周琪琳 李 曄 耿金軍 楊元培 胡茂凱 胡 鐳 吳雪峰 鄭 勝

（1 三峽大學(xué)天文與空間科學(xué)中心 宜昌 443002）

（2 中國(guó)科學(xué)院紫金山天文臺(tái) 南京 210023）

（3 云南大學(xué)西南天文研究所 昆明 650504）

1 引言

快速射電暴（Fast Radio Bursts, FRBs）是河外起源的毫秒射電爆發(fā), 能量高達(dá)1039erg[1]. 到目前為止, 已經(jīng)報(bào)道了超過(guò)600個(gè)快速射電暴[2]. 其中25個(gè)探測(cè)到了重復(fù)爆發(fā)（以下稱(chēng)“重復(fù)暴”）. 由于能量高、持續(xù)時(shí)間短, 快速射電暴模型多與中子星有關(guān), 如磁陀星[3]、雙中子星合并[4]、中子星與小行星的碰撞[5]等. 值得一提的是, 與銀河系內(nèi)磁陀星相關(guān)的FRB 200428證實(shí)了磁陀星可以產(chǎn)生快速射電暴[6–7]. 但目前還不清楚河外快速射電暴是否與銀河系的快速射電暴的起源相同.

在射電波段以外, 唯一存在多波段對(duì)應(yīng)體的快速射電暴是FRB 200428. 其存在一對(duì)X射線對(duì)應(yīng)體, 證實(shí)了快速射電暴與磁陀星的關(guān)聯(lián)以及相對(duì)論性外流的存在. 在理論上, 快速射電暴也可能存在光學(xué)對(duì)應(yīng)體, 持續(xù)時(shí)間從毫秒到小時(shí)不等. 持續(xù)時(shí)間為毫秒量級(jí)的理論有快速射電暴本身在光學(xué)波段的延伸以及快速射電暴與中子星磁層中高能電子的逆康普頓散射（Inverse Compton scattering,IC）[8]. 激波中的脈澤則可能產(chǎn)生秒量級(jí)的光學(xué)耀發(fā)[9]. 如果快速射電暴是由磁陀星產(chǎn)生的, 磁陀星耀斑之間的相互作用也可能產(chǎn)生光學(xué)輻射[10]. 如果快速射電暴被超新星遺跡（Supernova Remnant,SNR）包圍, 快速射電暴與超新星遺跡中高能電子的逆康普頓散射可能產(chǎn)生持續(xù)時(shí)間數(shù)小時(shí)的光學(xué)耀發(fā)[8]. 外流與星際介質(zhì)（Interstellar Medium,ISM）相互作用產(chǎn)生的光學(xué)對(duì)應(yīng)體持續(xù)時(shí)間也類(lèi)似[11].

為了尋找快速射電暴的光學(xué)對(duì)應(yīng)體, 研究者們已經(jīng)做了一些嘗試. 一方面, 人們通過(guò)對(duì)已知重復(fù)暴進(jìn)行光學(xué)和射電同時(shí)觀測(cè), 搜尋快速射電暴的光學(xué)對(duì)應(yīng)體. 其中, FRB 121102進(jìn)行過(guò)射電和光學(xué)望遠(yuǎn)鏡TNT （Thai National Telescope）[12]、MAGIC （Major Atmospheric Gammaray Imaging Cherenkov Telescopes）[13]、 D50（50 cm D50 telescope）[14]和GTC （Gran Telescopio Canarias）[15]的同時(shí)觀測(cè).曝光時(shí)間為0.1–77.01 ms.在光學(xué)望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)期間, 射電望遠(yuǎn)鏡共觀測(cè)到了十幾個(gè)爆發(fā), 光學(xué)對(duì)應(yīng)體的通量限制為0.33–10 mJy. 同樣地, 也對(duì)FRB 180916B進(jìn)行了觀測(cè)[16–18]. 盡管在光學(xué)觀測(cè)過(guò)程中并沒(méi)有觀察到對(duì)應(yīng)的快速射電暴, 但Kilpatrick等[18]給出的30 s曝光限制為i波段極限星等mi>24.7、時(shí)間延遲下限為2.2 s. 對(duì)FRB 190520B的光學(xué)-射電同時(shí)觀測(cè)共觀測(cè)到了11個(gè)快速射電暴[19], 曝光時(shí)間為40.1 ms,通量限制上限為29 mJy. 另一方面, 大視場(chǎng)巡天也用于搜尋快速射電暴光學(xué)對(duì)應(yīng)體, 特別是秒到小時(shí)量級(jí)的快速射電暴光學(xué)對(duì)應(yīng)體. 人們搜尋了FRB 180916B[20]和FRB 20200120E[21]位置的數(shù)千個(gè)ZTF （Zwicky Transient Facility）曝光, 但沒(méi)有找到光學(xué)爆發(fā). 也對(duì)Gaia （Global Astrometric Interferometer for Astrophysics）、PTF （Palomar Transient Factory）等大視場(chǎng)巡天數(shù)據(jù)中快速射電暴的光學(xué)對(duì)應(yīng)體進(jìn)行了搜尋[22]. 迄今為止, 還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)確定的快速射電暴光學(xué)對(duì)應(yīng)體. 唯一一個(gè)可能的候選體是MASTER-Kislovodsk （Mobile Astronomical System of Telescope-Robots）望遠(yuǎn)鏡探測(cè)到的AT 2020hur, 與FRB 180916B位置符合. 但仍缺少具體的觀測(cè)細(xì)節(jié)[23].

在時(shí)域天文學(xué)發(fā)展的推動(dòng)下, 中國(guó)正在或計(jì)劃建設(shè)一批大視場(chǎng)光學(xué)巡天望遠(yuǎn)鏡, 其中包括: 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)與紫金山天文臺(tái)合作共建的2.5 m大視場(chǎng)巡天望遠(yuǎn)鏡（Wide Field Survey Telescope, WFST）、中國(guó)空間站工程巡天望遠(yuǎn)鏡（China Space Station Telescope, CSST）、地球2.0 （Earth 2.0, ET）等. 本文對(duì)WFST、CSST和ET的快速射電暴光學(xué)對(duì)應(yīng)體探測(cè)率進(jìn)行了估計(jì). 文章組成如下: 第2節(jié)總結(jié)了中國(guó)未來(lái)大視場(chǎng)望遠(yuǎn)鏡（WFST、CSST和ET）的主要參數(shù)及性能;第3節(jié)中, 預(yù)測(cè)了各種快速射電暴光學(xué)對(duì)應(yīng)體的可探測(cè)性, 包括持續(xù)時(shí)間在毫秒到小時(shí)量級(jí)的光學(xué)對(duì)應(yīng)體以及光學(xué)余輝; 最后, 在第4節(jié)中進(jìn)行了總結(jié)和討論. 在整個(gè)研究過(guò)程中, 采用了標(biāo)準(zhǔn)的含宇宙常數(shù)的冷暗物質(zhì)宇宙學(xué)模型（Lambda cold-darkmatter model, ΛCDM）, 參數(shù)如下: 哈勃常數(shù)H0=67.8 km·s-1·Mpc-1、物質(zhì)占比?m=0.308、暗能量占比?Λ=0.682.

2 中國(guó)未來(lái)的光學(xué)巡天望遠(yuǎn)鏡

CSST是中國(guó)載人航天工程正在建造的大型空間天文望遠(yuǎn)鏡. 其口徑為2 m, 計(jì)劃與空間站共軌獨(dú)立飛行, 于2023年底發(fā)射[24–25]. 其裝備有大視場(chǎng)光學(xué)巡天模塊、太赫茲模塊、多通道成像儀、積分視場(chǎng)光譜儀和系外行星成像星冕儀等觀測(cè)終端. 大視場(chǎng)光學(xué)巡天模塊的視場(chǎng)為1.1 deg2,角分辨為0.15角秒, 以精確宇宙學(xué)為主要科學(xué)目標(biāo). 配備了30塊電荷耦合器件（Charge-Coupled Device, CCD）, 包括18個(gè)成像CCD （覆蓋NUV （near ultra-violet）、u、g、r、i、z和y波段）和12個(gè)無(wú)縫光譜CCD （GU、GZ和GI）. 該巡天計(jì)劃在大約10 yr觀測(cè)時(shí)間內(nèi)覆蓋17500 deg2的天區(qū). 在巡天過(guò)程中, 每個(gè)區(qū)域?qū)⒈幻總€(gè)CCD覆蓋一次, 每次曝光150 s. 2次150 s曝光疊加后, r波段極限星等約為26等. CSST計(jì)劃完成高空間分辨率、大面積的多色成像和無(wú)縫光譜巡天, 并可使用多種儀器對(duì)選定天體進(jìn)行精細(xì)觀測(cè)和研究, 有望在暗物質(zhì)、暗能量、星系形成與演化、系外行星探測(cè)等天文領(lǐng)域和基礎(chǔ)物理領(lǐng)域的重大問(wèn)題上取得突破.

中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)和中國(guó)科學(xué)院紫金山天文臺(tái)聯(lián)合建設(shè)的2.5 m大視場(chǎng)巡天望遠(yuǎn)鏡（Wide Field Survey Telescope, WFST）座落于中國(guó)青海省冷湖鎮(zhèn)賽什騰山, 具有大視場(chǎng)、高精度、寬波段的巡天能力. 其口徑2.5 m, 覆蓋u、g、r、i、z五個(gè)波段, 30 s曝光極限星等為22.95等[26]. 模擬研究發(fā)現(xiàn),WFST在合理的巡天策略下運(yùn)行一年可以發(fā)現(xiàn)超過(guò)一萬(wàn)顆峰值前的超新星, 其中近百顆有早期的多色觀測(cè)[27]. WFST運(yùn)行期間將是北半球綜合效率最高的地面光學(xué)圖像巡天設(shè)備, 可提供高精度的測(cè)光和位置測(cè)量, 監(jiān)測(cè)運(yùn)動(dòng)天體、天體光變和搜尋暫現(xiàn)源, 并補(bǔ)充位于南半球的大口徑全天巡視望遠(yuǎn)鏡（Large Synoptic Survey Telescope, LSST）對(duì)天區(qū)覆蓋的不足, 實(shí)現(xiàn)全天時(shí)域監(jiān)測(cè).

ET是中國(guó)正在研制的空間望遠(yuǎn)鏡, 用于搜尋各種軌道周期的系外行星, 特別是類(lèi)太陽(yáng)恒星周?chē)念?lèi)地球行星[28]. ET由6個(gè)口徑為30 cm的凌星望遠(yuǎn)鏡和一個(gè)微引力透鏡望遠(yuǎn)鏡組成, 每個(gè)望遠(yuǎn)鏡將配備4個(gè)9 k×9 k像素的CMOS（Complementary Metal Oxide Semiconductor）探測(cè)器. 每個(gè)凌星望遠(yuǎn)鏡的視場(chǎng)為500 deg2, 指向同一個(gè)方向. 6個(gè)凌星望遠(yuǎn)鏡10 s曝光疊加后的極限星等為20.6等. 表1中,列出了上述各個(gè)光學(xué)望遠(yuǎn)鏡的重要參數(shù), 包括: 口徑、視場(chǎng)、典型曝光時(shí)間和各波段的極限星等.

表1 WFST、CSST和ET的主要參數(shù)Table 1 Main specifications of WFST, CSST and ET

3 快速射電暴光學(xué)對(duì)應(yīng)體的探測(cè)能力

3.1 毫秒時(shí)標(biāo)光學(xué)對(duì)應(yīng)體的探測(cè)能力

理論上, 快速射電暴的輻射可以從射電波段向光學(xué)波段延伸. 延伸之后的持續(xù)時(shí)標(biāo)與快速射電暴本身類(lèi)似, 都在毫秒量級(jí). 由于快速射電暴亮溫度極高, 一般認(rèn)為其起源于相干輻射. 常見(jiàn)的相干輻射機(jī)制有相干曲率輻射[29–33]和脈澤機(jī)制[34–38]. 相干曲率輻射指的是相對(duì)論性帶電粒子沿著磁力線運(yùn)動(dòng)時(shí), 切向加速度產(chǎn)生的輻射, 具有極強(qiáng)的集束效應(yīng). 觀測(cè)上, 快速射電暴能譜表現(xiàn)為冪律譜, 單位頻率流量fν ∝ν-1.6. 理論上, 光學(xué)波段的短波會(huì)使曲率輻射中的相干性變?nèi)? 導(dǎo)致能譜的截?cái)? 因此,相干曲率輻射的光學(xué)-射電流量比[8]:

其中,fν,opt和fν,radio分別為光學(xué)和射電流量. 脈澤機(jī)制是在射電波段發(fā)生的受激輻射放大現(xiàn)象. 快速射電暴主要可能產(chǎn)生于相對(duì)論性磁化激波中的同步脈澤現(xiàn)象. 通常來(lái)說(shuō), 受激放大現(xiàn)象發(fā)生的能段比較窄, 因此光學(xué)波段會(huì)比較弱. 弱脈澤中, 光學(xué)流量fν,opt?10-9fν,radio, 強(qiáng)脈澤中的光學(xué)輻射更弱.

另一方面, 如果快速射電暴產(chǎn)生于磁陀星, 其射電輻射將可能與磁陀星磁層中的高能電子作用產(chǎn)生逆康普頓散射, 從而形成光學(xué)輻射. 誕生初期的脈沖星自旋周期為幾十毫秒, 磁層半徑很小, 在數(shù)百米到數(shù)千千米, 逆康普頓散射產(chǎn)生的光學(xué)爆發(fā)持續(xù)時(shí)標(biāo)也在毫秒量級(jí). 輻射光度依賴(lài)于磁場(chǎng)強(qiáng)度B、自旋周期P等. 最理想情況下, 快速射電暴產(chǎn)生于磁場(chǎng)B?1014Gs的磁陀星中[8]:

其中,ηγ是電子洛倫茲因子γ?103的正負(fù)電子占總電子數(shù)的比值,μ±是正負(fù)電子在級(jí)聯(lián)中的倍增率, 遠(yuǎn)大于快速射電暴本身的高能延伸. 因此, 可探測(cè)的毫秒量級(jí)快速射電暴光學(xué)對(duì)應(yīng)體由快速射電暴與磁層中高能電子的逆康普頓散射主導(dǎo), 典型流量為fν,opt～5×10-5fν,radio. 如果考慮脈沖星的相關(guān)參數(shù)作為可能的參數(shù)范圍, 則磁場(chǎng)B ～1010–1015Gs, 自旋P ～0.001–10 s,μ± ～102–104,光學(xué)-射電流量比ην ～5×10-13–5×10-2.

大視場(chǎng)光學(xué)望遠(yuǎn)鏡的曝光時(shí)間一般為10 s量級(jí), 遠(yuǎn)大于毫秒. 持續(xù)時(shí)標(biāo)為毫秒的快速射電暴光學(xué)對(duì)應(yīng)體的探測(cè)率可估計(jì)為:

其中, ?是望遠(yuǎn)鏡的視場(chǎng),NFRB是快速射電暴關(guān)于單位頻率通量Fν,radio的累積探測(cè)率. 在這里, 我們使用加拿大氫強(qiáng)度測(cè)繪實(shí)驗(yàn)（Canadian Hydrogen Intensity Mapping Experiment, CHIME）望遠(yuǎn)鏡給出的關(guān)于通量的累積探測(cè)率[39]:

其中, sky表示全天面積, 為41252.96 deg2,Flim,radio是射電通量下限, 可通過(guò)各光學(xué)望遠(yuǎn)鏡的靈敏度計(jì)算:Flim,radio= ?tFRBflim,radio= ?tFRBf′lim,opt/ην,其中?tFRB是FRB的持續(xù)時(shí)間,flim,radio是射電流量下限. 由于望遠(yuǎn)鏡曝光時(shí)間texp遠(yuǎn)大于毫秒級(jí)光學(xué)對(duì)應(yīng)體的持續(xù)時(shí)間?topt, 有效的光學(xué)流量上限f′lim,opt=flim,opttexp/?topt, 其中, ?topt為毫秒時(shí)標(biāo)光學(xué)對(duì)應(yīng)體的持續(xù)時(shí)標(biāo). 假設(shè)?topt與快速射電暴本身的持續(xù)時(shí)標(biāo)?tFRB類(lèi)似,Flim,radio=texpflim,opt/ην, 望遠(yuǎn)鏡的流量下限flim,opt由極限星等轉(zhuǎn)換得到. 使用表1中的參數(shù)可以計(jì)算各探測(cè)器的快速射電暴光學(xué)對(duì)應(yīng)體探測(cè)率. 表2中給出了不同ην對(duì)應(yīng)的探測(cè)率.

表2 快速射電暴光學(xué)對(duì)應(yīng)體年探測(cè)率估計(jì)Table 2 Estimation of the annual event rate of FRB optical counterparts

可以看到, 最理想情況下,ην= 5×10-2時(shí),WFST和CSST的探測(cè)率可以達(dá)到每年上百個(gè), 即一兩天一個(gè). 而ET的探測(cè)率甚至高達(dá)上千個(gè), 這有賴(lài)于ET的大視場(chǎng)和相對(duì)較短的曝光時(shí)間. 然而,Gaia和ZTF的探測(cè)表明, 并不存在這么多的暫現(xiàn)源[22], 并限制ην <10-3. 當(dāng)ην= 10-3時(shí), 對(duì)應(yīng)的WFST、CSST的年探測(cè)率約為1個(gè), ET的年探測(cè)率接近20個(gè). 對(duì)于ην的典型值5×10-5, ET約為3年一個(gè), WFST為59年一個(gè), CSST為105年一個(gè). 對(duì)于曲率輻射和同步脈澤, 光學(xué)-射電通量比ην只有10-9和10-10, 預(yù)期的年探測(cè)率為小于10-8, 可忽略不計(jì).

3.2 小時(shí)時(shí)標(biāo)光學(xué)對(duì)應(yīng)體的探測(cè)能力

河內(nèi)快速射電暴FRB 200428產(chǎn)生于磁陀星SGR 1935+2154, 并且附近存在著超新星遺跡[40],與快速射電暴和超新星相關(guān)的模型[41–43]相吻合.如果大多數(shù)快速射電暴都起源于磁陀星, 并且周?chē)嬖谥滦沁z跡, 射電輻射可能通過(guò)與超新星遺跡中高能電子的逆康普頓散射過(guò)程產(chǎn)生光學(xué)輻射.由于散射發(fā)生在超新星遺跡的外圈, 產(chǎn)生的光學(xué)輻射持續(xù)時(shí)間[8]:

其中,t為超新星遺跡的年齡,M為超新星拋射物質(zhì)量,E為超新星的動(dòng)力學(xué)能量,θIC為FRB持續(xù)時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的角度.t的典型時(shí)標(biāo)取為5 yr是因?yàn)樵谔^(guò)年輕的超新星遺跡中, 快速射電暴會(huì)由于自由-自由吸收無(wú)法穿透超新星遺跡. 可以看到, 對(duì)于年輕的超新星遺跡, 光學(xué)輻射持續(xù)時(shí)間為小時(shí)量級(jí), 并且持續(xù)時(shí)間隨著超新星遺跡的年齡而增長(zhǎng).

光學(xué)輻射的流量存在兩種情況[8]:

其中, Case 1為FRB持續(xù)時(shí)間由掃過(guò)視線方向的時(shí)間決定, Case 2為FRB持續(xù)時(shí)間由脈沖張角θj決定. 對(duì)于SGR 1935+2154, 年齡為3.6 kyr[44],ην=7.7×10-12. 我們依舊使用（3）–（4）式對(duì)各望遠(yuǎn)鏡的小時(shí)量級(jí)光學(xué)對(duì)應(yīng)體探測(cè)率進(jìn)行估計(jì). 由于小時(shí)量級(jí)光學(xué)對(duì)應(yīng)體的持續(xù)時(shí)間大于曝光時(shí)間, 直接使用流量計(jì)算更為直接. （4）式中的射電通量下限Flim,radio= ?tFRBflim,radio= ?tFRBflim,opt/ην, 其中FRB的射電持續(xù)時(shí)標(biāo)?tFRB=5 ms使用的是CHIME樣本中的中值[2]. 估計(jì)的探測(cè)率列在表2中.最理想情況下, 超新星遺跡的年齡為5 yr時(shí)Case 1和Case 2的ην分別為8.8×10-6和2.2×10-6, 年探測(cè)率展示在第6列和第7列中. 可以看到, 年探測(cè)率大都在100以上. 其中, CSST的探測(cè)率最高, 得益于其極高的靈敏度（大極限星等）, 可達(dá)每天1–4個(gè). 但對(duì)于類(lèi)似于SGR 1935+2154的超新星遺跡, 年探測(cè)率小于10-5, 即幾乎無(wú)法探測(cè).

3.3 余輝的探測(cè)能力

FRB 200428的X射線對(duì)應(yīng)體的發(fā)現(xiàn)表明快速射電暴還存在高能輻射, 這些高能輻射可能來(lái)自于FRB產(chǎn)生過(guò)程中伴隨的高速外流. 與伽馬射線暴（Gamma-ray burst, GRB）中多波段余輝輻射的產(chǎn)生相似, 磁陀星活動(dòng)產(chǎn)生的相對(duì)論性外流與周?chē)男请H介質(zhì)相互作用耗散其動(dòng)能, 可能產(chǎn)生從光學(xué)到X射線甚至γ射線的輻射.

我們采用GRB標(biāo)準(zhǔn)外激波同步輻射余輝模型計(jì)算FRB可能對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)時(shí)標(biāo)余輝輻射[45–47]. 相對(duì)論性外流可以用一個(gè)初始總能量為Etot和整體洛倫茲因子為γ0的火球描述, 假設(shè)激波耗散中電子內(nèi)能和磁場(chǎng)能的均分參數(shù)分別為εe和εB, 非熱電子為冪律譜且譜指數(shù)為p以及環(huán)境介質(zhì)的數(shù)密度為n0. 對(duì)于長(zhǎng)時(shí)標(biāo)余輝而言, 噴流組成成分等一些微觀細(xì)節(jié)不會(huì)對(duì)輻射計(jì)算產(chǎn)生明顯的影響. 觀測(cè)對(duì)快速射電暴輻射機(jī)制的各種約束表明爆發(fā)產(chǎn)生的等離子外流整體運(yùn)動(dòng)洛倫茲因子至少為100, 故在下面的討論中均采用典型值, 即:γ0=100[48]. 射電脈沖星的觀測(cè)表明, 其射電輻射效率通常很低, 特別是高能輻射脈沖星. 因此, 快速射電暴外流的總動(dòng)能有可能顯著大于快速射電暴的能量.

外流與星際介質(zhì)相互作用會(huì)產(chǎn)生正向激波（forward shock,FS）以及反向激波（reverse shock,RS）, 它們的同步輻射光譜可以由3個(gè)特征頻率的分段冪律來(lái)表示: 最小同步頻率（對(duì)應(yīng)于洛倫茲系數(shù)最小的電子）νm、冷卻頻率νc和自吸收頻率νa.譜的峰值流量記為fν,max. 減速時(shí)標(biāo)為t×, 也就是RS穿過(guò)外流殼層的時(shí)間（對(duì)于非強(qiáng)磁化拋射物）, 可近似表示為:

式中z為紅移,l= （3Etot/4πn0mpc2）1/3為Sedov長(zhǎng)度,mp是質(zhì)子質(zhì)量,c是真空中的光速. 初始體洛倫茲因子γ0值越大t×越小. 當(dāng)Etot= 1047erg、γ0=100、n0= 1 cm-3時(shí),t× ～3 s.

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)模型, 可以計(jì)算FRBs的余輝輻射. 在激波穿越時(shí)刻t×?xí)r, 正向激波的能譜和譜峰值能量可計(jì)算為[11]:

其中,Qx表示Q/10x, 例如:εB,-2=εB/10-2;εe,-1=εe/10-1;Etot,47=Etot/1047.νfm,×、νfc,×、νfa,×以及ffν,max,×中的上標(biāo)f表示正向激波,DL為光度距離. 若取典型物理參數(shù):εe= 0.1,εB= 0.01,p=2.5, 則有標(biāo)度關(guān)系:

相比較GRB的情形, 磁陀星爆發(fā)的總能量較低, 因此快速射電暴外流會(huì)在較短的時(shí)間內(nèi)（小時(shí)量級(jí)以?xún)?nèi)）達(dá)到非相對(duì)論階段, 此時(shí)體洛倫茲因子為:γ ～（3Etot/32πn0mpc5t3）1/8. 在此轉(zhuǎn)變時(shí)間后, 正向激波的分段冪律譜及峰值流量修正為:

圖1顯示了幾個(gè)典型參數(shù)下的光變曲線. 其中,總能量Etot分別為1047erg、1045erg和1043erg,紅移z分別為0.001、0.01和0.1. 可以看到, 快速射電暴光學(xué)余輝的持續(xù)時(shí)間從幾秒到幾小時(shí). 外流總能量越高, 余輝的峰值出現(xiàn)時(shí)間和持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng). 總能量為1043erg、1045erg和1047erg的外流產(chǎn)生的峰值分別出現(xiàn)在1 s、 5 s和30 s附近. 紅移越小, 流量越高, 星等越小. 圖中還通過(guò)黑色實(shí)線、 深藍(lán)色虛線和灰色點(diǎn)線表示出了10 s曝光的ET極限星等, 30 s曝光的g波 段WFST極 限 星 等 和150 s曝 光 的g波 段CSST極限星等. 對(duì)于外流總能量為1047erg的爆發(fā), 即使紅移為0.1也基本能夠看到, 對(duì)于外流總能量為1045erg的爆發(fā), 只有紅移低于0.01的能夠看到, 對(duì)于外流總能量為1043erg的爆發(fā), 即使紅移小于0.001, 也很難看到. 前面提到的望遠(yuǎn)鏡的曝光時(shí)間為10–150 s. 因此, 望遠(yuǎn)鏡的探測(cè)能力與余輝的持續(xù)時(shí)間有關(guān). 如果余輝的持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)于曝光時(shí)間, 望遠(yuǎn)鏡的極限星等與表1相同. 如果余輝的持續(xù)時(shí)間短于曝光時(shí)間, 望遠(yuǎn)鏡的有效極限星等則比表1中的大. 由于余輝輻射的持續(xù)時(shí)間與外流總能量Etot等參數(shù)不存在簡(jiǎn)單關(guān)系, 因此各望遠(yuǎn)鏡的余輝探測(cè)能力需要通過(guò)蒙特卡洛模擬來(lái)進(jìn)行.

圖1 快速射電暴光學(xué)余輝光變曲線及其10 s, 30 s, 150 s平均值示例. 灰色點(diǎn)線、深藍(lán)色虛線和黑色實(shí)線分別為CSST在g波段的極限星等、WFST在g波段的極限星等以及ET的極限星等. 對(duì)應(yīng)顏色的水平輔助線分別表示上述光變曲線10 s、30 s和150 s的平均流量（10 s、30 s、150 s以豎線標(biāo)識(shí), 分別對(duì)應(yīng)ET、WEST、CSST的曝光時(shí)間）.Fig.1 Example of a fast radio burst optical afterglow curve and its 10 s, 30 s, 150 s averages. The gray dotted line, dark blue dashed line, and solid black line are the limit magnitude of CSST in the g band, WFST in the g band, and ET. The horizontal auxiliary lines corresponding to the colors represent the average flow rates of the above light curve of 10 seconds, 30 seconds and 150 seconds, respectively （10 s, 30 s, 150 s are identified by vertical lines, corresponding to the exposure time of ET, WEST, and CSST）.

首先, 遵循快速射電暴在宇宙中的分布, 我們模擬了1000000個(gè)不同紅移處的快速射電暴. 紅移上限取為20, 但在模擬的樣本中, 大多數(shù)都小于紅移5. 在前人的研究中, 有些認(rèn)為快速射電暴在宇宙中的分布與恒星形成率密度的分布一致[49], 有些認(rèn)為快速射電暴與恒星形成率密度存在顯著的時(shí)間延遲[50]. 根據(jù)最新的CHIME快速射電暴樣本得到的結(jié)果中, 快速射電暴在宇宙中的分布與恒星形成率密度的分布基本一致[51]. 因此, 本文中, 我們使用宇宙中的恒星形成率密度分布形式作為快速射電暴的分布, 即:

其中,φ0是快速射電暴的爆發(fā)率, 對(duì)于能量為1039erg以上的快速射電暴,φ0=104bursts·Gpc-3·yr-1[51]. SFRD（z）是恒星形成率密度（star formation rate density, SFRD）. 恒星形成率密度能夠通過(guò)紫外、紅外連續(xù)譜、發(fā)射線、射電和X射線等多種方式來(lái)進(jìn)行研究. 不同方法得到的結(jié)果略有差別, 但一般認(rèn)為恒星形成在紅移z ～2附近存在一個(gè)峰值, 更早或者更晚都逐漸下降. 我們使用了紫外和紅外巡天測(cè)定的恒星形成率密度SFRD（z）[52]:

然后, 我們根據(jù)快速射電暴的能量分布函數(shù)（energy distribution function）模擬各快速射電暴的射電波段能量Erad. 我們使用了Schechter函數(shù)形式[53]的能量分布[51]:

其中,是Schechter函數(shù)的指數(shù)截?cái)嗄芰? 在CHIME的樣本中l(wèi)g= 41.4±0.5.α是低能段的指數(shù),α=我們使用的能量下限為1039erg.

接著, 我們根據(jù)模擬的快速射電暴的射電能量估計(jì)相對(duì)論性外流總能量Etot, 并通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的余輝模型, 得到光學(xué)余輝的光變曲線. 我們假設(shè)外流總能量Etot與射電波段的能量比為ζ.Etot通常與X射線波段的能量相近, 對(duì)于FRB 200428,ζ ≡Etot/Erad=EX/Erad～105[54].

當(dāng)余輝持續(xù)時(shí)間大于望遠(yuǎn)鏡的曝光時(shí)間時(shí), 望遠(yuǎn)鏡的靈敏度與標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算相同, 當(dāng)余輝持續(xù)時(shí)間小于望遠(yuǎn)鏡曝光事件時(shí), 有效的靈敏度反比于持續(xù)時(shí)間. 為了定量研究ET、WFST和CSST探測(cè)光學(xué)余輝的能力,我們計(jì)算了各光學(xué)余輝在前10 s、30 s和150 s的平均流量, 圖1中的點(diǎn)線展示了其中的幾個(gè)例子. 可以看到, 在峰值之前, 曝光時(shí)間越長(zhǎng)平均流量約大; 峰值之后, 曝光時(shí)間越長(zhǎng)平均流量約小.但平均流量的下降速度慢于光變曲線的下降速度.圖2展示了ζ ≡Etot/Erad～105時(shí)模擬得到的峰值的時(shí)間與流量的散點(diǎn)圖. 統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn), 在我們模擬的106個(gè)FRB中, 383個(gè)的平均流量大于CSST的g波段靈敏度, 189個(gè)的平均流量大于WFST的g波段靈敏度, 57個(gè)的平均流量大于ET的白光波段靈敏度.

圖2 模擬得到的快速射電暴光學(xué)余輝峰值時(shí)間與星等散點(diǎn)圖. 其中, 總能量-射電能量比設(shè)為ζ ≡Etot/Erad ～105. 灰色點(diǎn)線、深藍(lán)色虛線和黑色實(shí)線分別為CSST在g波段的極限星等、WFST在g波段的極限星等以及ET的極限星等.Fig.2 Simulated peak time and peak flux of fast radio burst optical afterglow. The ratio between the total energy and the radio energy ζ ≡Etot/Erad ～105 is assumed. The limit magnitude of CSST in the g band, WFST in the g band, and ET are presented as gray dotted line, dark blue dashed line, and solid black line.

最后, 我們通過(guò)CHIME樣本中給出的快速射電暴爆發(fā)率[51]進(jìn)行歸一化, 并考慮各望遠(yuǎn)鏡的視場(chǎng), 即得到各望遠(yuǎn)鏡對(duì)快速射電暴光學(xué)余輝的探測(cè)率. 快速射電暴的年探測(cè)率可估計(jì)為:

這里,T為觀測(cè)時(shí)間, ?為望遠(yuǎn)鏡覆蓋天空的立體角,φ（z）為（16）式中給出的快速射電暴爆發(fā)率隨紅移的分布,zmax為紅移的積分上限, 與模擬快速射電暴在宇宙中的分布時(shí)取了相同的上限. （1 +z）-1表示宇宙膨脹因子, dV（z）/dz= 4πcD（z）/是共動(dòng)體積.PFRB是上述1000000次模擬樣本中,CSST、WFST、ET的探測(cè)比例. 假設(shè)觀測(cè)周期T= 1 yr, 我們可以計(jì)算出快速射電暴的年探測(cè)率如表3所示. 同時(shí)展示了總能量-射電能量比ζ為104、105和106時(shí)的結(jié)果.

表3 快速射電暴光學(xué)余輝的年探測(cè)率Table 3 The annual event rate of the optical afterglow of FRBs

可以看到, 當(dāng)ζ=Etot/Erad= 105時(shí), 以平均流量為判定標(biāo)準(zhǔn), WFST、CSST和ET的快速射電暴光學(xué)余輝年探測(cè)率分別為1.3、1.0和67個(gè). 當(dāng)使用峰值流量作為判定標(biāo)準(zhǔn)時(shí), 探測(cè)率約增大為平均流量作為判定標(biāo)準(zhǔn)的2倍. 由于較高的靈敏度, 在我們模擬的樣本中, CSST的探測(cè)比例PFRB最高, 為3.83×10-4. 然而, ET的視場(chǎng)遠(yuǎn)大于WFST和CSST, 因此具有最高的年探測(cè)率. 如果總能量和射電能量的比例ζ為104, 則除ET外所有望遠(yuǎn)鏡的年探測(cè)率都小于1個(gè). 在CSST預(yù)期的10 yr巡天時(shí)間中,預(yù)計(jì)只能探測(cè)到2.4個(gè).如果ζ為106,則WFST和CSST的年探測(cè)率分別為4.7和3.8個(gè), ET約為每月16個(gè). 由此可見(jiàn), WFST、CSST和ET中的探測(cè)結(jié)果也可以用于限制總能量和射電的能量比.

4 討論與結(jié)論

本文研究了理論預(yù)言的快速射電暴光學(xué)對(duì)應(yīng)體在中國(guó)未來(lái)大視場(chǎng)望遠(yuǎn)鏡中國(guó)空間站望遠(yuǎn)鏡（CSST）、2.5 m大視場(chǎng)巡天望遠(yuǎn)鏡（WFST）和地球2.0 （ET）的可探測(cè)性. 對(duì)于毫秒時(shí)標(biāo)光學(xué)對(duì)應(yīng)體,最理想情況下射電-光學(xué)流量比ην= 5×10-2時(shí),WFST、CSST和ET的年探測(cè)率可以達(dá)到成百上千. 但Gaia和ZTF觀測(cè)限制了ην <10-3, 對(duì)應(yīng)的WFST、CSST和ET的年探測(cè)率分別為1.1個(gè)、0.6個(gè)和19.5個(gè).對(duì)于小時(shí)時(shí)標(biāo)光學(xué)對(duì)應(yīng)體,最理想情況下超新星遺跡的年齡為5年、ην為10-6時(shí), 年探測(cè)率大都在100以上. 但對(duì)于類(lèi)似于SGR 1935+2154的超新星遺跡, 年探測(cè)率小于10-5, 即幾乎無(wú)法探測(cè). 對(duì)于相對(duì)論性外流與介質(zhì)相互作用產(chǎn)生的光學(xué)余輝, 持續(xù)時(shí)間為秒到小時(shí), 當(dāng)總能量-射電能量比與FRB 200428類(lèi)似～105時(shí), CSST、WFST和ET的年探測(cè)率分別為1.3、1.0和67個(gè).

研究表明,在觀測(cè)中對(duì)于短時(shí)標(biāo)的光學(xué)對(duì)應(yīng)體,短曝光和大視場(chǎng)有利于提高探測(cè)率. 對(duì)于小時(shí)時(shí)標(biāo)的光學(xué)對(duì)應(yīng)體, 提高望遠(yuǎn)鏡靈敏度對(duì)于提高探測(cè)率更加有效. 因此, 對(duì)于毫秒時(shí)標(biāo)光學(xué)對(duì)應(yīng)體和秒到小時(shí)的光學(xué)余輝, ET具有最高的探測(cè)率. 對(duì)于小時(shí)時(shí)標(biāo)的光學(xué)對(duì)應(yīng)體, CSST具有最高的年探測(cè)率. 因此在對(duì)巡天項(xiàng)目進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí), 如果希望探測(cè)到更多的秒量級(jí)及以下的短時(shí)標(biāo)光學(xué)爆發(fā), 應(yīng)著重于短曝光和增大視場(chǎng). 特別是, 如果能夠使用CMOS或者EMCCD （Electron-Multiplying CCD）, 獲得毫秒量級(jí)的曝光, 將極大提高毫秒量級(jí)光學(xué)對(duì)應(yīng)體的探測(cè)能力.

另一方面, 快速射電暴光學(xué)對(duì)應(yīng)體的確認(rèn)也是一個(gè)待解決的問(wèn)題. 相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的光學(xué)巡天, 快速射電暴光學(xué)對(duì)應(yīng)體的持續(xù)時(shí)標(biāo)都比較短. 在實(shí)際觀測(cè)中, 只表現(xiàn)為一個(gè)觀測(cè)點(diǎn), 極其容易與宇宙射線等污染源混淆. 因此, 尚不能排除Gaia等現(xiàn)有巡天望遠(yuǎn)鏡已經(jīng)探測(cè)到類(lèi)似的暫現(xiàn)源, 只是無(wú)法從科學(xué)上確認(rèn)和報(bào)道. 首先, 在WFST、CSST和ET的觀測(cè)中, CSST使用了多濾光片掃描模式, 有時(shí)會(huì)在一小時(shí)內(nèi)多次掃描同一天區(qū), 可能獲得小時(shí)量級(jí)光學(xué)對(duì)應(yīng)體的較好采樣, 并通過(guò)光變曲線和顏色進(jìn)行確認(rèn). 因此, 對(duì)小時(shí)量級(jí)光學(xué)對(duì)應(yīng)體光變和顏色的研究有利于從未來(lái)CSST的樣本中挑選出快速射電暴光學(xué)對(duì)應(yīng)體的候選體. 其次, DSA-100 （Deep Synoptic Array）和ASKAP （Australian Square Kilometre Array Pathfinder）等望遠(yuǎn)鏡獲得了越來(lái)越多具有角秒定位精度的快速射電暴[55], CHIME也能夠獲得角分定位精度的快速射電暴[56], 將有利于快速射電暴光學(xué)對(duì)應(yīng)體的確認(rèn). 同時(shí), 也有一些文章討論了毫秒時(shí)標(biāo)光學(xué)爆發(fā)在圖像上的特殊性, 可能有利于篩選候選體[57]. 但實(shí)際的情況可能更加復(fù)雜, 有效性也有待深入研究. 最后, 最理想的情況是同時(shí)觀測(cè)到光學(xué)對(duì)應(yīng)體和射電波段的爆發(fā). 因此,可以在觀測(cè)策略上盡量與500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope, FAST）等進(jìn)行同時(shí)觀測(cè). 這種情況下觀測(cè)到的光學(xué)對(duì)應(yīng)體是最可靠的, 也最有利于對(duì)其中的物理過(guò)程進(jìn)行研究.

致謝感謝審稿人對(duì)文章提出的寶貴建議使文章質(zhì)量有了顯著的提高. 感謝ADS數(shù)據(jù)庫(kù)的協(xié)助.