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        一類加權(quán)序列空間中廣義齊次核的Hilbert型離散不等式和序列算子的有界性

        2023-10-09 13:55:16張麗娟孔蔭瑩

        張麗娟,洪 勇,,孔蔭瑩

        (1.廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 511300;2.廣東財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510320)

        (1)

        由于Hilbert不等式在研究算子的有界性及算子范數(shù)中有重要應(yīng)用,因而受到廣泛關(guān)注。設(shè)r>1,φ(m)>0,將lr(N+)推廣為加權(quán)序列空間:

        是以K(m,n)為核的Hilbert型離散不等式。當(dāng)加權(quán)序列空間中的權(quán)函數(shù)為冪函數(shù)時(shí),各國學(xué)者已經(jīng)得到了許多結(jié)構(gòu)優(yōu)美的Hilbert型不等式。

        (2)

        文[3]得到:

        (3)

        式(2)與式(3)的常數(shù)因子都是最佳值。

        文[4]考慮了抽象的λ階齊次核,引入搭配參數(shù)a,b,首次討論了Hilbert型離散不等式的最佳參數(shù)條件,得到不等式:

        (4)

        加權(quán)序列空間:

        1 若干引理

        設(shè)G(u,v)是λ階齊次函數(shù),λ1λ2≠0,稱K(x,y)=G(eλ1x,eλ2y)為廣義齊次函數(shù),顯然K(x,y)具有性質(zhì):

        引理1設(shè)g(u)>0,λ>0,c>0,λ0∈R,g(u)分別在(0,c]上遞增和在[c,+∞)上遞減,則

        證明因?yàn)間(u)分別在(0,c]上遞增和在[c,+∞)上遞減,故g(c)是g(t)在是的最大值。

        (g(eλk+λ0)(k+1-c0)+g(eλ(k+1)+λ0)(c0-k))≤

        g(c)(k+1-c0)+g(c)(c0-k)=

        引理2設(shè)λ1>0,λ2>0,c1>0,c2>0,G(u,v)是λ階齊次非負(fù)函數(shù),K(x,y)=G(eλ1x,eλ2y),G(1,tλ2)t-bp分別在(0,c1]上遞增和在[c1,+∞)上遞減,G(tλ1,1)t-aq分別在(0,c2]上遞增和在[c2,+∞)上遞減,則

        (5)

        (6)

        證明記g(t)=G(1,tλ2)t-bp,因?yàn)間(t)分別在(0,c1]上遞增和在[c1,+∞)上遞減,于是有

        故式(5)成立。

        類似地,可以證明式(6)成立。

        2 加權(quán)序列空間中的Hilbert型離散不等式

        (7)

        (ⅱ)若λ1=λ2=λ0,aq+bp=λλ0,M1=M2,則

        (8)

        證明(ⅰ)以a,b為搭配參數(shù),根據(jù)H?lder不等式及引理2,有

        故式(7)成立。

        W1(-bp)+M1

        從而根據(jù)(i),得到式(8)。

        3 加權(quán)序列空間中離散算子的有界性及算子范數(shù)估計(jì)

        則根據(jù)Hilbert型不等式的基本理論,不難證明Hilbert型離散不等式:

        (9)

        等價(jià)于算子不等式:

        (10)

        根據(jù)式(9)與式(10)的等價(jià)性和定理1,可得:

        則有

        故W1(-bp)<+∞,M1=M2。根據(jù)引理3,W2(-aq)=W1(-bp)<+∞。

        根據(jù)定理2,知推論1成立。

        則有

        (λλ0-σ)t-λ0]

        λλ0)tλ0]

        又因?yàn)閍q+bp=0,由引理3,有W1(-bp)=W2(-aq),而

        故W2(-aq)<+∞。同時(shí)還有

        故M1=M2。

        綜上,根據(jù)定理2,知推論2成立。

        注最后,需要指出的是,式(8)中的常數(shù)因子W1(-bp)+M1是否是最佳值,不得而知,這是需要進(jìn)一步研究的問題。

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