)間內(nèi)達(dá)到電動(dòng)機(jī)的穩(wěn)定控制目標(biāo)值,并在該目標(biāo)值狀態(tài)下同步正常運(yùn)行。

圖4 PD控制器作用下同步誤差Fig.4 Synchronization errors under PD controller

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本研究所設(shè)計(jì)方法的優(yōu)勢(shì),將PD控制器(8)與文獻(xiàn)[15]所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行對(duì)比。文獻(xiàn)[15]提出的控制器如式(16)所示:

ui=cdΓ(xi-s(t))

(16)

其中,c=0.5,d=1.5,其他系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置相同。則在控制器式(16)的作用下,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步誤差軌跡如圖5所示。

圖5 在文獻(xiàn)[15]控制器作用下的同步誤差Fig.5 Synchronization errors under controller of Reference [15]

比較本研究和文獻(xiàn)[15]的控制器作用下的同步誤差軌跡圖可見,兩種方法都可以使整個(gè)電動(dòng)機(jī)網(wǎng)絡(luò)在有限時(shí)間內(nèi)被控制到目標(biāo)平衡點(diǎn)。但是,在文獻(xiàn)[15]所設(shè)計(jì)控制器的作用下,復(fù)雜電機(jī)網(wǎng)絡(luò)的同步誤差達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間需要4 s,而本研究設(shè)計(jì)的控制器僅需要1 s,即在本研究設(shè)計(jì)的PD控制器作用下,同步速度更快,效果更佳。

5 結(jié)語(yǔ)

本研究以單臺(tái)永磁同步電動(dòng)機(jī)為節(jié)點(diǎn),建立永磁同步電動(dòng)機(jī)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型,研究復(fù)雜電機(jī)網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間同步問題。所設(shè)計(jì)的有限時(shí)間PD控制器不帶符號(hào)函數(shù),克服了現(xiàn)有的有限時(shí)間同步控制器抖振的缺陷,具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、連續(xù)、同步性能好、控制器容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。不同于以往解決單臺(tái)永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)混沌振蕩的問題,本研究設(shè)計(jì)PD控制器對(duì)多電機(jī)互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行同步控制,將處在混沌振蕩的電動(dòng)機(jī)網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)在有限時(shí)間內(nèi)控制在穩(wěn)定平衡點(diǎn),并通過有限時(shí)間穩(wěn)定理論分析得到抑制電動(dòng)機(jī)網(wǎng)絡(luò)混沌振蕩的充分條件,數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該理論分析的正確性。