盧紫超, 李 通, 孫澤文, 田 霖, 孫 亮, 劉冀偉

(1.北京科技大學(xué) 智能科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,北京 100083; 2.中華人民共和國民政部一零一研究所,北京 100070;3.北京科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,北京 100083)

機(jī)械臂是高精度、多輸入多輸出、高度非線性、強(qiáng)耦合的復(fù)雜系統(tǒng)。因其獨(dú)特的操作靈活性,已在工業(yè)裝配、安全防爆等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。機(jī)械臂的非線性控制穩(wěn)態(tài)精度和抗干擾能力一直是研究領(lǐng)域的重點(diǎn)問題。

在許多控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程中,常常會(huì)面臨實(shí)際對(duì)象與數(shù)學(xué)建模得到的模型之間存在差異的問題,這是因?yàn)樵诮＿^程中存在參數(shù)不確定性以及外界的未知干擾[1-4]。

廣義預(yù)測控制(Generalized Predictive Control,GPC)算法是通過在線辨識(shí)獲得模型參數(shù),并利用模型參數(shù)實(shí)現(xiàn)多步預(yù)測和滾動(dòng)優(yōu)化,同時(shí)又具有自適應(yīng)特征的控制算法。因此GPC對(duì)于建模誤差等未知因素具有較好的適應(yīng)能力。但是一些含有較大建模誤差和較大外界干擾的復(fù)雜控制系統(tǒng),會(huì)出現(xiàn)預(yù)測輸出和實(shí)際輸出相差較大的情況,無法得到滿意的控制效果[5-9]。文獻(xiàn)[10]將改進(jìn)的比例性能指標(biāo)型廣義預(yù)測控制器引入多變量系統(tǒng)中,通過預(yù)測增量表征系統(tǒng)變化趨勢,并通過控制量進(jìn)行補(bǔ)償優(yōu)化控制性能。文獻(xiàn)[11]提出了一種求解廣義預(yù)測控制律的快速算法,解決了計(jì)算量較大的問題。文獻(xiàn)[12]提出了一種模糊廣義預(yù)測控制的方法,并將其應(yīng)用到了連續(xù)攪拌反應(yīng)釜系統(tǒng)中。

干擾狀態(tài)觀測器通過獨(dú)立于數(shù)學(xué)模型的特殊反饋機(jī)制可以很好地跟蹤參數(shù)不確定性和外界干擾,并成功應(yīng)用于各種對(duì)象[13]。利用干擾觀測器觀測系統(tǒng)存在的不確定性成為了一種克服這些不確定性的有效算法[9]。將干擾觀測器應(yīng)用于GPC中,通過估計(jì)模型不確定性以及外界的干擾來提高系統(tǒng)的魯棒性能。文獻(xiàn)[14]提出了一種基于狀態(tài)觀測器的四旋翼反步輸出反饋軌跡跟蹤控制器,分?jǐn)?shù)階反饋的狀態(tài)觀測器可以提高控制器的跟蹤性能和自適應(yīng)性。文獻(xiàn)[15]提出了基于狀態(tài)觀測器的有限時(shí)間控制器,解決了非仿射非線性系統(tǒng)的執(zhí)行器故障問題。文獻(xiàn)[16]針對(duì)剛性航天器的容錯(cuò)問題,設(shè)計(jì)了一種基于干擾觀測器的自適應(yīng)魯棒控制器。文獻(xiàn)[17]提出了一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器和反步法的四旋翼飛行器姿態(tài)控制器,通過干擾觀測器觀測四旋翼飛行器收到的擾動(dòng),提高了系統(tǒng)的魯棒性能。

本文將廣義模型預(yù)測方法應(yīng)用于機(jī)械臂軌跡跟蹤控制器的設(shè)計(jì)之中,優(yōu)化控制系統(tǒng)的性能。針對(duì)機(jī)械臂軌跡跟蹤運(yùn)動(dòng)學(xué)子系統(tǒng),采用GPC方法設(shè)計(jì)期望的虛擬關(guān)節(jié)角速度。對(duì)于機(jī)械臂軌跡跟蹤動(dòng)力學(xué)子系統(tǒng),考慮機(jī)械臂的參數(shù)不確定性和未知外界擾動(dòng),利用廣義預(yù)測控制方法設(shè)計(jì)關(guān)節(jié)力矩控制輸入。從工程實(shí)際角度出發(fā),考慮到機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的匹配和不匹配模型不確定性的影響以及機(jī)械臂在實(shí)際運(yùn)行環(huán)境中外界的未知干擾,GPC可以通過多步預(yù)測和滾動(dòng)優(yōu)化對(duì)建模誤差和未知因素產(chǎn)生較好的適應(yīng)能力,本文基于非線性干擾觀測器方法設(shè)計(jì)魯棒控制項(xiàng),保證系統(tǒng)的魯棒性?；谏鲜鲈O(shè)計(jì)思想,本文針對(duì)受外部干擾和參數(shù)不確定性影響的多輸入多輸出耦合機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,提出了一種具有非線性干擾實(shí)時(shí)在線補(bǔ)償?shù)腉PC方法。在控制設(shè)計(jì)中,針對(duì)關(guān)節(jié)角度子系統(tǒng)和關(guān)節(jié)角速度子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)性,分層設(shè)計(jì)了基于非線性干擾觀測器的廣義模型預(yù)測運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器和動(dòng)力學(xué)控制器。所提出的控制方法可以為機(jī)械臂控制器提供一種通過預(yù)測時(shí)長整定控制器反饋增益的調(diào)參方法,整定后的參數(shù)可保證受控系統(tǒng)的誤差軌跡和控制輸入具有一定優(yōu)化性能。通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有效性。

1 問題描述

考慮n自由度機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型如下:

(1)

若考慮機(jī)械臂模型的參數(shù)不確定性及外部干擾影響,將機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型(1)降階為2個(gè)級(jí)聯(lián)的子系統(tǒng),第1個(gè)子系統(tǒng)描述關(guān)節(jié)角位置動(dòng)態(tài):

(2)

第2個(gè)子系統(tǒng)描述關(guān)節(jié)角速度動(dòng)態(tài):

(3)

假設(shè)外部干擾信號(hào)f1、f2及其各階導(dǎo)數(shù)均有界且期望關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡qr(t)本身及其各階時(shí)間導(dǎo)數(shù)均有界。

本文控制目標(biāo)是考慮模型(2)和模型(3)中的外部不匹配干擾f1和聚合干擾f2的影響,設(shè)計(jì)控制輸入力矩u使得機(jī)械臂關(guān)節(jié)軌跡q(t)跟蹤上期望軌跡qr(t),并使得軌跡跟蹤誤差最終收斂到原點(diǎn)小鄰域。

2 關(guān)節(jié)角位置跟蹤控制器設(shè)計(jì)

(4)

取最小值。該性能指標(biāo)函數(shù)對(duì)關(guān)節(jié)角位置和角速度跟蹤信號(hào)進(jìn)行了優(yōu)化,保證系統(tǒng)動(dòng)態(tài)跟蹤性能。

由泰勒展開公式可得在t+τ時(shí)刻關(guān)節(jié)角位置q(t+τ)及其一階導(dǎo)數(shù)的預(yù)測值可近似寫為

(5)

(6)

(7)

(8)

由以上各式可將指標(biāo)函數(shù)J1近似化成如下形式:

(9)

式中:A為3n×3n的常值對(duì)稱矩陣。

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

則y-yr可以表示為

(15)

則由式(9)有:

(16)

(17)

(18)

由Kp的定義可知:

(19)

則Kp為正對(duì)角陣。將式(13)和式(14)代入式(18)可得:

(20)

(21)

式中:z1為觀測器狀態(tài);Lp為觀測器的增益矩陣?？梢栽O(shè)計(jì)實(shí)際的角速度虛擬控制律為

(22)

由式(19)可知,增益矩陣Kp的取值取決于預(yù)測時(shí)長T1。在實(shí)際的機(jī)械臂應(yīng)用中,預(yù)測時(shí)長表示對(duì)未來狀態(tài)的預(yù)測程度。當(dāng)預(yù)測時(shí)長T1較大時(shí),可以對(duì)關(guān)節(jié)角位置有較長的預(yù)測,但是會(huì)產(chǎn)生較大的誤差,會(huì)降低軌跡跟蹤的精度;當(dāng)預(yù)測時(shí)長T1較小時(shí),無法使式(4)中的滾動(dòng)優(yōu)化性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值。故在實(shí)際應(yīng)用中選擇一個(gè)合適的預(yù)測時(shí)長,使控制器可以根據(jù)當(dāng)前誤差及時(shí)修正系統(tǒng)的輸入信號(hào)。觀測器增益矩陣LP也需要根據(jù)實(shí)際應(yīng)用對(duì)其進(jìn)行調(diào)節(jié),過大和過小都無法獲得較好的預(yù)測效果。

3 關(guān)節(jié)角速度跟蹤控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)關(guān)節(jié)角速度子系統(tǒng)設(shè)計(jì)了實(shí)際關(guān)節(jié)力矩控制輸入,設(shè)定合適的控制力矩實(shí)現(xiàn)最優(yōu)跟蹤。與關(guān)節(jié)角位置跟蹤設(shè)計(jì)類似,通過最小化以下指標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn):

(23)

類似虛擬控制器設(shè)計(jì)的推導(dǎo)過程,可設(shè)計(jì)使得式(23)最小的廣義預(yù)測控制器,得到控制力矩輸入為

(24)

類似Kp的推導(dǎo)過程,可以得出角速度控制系統(tǒng)中的Kd為

(25)

(26)

式中:z2為觀測器狀態(tài);Ld為觀測器的增益矩陣。輸入的控制力矩可以重新設(shè)計(jì)為

(27)

式中:角速度控制系統(tǒng)中的Kd取決于預(yù)測時(shí)長T2和加權(quán)常數(shù)λ。Kd的取值過小會(huì)降低軌跡跟蹤的跟蹤精度,過大會(huì)產(chǎn)生較大的控制力矩。Ld參數(shù)的選取直接影響觀測器的預(yù)測效果。所以針對(duì)不同的應(yīng)用對(duì)象需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)節(jié)以實(shí)現(xiàn)良好的控制性能。

4 穩(wěn)定性分析

證明:定義觀測器的誤差為

(28)

(29)

由式(21)和式(26)可得出擾動(dòng)觀測器的誤差為

(30)

(31)

定義李雅普諾夫函數(shù):

(32)

對(duì)李雅普諾夫函數(shù)求導(dǎo)得:

(33)

整理得:

=-ρV+c

(34)

其中:

(35)

(36)

5 仿真算例

本文采用雙連桿剛性機(jī)械臂進(jìn)行了數(shù)值仿真,驗(yàn)證了所提出控制器的有效性。定義q=[q1,q2]T,x=[x1,x2]T分別為機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角度和關(guān)節(jié)角速度。兩連桿剛體機(jī)器人數(shù)學(xué)模型中的相關(guān)矩陣如下[8]:

假設(shè)雙聯(lián)桿機(jī)械臂的初始角位置為q(0)=[0,0]T,采樣周期τ=0.01 s,預(yù)測時(shí)長T1=1.3 s,T2=1.7 s,關(guān)節(jié)角期望軌跡qr=[0.1sin(0.5t)+cos(0.5t),0.1sin(t)+cos(t)]T,擾動(dòng)力矩f=[0.5sin(0.1t)+0.5,0.5(cos(0.1t))+0.5]TN·m,不匹配外部干擾f1=[0.1sin(0.1t),0.1sin(0.1t)] N·m,擾動(dòng)觀測器的初始狀態(tài)z1(0)=z2(0)=[0,0]T,觀測器增益矩陣Lp=25E2,Ld=5En,M0中的標(biāo)稱參數(shù)m10=1.5 kg,m20=0.5 kg,l10=0.34 m,l20=0.3 m。PD控制器中,比例系數(shù)kp=100E2,微分系數(shù)kd=10E2。經(jīng)過數(shù)值仿真,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1～圖3所示。

圖1 關(guān)節(jié)1的角位置和角速度跟蹤誤差

圖2 關(guān)節(jié)2的角位置和角速度跟蹤誤差

圖3 關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的控制輸入

由圖1～圖3可以看出,在本文提出的控制器(27)的作用下,關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的角位置跟蹤誤差在0.5 s時(shí)到達(dá)期望值附近,隨后實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤。關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的角速度跟蹤誤差在0.6 s收斂至零附近,并保持在零的領(lǐng)域中實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤。在初始階段,為了實(shí)現(xiàn)較快的跟蹤,控制輸入在初始階段較大,在0.5 s后漸漸收斂至零附近。干擾觀測器的觀測值如圖4和圖5所示,最終收斂至零的鄰域。相對(duì)于經(jīng)典的PD控制器,本文所提出的控制器在收斂時(shí)間和跟蹤精度方面均表現(xiàn)比較優(yōu)異,在關(guān)節(jié)1中,明顯看出本文提出的控制器具有較小的超調(diào)。相對(duì)于經(jīng)典的廣義預(yù)測控制器,加上干擾觀測器后,系統(tǒng)的收斂精度和收斂速度明顯優(yōu)化。此外,通過絕對(duì)誤差積分準(zhǔn)則(Integral Absolute Error,IAE)和時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分準(zhǔn)則(Integral of Time and Absolute Error,ITAE)對(duì)3種控制方法進(jìn)行了對(duì)比,結(jié)果如表1所示,控制器(27)的控制效果明顯優(yōu)于其他兩種控制方法。綜上所述,基于干擾觀測器的廣義模型預(yù)測控制器可以使角位置誤差和角速度誤差收斂至零的鄰域,實(shí)現(xiàn)較好的跟蹤效果。

表1 3種控制器IAE、ITAE指標(biāo)對(duì)比

圖4 關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的值

圖5 關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的值

為了驗(yàn)證本文所提出控制方案的魯棒性,在各種數(shù)字信號(hào)干擾和負(fù)載變化(復(fù)合干擾)情況下進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。將外部干擾重新取為f=[C1sign(sin(0.4πt)),C2sign(sin(0.4πt))],其中C1分別取6、4、2;C2分別取3、2、1。在機(jī)械臂的末端執(zhí)行器上添加變化負(fù)載m=1.25+sin(t)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6～圖9所示。從圖6～圖9中可以看出,在復(fù)合干擾的作用下,當(dāng)數(shù)字干擾信號(hào)到達(dá)時(shí),關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的角位置誤差和角速度誤差會(huì)產(chǎn)生波動(dòng),并且干擾的幅值越大,波動(dòng)越大。在控制器(27)的作用下,在受到干擾后,角位置跟蹤誤差和角速度跟蹤誤差會(huì)收斂至零的鄰域,實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的跟蹤效果。

圖6 不同復(fù)合干擾下關(guān)節(jié)1的角位置跟蹤誤差

圖7 不同復(fù)合干擾下關(guān)節(jié)1的角速度跟蹤誤差

圖8 不同復(fù)合干擾下關(guān)節(jié)2的角位置跟蹤誤差

圖9 不同復(fù)合干擾下關(guān)節(jié)2的角速度跟蹤誤差

6 結(jié)束語

本文以兩連桿剛性機(jī)械臂為例,進(jìn)行了基于干擾觀測器的廣義模型預(yù)測軌跡跟蹤控制研究。利用GPC的方法分別設(shè)計(jì)了期望的虛擬關(guān)節(jié)角速度和關(guān)節(jié)力矩控制輸入,利用非線性干擾觀測器的方法實(shí)時(shí)估計(jì)并補(bǔ)償系統(tǒng)模型中的不確定性。由于GPC可以通過多步預(yù)測滾動(dòng)優(yōu)化來適應(yīng)實(shí)際的工作場景,并 通過干擾觀測器補(bǔ)償建模的不確定性和外界干擾,故通過調(diào)節(jié)合適的參數(shù)可使本算法應(yīng)用于不同的實(shí)際工程。仿真結(jié)果表明,所提出的控制器可以使跟蹤誤差收斂至零的鄰域,實(shí)現(xiàn)很好的跟蹤效果。本文為了驗(yàn)證所提出控制器的魯棒性,進(jìn)行了數(shù)字信號(hào)干擾和負(fù)載變化共存情況下的仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明該控制器有較好的魯棒性。