李雪琴 唐艷妮 劉 芯 何楚洹 蘆 靜

(火箭軍工程大學(xué)基礎(chǔ)部 陜西 西安 710025)

牛頓環(huán)由牛頓在1675年首先在實(shí)驗(yàn)中觀察到,是一種典型的薄膜等厚干涉現(xiàn)象,能充分表現(xiàn)出光的波動(dòng)性.利用牛頓環(huán)干涉測量平凸透鏡曲率半徑是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)的基本內(nèi)容,為了擴(kuò)展學(xué)生思維,加深對(duì)光的等厚干涉原理的理解,提升知識(shí)的綜合應(yīng)用能力,本文基于牛頓環(huán)等厚干涉原理,從實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與實(shí)驗(yàn)方法方面進(jìn)行拓展,設(shè)計(jì)了多種不同的拓展性實(shí)驗(yàn)方案,如圖1所示,較大地豐富了牛頓環(huán)等厚干涉的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,能夠激發(fā)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)探究熱情.

圖1 基于牛頓環(huán)的拓展性實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

1 牛頓環(huán)干涉的基本原理

將一塊曲率半徑較大的平凸透鏡的凸面放在一塊平板玻璃上,這種結(jié)構(gòu)即為牛頓環(huán)儀,如圖2所示.在牛頓環(huán)儀的透鏡凸面和平板玻璃間會(huì)形成一層空氣薄膜,當(dāng)平行的單色光垂直入射牛頓環(huán)儀,入射光將在這層空氣薄膜的上下兩表面依次反射,產(chǎn)生具有一定光程差的兩束相干光.兩束反射的相干光在相遇時(shí)的光程差取決于產(chǎn)生反射光的薄膜厚度,薄膜厚度相同處產(chǎn)生的兩束相干光的光程差相等,將形成同一級(jí)干涉條紋,即為薄膜等厚干涉,其光路如圖2所示.牛頓環(huán)儀中薄膜厚度從中心接觸點(diǎn)到邊緣逐漸增加,干涉圖樣是以接觸點(diǎn)為中心的一系列明暗交替的同心圓環(huán)即牛頓環(huán),且通常情況下干涉圖樣中央為暗斑,如圖3所示.

圖2 牛頓環(huán)干涉光路

圖3 牛頓環(huán)干涉圖樣

牛頓環(huán)不同級(jí)次暗紋直徑Di、Dj與平凸透鏡的曲率半徑R、薄膜介質(zhì)的折射率n、入射光波長λ滿足下列關(guān)系

(1)

2 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容拓展

2.1 牛頓環(huán)干涉法測量介質(zhì)折射率

根據(jù)式(1),在已知平凸透鏡曲率半徑的情況下,通過控制變量法可以測量透明薄膜介質(zhì)折射率或入射單色光的波長.保持牛頓環(huán)曲率半徑不變,入射單色光波長不變的情況下,改變牛頓環(huán)儀中填充的透明介質(zhì)折射率,觀察到的牛頓環(huán)同一級(jí)次的暗紋直徑的大小將會(huì)發(fā)生改變.對(duì)同一牛頓環(huán),采用同一鈉光燈作為光源,對(duì)折射率分別n1、n2的透明介質(zhì)薄膜,相同級(jí)次暗紋直徑應(yīng)滿足下列關(guān)系式

(2)

因此可以通過測量不同介質(zhì)薄膜產(chǎn)生的牛頓環(huán)暗紋直徑,間接測量透明介質(zhì)的折射率,例如測量不同質(zhì)量濃度的氯化鈉溶液的折射率.首先,在空氣介質(zhì)中調(diào)出清晰的牛頓環(huán)干涉圖樣,先用讀數(shù)顯微鏡測量此時(shí)某級(jí)干涉條紋的直徑Di1、Dj1;然后在牛頓環(huán)儀的兩個(gè)玻璃片中間滴入不同質(zhì)量濃度的氯化鈉溶液,使平板玻璃與平凸透鏡之間形成一層均勻的液體薄膜,再測液體薄膜干涉條紋的直徑Di2、Dj2;最后通過牛頓環(huán)裝置中空氣膜和待測液體膜的干涉條紋直徑與折射率的關(guān)系式(2),求出待測液體的折射率.

2.2 牛頓環(huán)干涉法測量單色光波長

在已知介質(zhì)折射率的前提下,可以通過測量不同單色光牛頓環(huán)干涉圖樣相同級(jí)次的直徑,間接測量入射光的波長.在牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)中,通常采用波長為589.3 nm 的鈉黃光作為光源產(chǎn)生明暗相間的環(huán)形等厚干涉圖樣,其他不同波長的單色光照射在牛頓環(huán)裝置上,也可以形成牛頓環(huán)干涉圖樣,但是同一級(jí)次的干涉圓環(huán)直徑將會(huì)有所變化.對(duì)同一牛頓環(huán),平凸透鏡曲率半徑和薄膜介質(zhì)折射率不變,用波長分別為λ1、λ2的單色光照射同一牛頓環(huán),根據(jù)式(1),相同級(jí)次暗紋直徑應(yīng)滿足下列關(guān)系式

(3)

對(duì)同一個(gè)牛頓環(huán)儀,以波長為589.3 nm鈉黃光為參考光源,分別測量鈉光與待測單色光形成的牛頓環(huán)相同級(jí)次的直徑,通過式(3)即可求得未知單色光的波長.高壓汞燈發(fā)出的光線為復(fù)色光,可通過加裝濾光片獲取不同波長的單色光,形成等厚干涉牛頓環(huán),如圖4所示.通過測量牛頓環(huán)干涉圖樣不同級(jí)次的直徑,可分別計(jì)算得到汞燈可見光范圍內(nèi)不同光譜線的波長.

(a) (b) (c)圖4 汞燈不同波長光譜線牛頓環(huán)干涉現(xiàn)象

2.3 利用牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)測定玻璃的彈性模量

牛頓環(huán)干涉圖樣中央為一暗斑,表明暗斑區(qū)域空氣薄膜厚度處處相等且為零,即此處平凸透鏡和平板玻璃之間發(fā)生了形變(圖5陰影部分).中心暗斑的大小由光學(xué)平板玻璃與平凸透鏡接觸端壓力決定,接觸壓力越大,形變越大,牛頓環(huán)中央暗斑越大.

圖5 牛頓環(huán)儀形變示意圖

根據(jù)彈性力學(xué)理論,玻璃的彈性模量E與牛頓環(huán)中央暗斑半徑r,滿足下列關(guān)系[1]

(4)

由式(4)可知,若測出施加的外力F、平凸透鏡曲率半徑R,以及平凸透鏡體積V、平板玻璃體積V′,則可通過對(duì)接觸面受到的壓力及其產(chǎn)生的形變間接測量玻璃的彈性模量.

牛頓環(huán)儀在不同接觸壓力下的形變量用牛頓環(huán)干涉圖樣中央暗斑的面積來表征,接觸壓力越大,牛頓環(huán)干涉圖樣中央暗斑的面積越大[2].為了觀察和測量牛頓環(huán)儀在不同壓力下的形變量,我們采用3D打印的方式設(shè)計(jì)了一個(gè)牛頓環(huán)加壓裝置,實(shí)物結(jié)構(gòu)如圖6(a)所示,剖面結(jié)構(gòu)如圖6(b)所示.中央圓盤中間有一個(gè)圓形凹槽,內(nèi)部放置平凸透鏡與平板玻璃,構(gòu)成牛頓環(huán)儀,中央圓盤下方由3根立柱支撐;最上方的圓形蓋板通過3根連接柱連接下方的托盤,可在托盤加載不同質(zhì)量的砝碼,蓋板中央有一個(gè)圓形孔洞,可用讀數(shù)顯微鏡從正上方觀察和測量牛頓環(huán)干涉圖樣.實(shí)驗(yàn)中通過加載不同質(zhì)量的砝碼改變牛頓環(huán)儀接觸面壓力,在不同壓力下用讀數(shù)顯微鏡分別測出中央暗斑左右切點(diǎn)位置,從而確定中央暗斑半徑r.

(a)實(shí)物結(jié)構(gòu)圖 (b)剖面結(jié)構(gòu)圖圖6 牛頓環(huán)加壓裝置

平凸透鏡曲率半徑的測定可在空氣介質(zhì)條件下,以波長λ= 589.3 nm的鈉光源照射牛頓環(huán)儀,通過讀數(shù)顯微鏡測量不同級(jí)次暗環(huán)直徑,根據(jù)式(1)計(jì)算得到.平板玻璃的體積可分別利用游標(biāo)卡尺及千分尺測出其直徑與厚度計(jì)算得到.考慮到平凸透鏡、平板玻璃材質(zhì)相同,因此可用天平測量平凸透鏡、平玻璃板的質(zhì)量而間接測出平凸透鏡的體積.將上述各個(gè)物理參量測量出來代入式(4)即可計(jì)算出玻璃的彈性模量.

3 實(shí)驗(yàn)方法拓展

3.1 分光計(jì)測量透鏡曲率半徑

由圖2可知,牛頓環(huán)第k級(jí)暗紋半徑rk及對(duì)應(yīng)張角θk與平凸透鏡曲率半徑R滿足下列關(guān)系

rk=Rsinθk

(5)

取空氣介質(zhì)折射率近似為1,即得

(6)

(7)

以上兩式相減即得[3]

(8)

由式(8)可得,在已知入射光波長情況下,如果能夠測量出各級(jí)暗紋的張角θ1、θ2,即可計(jì)算出平凸透鏡的曲率半徑R.

要用分光計(jì)觀察和測量牛頓環(huán),必須將分光計(jì)的望遠(yuǎn)鏡改造成一個(gè)顯微鏡.實(shí)驗(yàn)中將望遠(yuǎn)鏡物鏡換成短焦距凸透鏡(f=65 mm),使其與望遠(yuǎn)鏡的物鏡構(gòu)成一個(gè)顯微鏡[4],用來觀察牛頓環(huán)現(xiàn)象,改造后的實(shí)驗(yàn)裝置如圖7所示.

圖7 分光計(jì)觀察和測量牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)裝置

鈉光燈發(fā)出的光線經(jīng)平行光管后出射平行光,經(jīng)45°傾角的半透半反鏡反射后垂直照射牛頓環(huán),調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡使其對(duì)準(zhǔn)牛頓環(huán)儀中心,前后移動(dòng)望遠(yuǎn)鏡目鏡進(jìn)行調(diào)焦,使看到的牛頓環(huán)圖樣位于改裝后的顯微鏡系統(tǒng)的視場中央位置,并且保證左右兩側(cè)看到的牛頓環(huán)級(jí)數(shù)盡可能相同且清晰.

一方面由于分光計(jì)望遠(yuǎn)鏡改裝后的等效顯微鏡系統(tǒng)只能繞著分光計(jì)中心轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng),不能平移,另一方面等效顯微鏡視場直徑較小,只能清晰地觀察到小角度范圍內(nèi)的牛頓環(huán)圖樣,所以實(shí)際測量時(shí)選擇第5環(huán)至第10環(huán)暗紋對(duì)應(yīng)的張角進(jìn)行測量.將各級(jí)暗紋對(duì)應(yīng)的張角代入式(8),可計(jì)算出透鏡曲率半徑.

3.2 激光牛頓環(huán)干涉法測量透鏡曲率半徑

傳統(tǒng)的牛頓環(huán)儀由一個(gè)曲率半徑很大的平凸透鏡和一塊光學(xué)平板玻璃構(gòu)成,使用波長λ=589.3 nm的鈉光光源測量透鏡曲率半徑,這種方法的主要缺陷是牛頓環(huán)儀兩鏡面的接觸點(diǎn)由于壓力產(chǎn)生變形,導(dǎo)致測量誤差較大.由于氦氖激光的相干長度很大,遠(yuǎn)大于平凸透鏡厚度對(duì)應(yīng)的光程,因而可僅用一個(gè)平凸透鏡鏡片構(gòu)成激光牛頓環(huán)儀進(jìn)行測量,避免了傳統(tǒng)牛頓環(huán)儀形變的影響,光路設(shè)計(jì)如圖8所示.波長為632.8 nm的氦氖激光經(jīng)擴(kuò)束鏡和準(zhǔn)直鏡后,出射光為平行面光源,經(jīng)45°傾角的半透半反鏡后,垂直照射到待測透鏡,在待測透鏡正上方即可用讀數(shù)顯微鏡觀察到激光牛頓環(huán)現(xiàn)象.

圖8 激光牛頓環(huán)干涉光路示意圖

由于氦氖激光的相干長度遠(yuǎn)大于平凸透鏡的厚度,如圖9所示,當(dāng)氦氖激光光線1垂直入射到平凸透鏡時(shí),在平凸透鏡上下表面分別發(fā)生反射,反射光線2、反射光線3滿足相干條件,產(chǎn)生干涉現(xiàn)象,在透鏡厚度相同的地方形成同一級(jí)次條紋,即可觀察到激光牛頓環(huán)干涉圓環(huán).

圖9 平凸透鏡氦氖激光干涉光路原理圖

設(shè)平凸透鏡片中心最大厚度為H,第k級(jí)暗環(huán)半徑為rk,第k級(jí)暗環(huán)對(duì)應(yīng)的透鏡厚度為h,透鏡折射率為n,令e=H-h,對(duì)第k級(jí)暗環(huán)

2nh=kλ

(9)

(10)

忽略高階小量e2,則第k級(jí)暗環(huán)半徑

(11)

第k+m級(jí)暗環(huán)半徑

(12)

兩式相減

(13)

將式(13)變?yōu)榘淡h(huán)直徑平方差,可得曲率半徑公式[5]

(14)

從上式可以得到氦氖激光的牛頓環(huán)與鈉光牛頓環(huán)干涉現(xiàn)象明顯的不同在于氦氖激光的牛頓環(huán)中心附近干涉級(jí)最大.

由于直接觀察激光牛頓環(huán)會(huì)對(duì)人眼造成損傷,所以我們在顯微鏡的目鏡端連接CCD,用顯示器觀察和測量激光牛頓環(huán),如圖10所示.利用讀數(shù)顯微鏡測量不同級(jí)次激光牛頓環(huán)暗紋直徑,代入式(14),可計(jì)算得到平凸透鏡的曲率半徑.

圖10 CCD顯示的激光牛頓環(huán)干涉圖樣

3 結(jié)論

在傳統(tǒng)牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上根據(jù)牛頓環(huán)干涉圖樣的形態(tài)分布與影響因素,對(duì)牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與實(shí)驗(yàn)方法方面的拓展.拓展實(shí)驗(yàn)方案融合了牛頓環(huán)等厚干涉原理、彈性力學(xué)理論、透鏡組合成像及3D打印技術(shù)等,將波動(dòng)光學(xué)原理、幾何光學(xué)原理及光學(xué)儀器的調(diào)節(jié)和使用融為一體,知識(shí)綜合性、應(yīng)用性較強(qiáng),在有效拓展學(xué)生思維能力的基礎(chǔ)上,能夠提高學(xué)以致用的實(shí)踐創(chuàng)新能力.