盧建順

(福建省龍巖市永定區(qū)龍?zhí)吨袑W,福建 龍巖 364120)

應(yīng)用題是利用語言或文字敘述有關(guān)事實,反映某種數(shù)學關(guān)系,如位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系等,并求解未知數(shù)量的一類題目,每道應(yīng)用題中都包含有已知條件與所求問題.數(shù)學建模則是先結(jié)合實際問題構(gòu)建數(shù)學模型,再對數(shù)學模型展開求解,最后根據(jù)結(jié)果解決實際問題.在初中數(shù)學應(yīng)用題解題教學中,教師需重點培養(yǎng)學生的建模思維,利用數(shù)學模型把復雜問題簡單化,把抽象問題具體化,使學生能夠準確理解題意,理清題目中已知條件與所求量之間的邏輯關(guān)系,為解決問題創(chuàng)造條件.

1 建立方程模型解答數(shù)學應(yīng)用題

方程是初中數(shù)學教學的重要內(nèi)容.因為實際生活中不少問題都能夠通過方程應(yīng)用題的形式展現(xiàn)出來,故方程模型也是初中數(shù)學應(yīng)用題解題教學中最為常用的一種數(shù)學模型.構(gòu)建方程模型時,教師需重點培養(yǎng)學生尋找題目中已知量與未知量之間等量關(guān)系的能力,尤其是面對污損文字、圖表、圖案、情景對話等方式展現(xiàn)題目內(nèi)容的新型應(yīng)用題,教師需指導學生認真觀察、識別、篩選與比較,順利建立相應(yīng)的方程模型,找到最佳解題方案[1].

例1 在某次實戰(zhàn)演習中,一名坦克兵往遠處1 700米的目標瞄準開炮,7秒后聽到炮彈擊中目標的聲音,另外有一名記者距離這名坦克兵1 000米,距離目標2 020米,他聽到開炮聲響后5秒,又聽到炮彈擊中目標的聲音,那么炮彈與聲音的速度分別是多少?

分析這道應(yīng)用題中存在兩個等量關(guān)系,第一個是炮彈發(fā)出后至擊中目標所用的時間與擊中目標后聲音傳回坦克兵處的時間之和是7秒.第二個比較隱蔽,關(guān)鍵在于對“記者聽到開炮聲5秒后炮彈擊中目標的聲音”這句話的理解,前半句是記者聽到開炮聲后5秒,即為炮聲傳出1 000米的所用時間和5秒之和,后半句是“記者聽到炮彈擊中目標的聲音”,包括炮彈飛行1 700米的時間與擊中目標響聲后傳出2 020米的時間之和,這兩段時間相同,由此建立方程組模型.

由此可知炮彈與聲音的速度分別是850米/秒與340米/秒.

2 建立統(tǒng)計模型解答數(shù)學應(yīng)用題

統(tǒng)計模型是以概率論為基礎(chǔ),采用數(shù)學統(tǒng)計方法構(gòu)建的一種模型.部分過程無法通過理論分析的方法導出相應(yīng)的模型,但是可以利用數(shù)學試驗的方式測定數(shù)據(jù),經(jīng)過數(shù)理統(tǒng)計法求得各種變量之間的關(guān)系就稱之為統(tǒng)計模型.在初中數(shù)學應(yīng)用題解題訓練中,當題目中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)較多,內(nèi)容比較復雜時,可以構(gòu)建統(tǒng)計模型,對數(shù)據(jù)展開收集、整理與分析,幫助學生簡化解題思路,找到正確的解題方向,有效提高學生解答應(yīng)用題的準確度[2].

例2 已知有一個正方體小木塊,現(xiàn)在要往小木快的六個面上分別刻上1,2,3,4,5,6個數(shù)字,且1和6,2和5,3和4需分別刻在對面,那么一共有多少種不同的刻法?

解析本題中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)較多,且關(guān)系復雜,學生可利用建立統(tǒng)計模型的方式進行解題,只需考慮數(shù)字1,2,3可能刻的位置即可,剩余4,5,6三個數(shù)字的位置就能夠隨之確定,其中1可以選擇這個小方塊6個面中的任意一個面,共有6種刻法,6的位置也確定;2可以刻在剩余4個面中的任意一個面,共有4種刻法,5的位置同樣得到確定;3只能刻在剩余2個面中進行選擇,共有2種刻法,4的位置也得到確定.結(jié)上所述,所有不同的刻法一共有6×4×2=48(種).

3 建立不等式模型解數(shù)學應(yīng)用題

不等式模型是一類比較特殊的數(shù)學模型.構(gòu)建其他數(shù)學模型時,學生需要找到題目中的等量關(guān)系,而不等式模型則需要找到不等關(guān)系,能夠起到意想不到的效果.針對初中數(shù)學應(yīng)用題解題訓練來說,當建立不等式模型時,教師需要指導學生合理設(shè)未知數(shù),根據(jù)已知或隱含的不等關(guān)系,列出含有未知數(shù)的不等式或不等式組,然后解不等式或不等式組,最后驗證解的合理性,從而讓學生準確、快速地解答應(yīng)用題[3].

例3 某家公司經(jīng)營甲、乙兩種商品,其中甲種商品的進價是12萬元,售價是14.5萬元,乙種商品的進價是8萬元,售價是10萬元,且甲、乙兩種商品的進價與售價均保持不變,現(xiàn)在計劃一共購進甲、乙兩種商品20件,總價控制在190萬元至200萬元之間.

(1)一共有多少種進貨方案?

(2)該公司使用哪種進貨方案可獲得最大利潤?并求出最大利潤.

分析通過閱讀題目內(nèi)容,學生發(fā)現(xiàn)有對進貨總價范圍的控制,明顯涉及到不等關(guān)系,故可以通過建立不等式模型進行解題,學生只要準確找出題目中的不等關(guān)系即可輕松求解.

解(1)設(shè)購進甲種商品x件,則購進乙種商品(20-x)件.根據(jù)題意,得190≤12x+8(20-x)≤200,解得7.5≤x≤10.考慮到實際情況,x只能取正整數(shù),即甲商品是8,9,10件,所以一共有三種進貨方案,對應(yīng)的乙商品分別是12,11,10件.

(2)甲、乙兩種商品各購進10件或獲得最大利潤,最大利潤為10(14.5-12)+10(10-2)=25+20=45(萬元).

4 建立幾何模型解答數(shù)學應(yīng)用題

在初中數(shù)學應(yīng)用題解題教學中,除了以上幾種代數(shù)方面的數(shù)學模型,還可以構(gòu)建幾何方面的數(shù)學模型,主要用來解決一些特殊的應(yīng)用題.此類應(yīng)用題中文字敘述繁瑣,字母符號較多,概念也不少,難度相當較大.建立幾何模型,通過直觀的圖像把題目中的復雜關(guān)系清晰地呈現(xiàn)出來,有助于應(yīng)用題的順利解答.對此,初中數(shù)學教師可指引學生認真分析題意,將實際問題抽象轉(zhuǎn)化成幾何圖形,通過建立幾何模型的方式解答應(yīng)用題[4].

分析本題是一道有關(guān)位置與方向類的試題,涉及到三角形與圓的相關(guān)知識,較為復雜,教師可以指導學生根據(jù)題意建立幾何模型,畫出如圖1所示的幾何圖形,通過觀察發(fā)現(xiàn),A市會受到本次沙塵暴的影響,影響時間是沙塵暴從C移動到D處所用的時間,利用勾股定理和垂徑定理即可求解.

圖1 位置與方向示意圖

5 建立一次函數(shù)模型解答應(yīng)用題

函數(shù)是學生進入初中階段以后接觸與系統(tǒng)學習的數(shù)學知識,同其他內(nèi)容相比,函數(shù)知識難度較大,其中一次函數(shù)作為最簡單的函數(shù),與實際生活聯(lián)系的較為密切,不少數(shù)學應(yīng)用題中蘊涵一次函數(shù)關(guān)系,學生需建立一次函數(shù)模型進行解答.在初中數(shù)學應(yīng)用題解題訓練中,教師應(yīng)引導學生觀察題目中的數(shù)據(jù),使其根據(jù)已知數(shù)據(jù)構(gòu)建具體的一次函數(shù)模型,促使學生應(yīng)用模型解答應(yīng)用題[5].

例5 張華同學參加100米短跑訓練,2022年1至4月的訓練成績?nèi)缦卤硭?體育老師稱他為百米短跑天才,請你預(yù)測張華同學5年(60個月)后100米的短跑成績是( )(溫馨提示:當前世界100米短跑記錄是9.58s)

表1 短跑訓練成績表

A.14.8 s B.3.8 s

C.3 s D.預(yù)測結(jié)果不可靠

分析通過觀察表中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),每訓練一個月,張華的100米短跑成績提升0.2s,設(shè)他的成績是ys,時間是x月,y與x之間是一次函數(shù)關(guān)系,可設(shè)為y=kx+b,然后代入相關(guān)數(shù)據(jù)求出一次函數(shù)關(guān)系,當x=60時即可求得60個月后的成績.

解設(shè)張華同學的100米短跑成績是y,月份是x,根據(jù)題意可得y=kx+b,代入前兩個月的數(shù)據(jù)分別得到15.6=k+b,15.4=2k+b,聯(lián)立方程組,解之得k=-0.2,b=15.8,即為y=-0.2x+15.8.當x=60時,y=-0.2×60+15.8=-12+15.8=3.8,因為當前世界100米短跑記錄是9.58s,顯然這一結(jié)果并不符合實際意義,故正確答案是選項D.

綜上所述,在初中數(shù)學應(yīng)用題教學實踐中,教師應(yīng)謹慎對待這種以文字描述為主的特殊試題,要求學生認真閱讀題目內(nèi)容、仔細審題,并以此為前提,理清題干中的數(shù)量關(guān)系,根據(jù)題意建立方程、統(tǒng)計、不等式、幾何、一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)等數(shù)學模型,使其找到更為簡便的應(yīng)用題解題方法與技巧,促使學生切實感受到數(shù)學建模的實用性與價值,從而提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng).