蔣魯佳 趙 雯 王 悅 鄭宏濤 常曉華

（1.北京宇航系統(tǒng)工程研究所 北京 100076）（2.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展中心 北京 100076）

1 引言

復(fù)雜系統(tǒng)的工程設(shè)計(jì)通常涵蓋多個(gè)學(xué)科專業(yè)，包含了大量的設(shè)計(jì)變量，然而，并不是所有設(shè)計(jì)變量都會(huì)對(duì)目標(biāo)函數(shù)產(chǎn)生較大的影響，而對(duì)于優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，較少的設(shè)計(jì)變量意味著較少的組合，優(yōu)化所需要的時(shí)間也會(huì)相應(yīng)減少?？梢?，通過對(duì)優(yōu)化變量進(jìn)行合理的選擇，能夠在一定程度上減少?gòu)?fù)雜工程優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的維數(shù)，提升優(yōu)化的效率。

在傳統(tǒng)工程設(shè)計(jì)中，優(yōu)化變量的選取通常是一種基于經(jīng)驗(yàn)的方法，即設(shè)計(jì)人員根據(jù)參與實(shí)際工程設(shè)計(jì)積累下來的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)優(yōu)化變量進(jìn)行選擇或篩選，這種方式一方面受設(shè)計(jì)人員主觀影響因素較大，不同的設(shè)計(jì)人員可能會(huì)有不同的選擇結(jié)果；另一方面，隨著設(shè)計(jì)方法和設(shè)計(jì)手段的不斷提高，優(yōu)化模型越來越復(fù)雜，僅憑設(shè)計(jì)人員的經(jīng)驗(yàn)很難對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)有全面的認(rèn)識(shí)，從而導(dǎo)致無法獲得滿足工程要求的設(shè)計(jì)結(jié)果。復(fù)雜系統(tǒng)工程優(yōu)化變量的選取應(yīng)該是一種科學(xué)的、基于信息［1］的方法。為此，本文提出一種基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)的飛行器優(yōu)化變量選取方法，為復(fù)雜工程設(shè)計(jì)中的優(yōu)化變量選取提供思路。

2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

試驗(yàn)設(shè)計(jì)是以概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)開展有效的統(tǒng)計(jì)分析的數(shù)學(xué)方法和理論。在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，系統(tǒng)的輸入變量為因素，輸入變量在樣本點(diǎn)處的取值為水平［2～4］。常用的試驗(yàn)方法主要有全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)、正交設(shè)計(jì)、拉丁超方設(shè)計(jì)、中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)、參數(shù)設(shè)計(jì)。

1）全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)

全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)是對(duì)每一個(gè)因素的不同水平進(jìn)行組合并進(jìn)行試驗(yàn)的設(shè)計(jì)方法。全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)理論上可以獲得較豐富的試驗(yàn)結(jié)果和較可靠的試驗(yàn)結(jié)論，但是當(dāng)試驗(yàn)水平和因素?cái)?shù)較多時(shí)，全因子設(shè)計(jì)需要的計(jì)算量也隨之增大［5～6］。

2）正交設(shè)計(jì)

正交設(shè)計(jì)通過正交表確定最佳的設(shè)計(jì)點(diǎn)組合，反映試驗(yàn)范圍內(nèi)因素與指標(biāo)之間的關(guān)系。正交設(shè)計(jì)有可能會(huì)降低結(jié)果分析的精度，但是所需試驗(yàn)次數(shù)也會(huì)在一定程度上有所減少［7～8］。

3）拉丁超方設(shè)計(jì)

拉丁超方設(shè)計(jì)對(duì)每個(gè)因素的設(shè)計(jì)區(qū)間均勻地劃分，然后再進(jìn)行隨機(jī)組合。相對(duì)于正交設(shè)計(jì)，拉丁超方設(shè)計(jì)可以進(jìn)行更多組合情況的研究［9～10］。

4）中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)

中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)是在兩水平因子設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，增加一些中心點(diǎn)，并且在每個(gè)因子增加了兩個(gè)“星點(diǎn)”得到。中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)計(jì)算量較小，需要的樣本數(shù)會(huì)隨著設(shè)計(jì)變量的增加而變多，計(jì)算代價(jià)也會(huì)逐漸變大［11～12］。

5）參數(shù)設(shè)計(jì)

參數(shù)設(shè)計(jì)研究每一個(gè)因素的敏感性，其他因素都使用初始值。參數(shù)設(shè)計(jì)無法提供設(shè)計(jì)變量交互作用的信息，但是只需要使用較少的設(shè)計(jì)點(diǎn)便可對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行評(píng)估［13］。

3 基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)化變量選取方法

本文提出的基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)化變量選取方法主要通過對(duì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果的回歸分析，來考察試驗(yàn)設(shè)計(jì)的多個(gè)因素對(duì)響應(yīng)變量的影響大小，并以此作為優(yōu)化問題設(shè)計(jì)變量的選取依據(jù)。對(duì)于一組給定的數(shù)據(jù)，總的數(shù)據(jù)變動(dòng)平方和可表示為

其中，yi為變量設(shè)計(jì)值；U為回歸平方和；Q為離差平方和。

在回歸方程中去掉任意一個(gè)變量，并作一個(gè)新的回歸方程。由于新的回歸方程減少了一個(gè)變量，因此回歸平方和會(huì)相應(yīng)減少，減少的數(shù)值越大，該變量的影響越大；數(shù)值越小，該變量的影響也越小。定義回歸平方和減少的數(shù)值為響應(yīng)變量對(duì)該變量的偏回歸平方和，可表示為

其中，βi為對(duì)應(yīng)的回歸系數(shù)，Cii為正規(guī)方程的系數(shù)矩陣的逆矩陣中主對(duì)角線上的第i個(gè)元素。偏回歸平方和Ui大的xi一定對(duì)響應(yīng)變量的影響大?；谠囼?yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)化變量選取方法就是利用了偏回歸平方和具有衡量各個(gè)變量對(duì)響應(yīng)變量影響程度的特性，來量化優(yōu)化變量對(duì)響應(yīng)變量的影響程度。

4 算例分析

本文對(duì)Rosenbrock 函數(shù)優(yōu)化算例［14］進(jìn)行了改進(jìn)，增加了對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響較小的e-x23項(xiàng)，用以考察基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)化變量選取方法的有效性，改進(jìn)后的數(shù)學(xué)描述如下：

算例優(yōu)化問題的最優(yōu)解為（1，1，10）或（1，1，-10），最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)為fmin=3.72×10-44。算例優(yōu)化問題有3 個(gè)設(shè)計(jì)變量，本文分別在這三個(gè)設(shè)計(jì)變量取值范圍中，均勻的選取了10 個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)，進(jìn)行全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)，即3因素10水平的全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)，獲得的設(shè)計(jì)變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響結(jié)果如圖1所示。

由圖1 可以看出，在本算例選取的3 因素10 水平的全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)下，對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響最大的是設(shè)計(jì)變量x2，設(shè)計(jì)變量x1和x3的變化幾乎對(duì)目標(biāo)函數(shù)沒有影響。依據(jù)該回歸分析結(jié)果，算例將原優(yōu)化問題的3個(gè)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行篩選，僅保留x2作為設(shè)計(jì)變量。x1和x3參考全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果中目標(biāo)函數(shù)最小的試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果作為固定值進(jìn)行優(yōu)化，原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為

圖1 設(shè)計(jì)變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響結(jié)果

Minf'=100(x2-1.112)2+(1-1.11)2+e-102

s.t.-10 ≤x2≤10

通過優(yōu)化，得到優(yōu)化結(jié)果為x2=1.2321，，盡管沒有得到最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)果，但設(shè)計(jì)變量的由3 維降為1 維，大大減少了優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中的計(jì)算量，說明基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)化變量選取方法，能夠在一定條件下采用定量的方法選擇或確定優(yōu)化設(shè)計(jì)變量。此外，對(duì)于理論研究工作，算例優(yōu)化結(jié)果從0.0121 提升至3.72×10-44可能會(huì)具有一定的研究?jī)r(jià)值，而對(duì)于工程設(shè)計(jì)，除了優(yōu)化結(jié)果，還需要考慮產(chǎn)品加工制造工藝帶來的系統(tǒng)誤差等影響因素，因此，工程設(shè)計(jì)權(quán)衡計(jì)算量、優(yōu)化精度等因素可能更具有實(shí)際意義。

5 飛行器多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化

文中以某型飛行器為背景，采用最小起飛質(zhì)量以及最大射程作為多目標(biāo)函數(shù)，并將影響設(shè)計(jì)方案可行性以及目標(biāo)函數(shù)的幾個(gè)專業(yè)，包括質(zhì)量參數(shù)分析、飛行器外形設(shè)計(jì)、飛行氣動(dòng)設(shè)計(jì)、飛行載荷設(shè)計(jì)、發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)及內(nèi)彈道設(shè)計(jì)、飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、姿控設(shè)計(jì)以及飛行軌跡設(shè)計(jì)作為集成的學(xué)科［15］，各學(xué)科使用方案論證階段的工程計(jì)算方法或能夠滿足該階段要求的設(shè)計(jì)方法建立模型。通過封裝每個(gè)學(xué)科模型，使各學(xué)科成為具備獨(dú)立設(shè)計(jì)及分析能力的模塊，這些模塊可以與其他學(xué)科進(jìn)行數(shù)據(jù)交互。本文根據(jù)各學(xué)科設(shè)計(jì)模型接口分析的結(jié)果，建立的飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)關(guān)系如圖2所示。

從圖2 中可以看出多學(xué)科設(shè)計(jì)模型之間接口關(guān)系復(fù)雜，形成多個(gè)反饋回路，為飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)系統(tǒng)分析和優(yōu)化帶來較大的困難。為此，本文采用多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化耦合關(guān)系處理方法［16］進(jìn)行解耦，去除了反饋回路的影響，如圖3所示，系統(tǒng)在進(jìn)行多學(xué)科分析時(shí)，僅需從設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)矩陣左上角的學(xué)科開始，依次進(jìn)行分析即可［17～18］。

圖2 飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)關(guān)系

本文建立的飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化模型中，每個(gè)學(xué)科設(shè)計(jì)模型都包含了大量的設(shè)計(jì)變量，為此，首先從總體的角度按照設(shè)計(jì)變量選取原則［19］，初步選取了57個(gè)設(shè)計(jì)變量，其中包括45個(gè)連續(xù)型變量和12 個(gè)離散型變量，出于保密要求，設(shè)計(jì)變量名稱不在本文列出。然后，采用非支配排序遺傳算法對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行搜索，設(shè)置50 種群數(shù)量，迭代次數(shù)為50次，即總共進(jìn)行2500次運(yùn)算，交叉概率為0.9，模型運(yùn)行共耗時(shí)91h 9min 51s，平均每次迭代用時(shí)約2min11s，得到的優(yōu)化結(jié)果如圖4所示，其中，縱坐標(biāo)為飛行器航程，橫坐標(biāo)為飛行器起飛質(zhì)量，出于保密要求，圖中隱去各坐標(biāo)軸的度量（下同），圖中藍(lán)色的點(diǎn)即為Pareto 解集，紅色的點(diǎn)為滿足各種約束條件的可行解集。

圖4 優(yōu)化結(jié)果

由以上優(yōu)化結(jié)果可以看出，Pareto 解集大致形成了一個(gè)Pareto 面，由于Pareto 解集中的點(diǎn)是由優(yōu)化迭代范圍內(nèi)的非劣解集組成，因此，所有可行解包括優(yōu)化的初始點(diǎn)都在這個(gè)Pareto 面的右下方。通過對(duì)優(yōu)化結(jié)果分析發(fā)現(xiàn)，飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化Pareto 解集中兩個(gè)端點(diǎn)設(shè)計(jì)變量的變化非常小，特別是一些外形參數(shù)變化都是在1mm～5mm 左右，這對(duì)于工程設(shè)計(jì)來說，可能只相當(dāng)于在實(shí)際生產(chǎn)制造過程中產(chǎn)生的誤差，最終得到的起飛質(zhì)量和射程目標(biāo)函數(shù)也非常的接近。經(jīng)進(jìn)一步分析可知，雖然耗費(fèi)了大量的計(jì)算時(shí)間，進(jìn)行了2500 次迭代計(jì)算，也得到了Pareto 解集，但這僅是在2500 次迭代結(jié)果中得到的Pareto 解集，迭代次數(shù)與設(shè)計(jì)空間上的可行解集相比還是非常有限的，盡管選擇的非支配排序遺傳算法在設(shè)計(jì)空間上具有全局搜索的能力，即理論上只要有充足的時(shí)間一定可以得到最優(yōu)的Pareto 解集，但這對(duì)于優(yōu)化問題來說計(jì)算量是非常巨大的。這是因?yàn)?，假設(shè)本文使用設(shè)計(jì)變量全都為離散變量，每個(gè)設(shè)計(jì)變量的可取值中僅有兩個(gè)離散值，57個(gè)設(shè)計(jì)變量約有14兆種組合，再假設(shè)本文建立的多學(xué)科模型每次進(jìn)行分析計(jì)算的時(shí)間僅需0.1s，那么在優(yōu)化過程中遍歷所有設(shè)計(jì)變量組合需要連續(xù)計(jì)算約4.6 億年的時(shí)間，更不用說對(duì)于本文大部分設(shè)計(jì)變量為連續(xù)型設(shè)計(jì)變量，因此，2500次迭代對(duì)于本文建立的飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)空間來說，只能代表非常有限的局部設(shè)計(jì)情況。

6 應(yīng)用研究

由以上分析可以看出，針對(duì)類似本文復(fù)雜系統(tǒng)的工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，可通過減少多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的維數(shù)，提高優(yōu)化的效率，獲取優(yōu)化設(shè)計(jì)空間較全面的認(rèn)識(shí)。為此，本文采用基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法，對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)變量進(jìn)行選取。綜合考慮樣本數(shù)量，本文以參數(shù)設(shè)計(jì)的方法為例進(jìn)行DOE 實(shí)驗(yàn)。設(shè)計(jì)變量對(duì)射程目標(biāo)函數(shù)和起飛質(zhì)量目標(biāo)函數(shù)的影響分別如圖5和圖6所示。

圖5 射程目標(biāo)函數(shù)的DOE試驗(yàn)結(jié)果

圖6 起飛質(zhì)量目標(biāo)函數(shù)的DOE試驗(yàn)結(jié)果

本文保留了DOE 試驗(yàn)結(jié)果中對(duì)目標(biāo)函數(shù)值影響大于5%的設(shè)計(jì)變量。經(jīng)過篩選，本文將初步選取的57個(gè)設(shè)計(jì)變量縮減至9個(gè)，大大減少了某型飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問題的維數(shù)。然后，使用代理模型對(duì)復(fù)雜的多學(xué)科設(shè)計(jì)模型進(jìn)行近似，并基于此使用非支配排序遺傳算法對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行搜索［20～22］，共耗時(shí)約2h，進(jìn)行了40000 次迭代，得到的起飛質(zhì)量和射程多目標(biāo)Pareto解集如圖7所示。從圖中可以明顯的看出起飛質(zhì)量與射程的變化趨勢(shì)，即隨著裝藥量的增加，獲得的射程也越大。其中，起飛質(zhì)量在變化的過程中存在一個(gè)跳變，這可能是由于在構(gòu)造代理模型樣本點(diǎn)的不夠充分引起的。

圖7 優(yōu)化結(jié)果

本文使用基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)化變量選取方法對(duì)飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化模型的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行選取，得到射程和起飛質(zhì)量多目標(biāo)Pareto 解集與現(xiàn)有的對(duì)射程與起飛質(zhì)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)水平基本一致。本文以某背景型號(hào)設(shè)計(jì)結(jié)果作為參考，在相同起飛質(zhì)量條件下將射程能力提高了約6%，一方面說明多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化應(yīng)用于飛行器總體設(shè)計(jì)，能夠進(jìn)一步挖掘設(shè)計(jì)潛力，另一方面也說明基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)化變量選取方法能夠滿足工程設(shè)計(jì)的需要［23～24］。

7 結(jié)語

本文提出了一種基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)化變量選取方法，并將其應(yīng)用于飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化中，采用一種定量的手段對(duì)優(yōu)化變量進(jìn)行選取，為解決因優(yōu)化變量過多而導(dǎo)致計(jì)算量較大的問題提供了途徑。然而，基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)化變量選取方法也存在待完善之處，如采用不同的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法可能會(huì)得到不同的結(jié)果，但如果結(jié)合多種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的回歸分析應(yīng)該會(huì)得到設(shè)計(jì)空間較準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)。