段秋宇，戚承志，王皓楠，封焱杰，羅伊，馬嘯宇

（1.北京建筑大學(xué)北京未來城市設(shè)計高精尖創(chuàng)新中心，北京100044；2.北京建筑大學(xué)北京城市交通基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)國際合作基地，北京100044；3.北京建筑大學(xué)土木與交通工程學(xué)院，北京100044）

1 引言

砂土作為自然界中常見的顆粒介質(zhì)， 具有復(fù)雜的彈塑性變形特性， 且在其變形過程中， 表現(xiàn)出顯著的應(yīng)力路徑相關(guān)性。 天然地基下的飽和砂土通常會受到復(fù)雜的加載卸載而發(fā)生變形，因此，研究砂土在不同應(yīng)力路徑下的變形特性，并應(yīng)用于工程實際， 對于土力學(xué)的發(fā)展具有重要的理論意義和應(yīng)用價值。

1976 年，LAMBE[1]首次提出應(yīng)力路徑方法（stress path method），定義應(yīng)力路徑概念為“以單元劃分土體，土體單元最大剪切應(yīng)力點從一種應(yīng)力狀態(tài)變換到另一狀態(tài)的軌跡”。 隨后，國內(nèi)外學(xué)者圍繞應(yīng)力路徑相關(guān)問題進行了大量試驗研究，得出了一系列重要結(jié)論。 BRETH[2]研究了泊松比和初始彈性剪切模量受應(yīng)力路徑的影響規(guī)律。 LADE 和DUNCAN[3]的研究通過觀察卸載再加載的過程，表明砂土應(yīng)力-應(yīng)變曲線受應(yīng)力路徑的影響。劉祖德等[4]通過對多種應(yīng)力路徑條件下砂土和黏土的三軸試驗， 揭示了填土的應(yīng)力應(yīng)變特性受應(yīng)力路徑影響。沈珠江等[5]通過對4 種應(yīng)力路徑下標(biāo)準(zhǔn)砂的三軸試驗結(jié)果分析， 驗證了應(yīng)變總量和應(yīng)變增量方向的唯一性假設(shè)的適用性。

在砂土本構(gòu)模型的研究方面，姚仰平等[6]在UH 模型（Unified Hardening，統(tǒng)一硬化模型）的基礎(chǔ)上，引入壓硬性參量、剪脹性參數(shù)、臨界狀態(tài)參量，建立了砂土的UH 模型，并通過數(shù)值模擬驗證了模型的合理性， 該模型不同于依靠試驗數(shù)據(jù)直接建立的本構(gòu)模型，具有牢固的力學(xué)基礎(chǔ)，易于被進一步擴展，但是循環(huán)荷載、部分排水等復(fù)雜應(yīng)力路徑對砂土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的影響沒有考慮。同時，羅汀等[7]提出雙硬化概念，將影響砂土塑性變形的硬化參量分為耦合與非耦合兩部分， 提出了飽和砂土的雙硬化本構(gòu)模型。 該模型可以分別考慮應(yīng)力路徑和應(yīng)變路徑對砂土應(yīng)力應(yīng)變特性的影響，除排水條件外，還能預(yù)測不排水、部分排水和部分吸水條件下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，但該模型對于應(yīng)力路徑從不同初始狀態(tài)點出發(fā)對砂土應(yīng)變影響規(guī)律的研究還未考慮。

不同應(yīng)力增量方向是應(yīng)力路徑的一種特殊形式。 砂土從同一狀態(tài)點出發(fā)，沿不同應(yīng)力增量方向進行加載時，砂土的塑性應(yīng)變不同， 這就是不同應(yīng)力增量方向?qū)ι巴磷冃翁匦缘挠绊憽?對于巖土材料而言，應(yīng)力路徑影響塑性變形，彈性變形僅受應(yīng)力狀態(tài)的影響。 王碩等[8]提出的雙屈服面本構(gòu)模型，將傳統(tǒng)雙屈服模型中的應(yīng)力洛德角方向的剪切屈服面和體積屈服面分別用作雙屈服面， 該模型能夠反映應(yīng)力增量方向與塑性應(yīng)變增量方向具有一定的相關(guān)性， 但對于二者之間具體的對應(yīng)關(guān)系還需進一步研究。施維成等[9]針對傳統(tǒng)彈塑性模型的塑性勢面應(yīng)用于巖土材料中的缺陷， 提出了連續(xù)漸變塑性勢面模型和塑性勢面區(qū)域的概念， 進一步反映了應(yīng)力增量方向和塑性應(yīng)變增量方向的相關(guān)性。 郭云鵬等[10]對不同應(yīng)力增量方向這一特殊應(yīng)力路徑進行了福建標(biāo)準(zhǔn)砂的三軸試驗， 得到了福建標(biāo)準(zhǔn)砂在不同應(yīng)力增量方向時的變形規(guī)律。 以上的理論和試驗研究表明， 應(yīng)力增量方向?qū)τ谏巴磷冃翁匦跃哂幸欢ㄓ绊?，但是相?yīng)的理論模型尚未建立。 因此，本文針對不同應(yīng)力增量方向這一特殊應(yīng)力路徑進行研究， 考慮孔隙比對于飽和砂土塑性應(yīng)變影響，以文獻[10]中開展的關(guān)于福建標(biāo)準(zhǔn)砂的三軸試驗結(jié)果為基礎(chǔ)， 建立可以表示不同應(yīng)力增量方向下飽和砂土塑性應(yīng)變的理論模型，并使用MATLAB 軟件進行模型的適用性分析。

2 飽和砂土變形特性的應(yīng)力路徑相關(guān)性研究

2.1 砂土變形的細(xì)觀機制

由于砂土材料在變形過程中受各種復(fù)雜因素的影響，想要通過一種方式全面考慮各種因素對砂土變形特性的影響是不現(xiàn)實的，只能通過研究主要影響因素得出一定的結(jié)論。 姚仰平等[11]對日本Toyoura 砂三軸試驗結(jié)果進行分析，得出結(jié)論：應(yīng)力比η（η=q/p。p 為壓力；q 為剪力。）是造成應(yīng)力路徑對塑性應(yīng)變影響的主要因素。 文獻[12]從砂土變形的細(xì)觀機制出發(fā)，給出砂土變形細(xì)觀機制簡圖（見圖1）。簡圖取4 個單位長度的圓形鋼性棒作為一個單元體進行研究， 分析了其變形的細(xì)觀機制，定性地研究了砂土變形的宏觀現(xiàn)象。

如圖1 所示， 當(dāng)顆粒單元體由狀態(tài)1 變到狀態(tài)2 再變到狀態(tài)3 時，孔隙比先增大后減小，對應(yīng)宏觀砂土土體先剪脹后剪縮。設(shè)與主應(yīng)力σ1相對應(yīng)的外力為F1、F2，與主應(yīng)力σ3相對應(yīng)的外力為F3、F4，如圖2 所示，其中F1=F2，F(xiàn)3=F4。

圖2 顆粒單元體受力分析簡圖

2.1.1 主應(yīng)力比σ1/σ3與θ 之間的關(guān)系及孔隙比e 的確定

文獻[12]根據(jù)顆粒的受力平衡條件、摩擦定律和牛頓定律，推導(dǎo)出主應(yīng)力比σ1/σ3與θ 之間的關(guān)系，其中θ=∠O1O2O3，如圖2 所示。該角度大小可以描述單元體的結(jié)構(gòu)構(gòu)成，且反映單元體的應(yīng)力比和孔隙比的大小，其與主應(yīng)力比之間的關(guān)系如下：

式中，tanφm為顆粒表面摩擦系數(shù)， 對于給定砂土，tanφm為常量。

文獻[12]根據(jù)顆粒單元體計算孔隙比e。假設(shè)單位長的4 根圓棒軸心線圍成的柱體為單元體，半徑為r，單元體總體積v為：

此時圓棒體積為v1：

因此，根據(jù)式（2）和式（3）可得孔隙比為：

式中，v2為孔隙體積。

可得出：

2.1.2 應(yīng)力比η 與孔隙比e 的關(guān)系

根據(jù)三軸對稱情況可得：

由式（6）可以看出，應(yīng)力比η 與主應(yīng)力比σ1/σ3有著一一對應(yīng)的關(guān)系。 由式（1）可以看出，主應(yīng)力比σ1/σ3與θ 相關(guān)；由式（4）和式（5）可以看出，孔隙比e 與θ 相關(guān)。 由此得出結(jié)論：孔隙比e 與主應(yīng)力比σ1/σ3一一相關(guān)， 又根據(jù)主應(yīng)力比σ1/σ3與應(yīng)力比η 的相關(guān)關(guān)系， 可得出孔隙比e 與應(yīng)力比η 的對應(yīng)關(guān)系。 因此，宏觀砂土發(fā)生塑性變形的主要原因可理解為：顆粒單元體中θ 發(fā)生改變，導(dǎo)致孔隙比e 發(fā)生變化。 由此可得，砂土變形特性的應(yīng)力路徑相關(guān)性主要原因在于孔隙比發(fā)生改變。

密砂和中密砂的變形過程是先發(fā)生剪縮后發(fā)生剪脹，先硬化后軟化。 根據(jù)式（1）、式（5）和式（6）推算出砂土發(fā)生剪縮和剪脹時，應(yīng)力比η 與θ 的關(guān)系式函數(shù)f，函數(shù)f 體現(xiàn)了應(yīng)力比η 與θ 的對應(yīng)關(guān)系：

根據(jù)式（7）可求出某一應(yīng)力比η 對應(yīng)的θ，再由式（4）可知此時對應(yīng)孔隙比es，應(yīng)力比與孔隙比關(guān)系見式（8）：

2.2 不同應(yīng)力路徑下飽和砂土應(yīng)力應(yīng)變特性理論模型的研究

2.2.1 飽和砂土的雙硬化彈塑性本構(gòu)模型

羅汀等認(rèn)為， 在運用彈性理論計算巖土材料的彈性應(yīng)變時，球應(yīng)力僅引起彈性體應(yīng)變增量，剪切應(yīng)力僅引起彈性剪應(yīng)變增量，而巖土材料的塑性應(yīng)變增量不具有簡單的對應(yīng)關(guān)系，要考慮球應(yīng)力與剪切應(yīng)力分別對剪切和壓縮的耦合作用，即球應(yīng)力不僅會引起塑性體應(yīng)變增量， 也會引起塑性剪應(yīng)變增量，剪切應(yīng)力不僅會引起塑性剪應(yīng)變增量，也會引起塑性體應(yīng)變增量。 劍橋模型通過建立剪脹方程表示這種耦合作用。NAKAI[13]的試驗表明，復(fù)雜應(yīng)力路徑下剪脹方程與應(yīng)力路徑密切相關(guān)。 因此，為考慮應(yīng)力應(yīng)變特性的應(yīng)力路徑相關(guān)性，假定塑性體應(yīng)變分為與塑性剪應(yīng)變有耦合作用和無耦合作用兩部分。 在UH 模型的基礎(chǔ)上將硬化參量H 分為耦合硬化參量Hc和非耦合硬化參量Hunc，如式（9）所示[14]：

其中：

式中，M 為特征狀態(tài)點應(yīng)力比；Mf為峰值應(yīng)力比；為耦合塑性體應(yīng)變增量；為非耦合塑性體應(yīng)變增量；p0為初始應(yīng)力；e0為初始孔隙比；μ 為耦合系數(shù)，為土的特性指標(biāo)，可根據(jù)不排水條件下的特殊應(yīng)力路徑求出。

由此， 塑性應(yīng)變增量可以表示為由非耦合硬化產(chǎn)生的非耦合塑性應(yīng)變和耦合硬化產(chǎn)生的耦合塑性應(yīng)變二者之和：

又通過對式（11）進行微分得非耦合塑性體應(yīng)變增量為：

分析式（14），影響非耦合塑性體應(yīng)變增量的因素只有平均正應(yīng)力，與剪應(yīng)力不相關(guān)。而非耦合塑性剪應(yīng)變增量為0，即：

故塑性應(yīng)變?yōu)椋?/p>

此時剪脹方程為：

將式（14）～（16）代入剪脹方程式（17），得到該模型的總剪脹方程為：

由式（18）可以看出，總剪脹方程中由耦合硬化引起的剪脹方程部分與應(yīng)力路徑無關(guān)， 但是非耦合硬化引起的塑性體應(yīng)變增量與塑性剪應(yīng)變增量之比體現(xiàn)了應(yīng)力路徑相關(guān)性。

根據(jù)UH 模型[15]，將分解后的耦合硬化參量[式（10）]、非耦合硬化參量[式（11）]兩部分代入其屈服函數(shù)中，得雙硬化彈塑性本構(gòu)模型的屈服函數(shù)如下：

式中，λ 為壓縮系數(shù)；κ 為回彈系數(shù)。

2.2.2 不同應(yīng)力路徑下飽和砂土塑性應(yīng)變理論模型的建立

文獻[7]提出的飽和砂土雙硬化彈塑性本構(gòu)模型，只能在確定的初始應(yīng)力狀態(tài)點下推導(dǎo)出不同應(yīng)力路徑下砂土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，而對于任意初始應(yīng)力狀態(tài)點下飽和砂土的應(yīng)力應(yīng)變特性尚未給出具體處理方法。 根據(jù)本文2.1 節(jié)砂土變形的細(xì)觀機制分析可知，應(yīng)力比的變化引起砂土變形的細(xì)觀原因在于不同應(yīng)力比條件下孔隙比發(fā)生變化，因此，孔隙比是影響砂土變形的主要原因。 本文考慮孔隙比因素的影響建立能夠描述砂土塑性應(yīng)變的理論模型。

根據(jù)式（7）、式（8）可知，應(yīng)力比與孔隙比具有一一對應(yīng)關(guān)系，當(dāng)?shù)弥骋粻顟B(tài)點的應(yīng)力比，就可推算出此應(yīng)力比對應(yīng)的孔隙比es。 為了考慮孔隙比es變化對于材料塑性變形的影響，本文將由式（7）、式（8）得出的與應(yīng)力比對應(yīng)的孔隙比es代替初始孔隙比e0引入雙硬化彈塑性本構(gòu)模型的屈服函數(shù)式（19）中，得出新屈服函數(shù)：

式中，ps為任意狀態(tài)點對應(yīng)的正應(yīng)力；es為ps對應(yīng)的孔隙比。

改進屈服函數(shù)后耦合硬化引起的塑性應(yīng)變增量計算如下。

對式（20）進行全微分：

得出改進后雙硬化本構(gòu)模型塑性應(yīng)變增量：

由式（7）、式（8）計算任意狀態(tài)應(yīng)力比對應(yīng)的孔隙比的方法，相對于運用壓縮回彈曲線計算孔隙比更加簡便。 上述改進后的雙硬化彈塑性本構(gòu)模型， 可以表示從任意初始狀態(tài)點出發(fā)不同應(yīng)力路徑下飽和砂土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系， 為研究不同初始狀態(tài)點或不同應(yīng)力路徑下飽和砂土的應(yīng)力應(yīng)變行為提供理論基礎(chǔ)。

3 模型預(yù)測及與試驗結(jié)果比較

文獻[10]對飽和福建標(biāo)準(zhǔn)砂進行了固結(jié)完全排水三軸試驗，加壓屬于低圍壓范圍。進行本文模型預(yù)測時以工況4（對應(yīng)初始應(yīng)力p=450 kPa，q=500 kPa）為例，取應(yīng)力方向角為、兩種情況進行模擬比較。 文獻[10]中飽和福建標(biāo)準(zhǔn)砂基本土性參數(shù)為：比重G=2.60 g/cm3，泊松比υ=0.32，等向壓縮指數(shù)λ=0.0089，回彈指數(shù)κ=0.00667，峰值應(yīng)力比Mf=1.45，特征狀態(tài)點應(yīng)力比M=1.16，取顆粒表面摩擦系數(shù)tanφm=0.4；工況4 中B 點對應(yīng)應(yīng)力比η=1.11。 運用MATLAB 軟件編程，代入上述參數(shù)，對本文提出的新模型方程式（22）進行數(shù)值分析，得出結(jié)果如下：圖3、圖4 分別為應(yīng)力增量方向角為120°、145°兩種情況下， 塑性剪應(yīng)變和塑性體應(yīng)變隨應(yīng)力比變化的本文模型預(yù)測結(jié)果與試驗結(jié)果比較圖。

圖3 關(guān)系結(jié)果對比

圖4 關(guān)系結(jié)果對比

由圖3 和圖4 可知， 本文模型模擬預(yù)測結(jié)果與飽和福建標(biāo)準(zhǔn)砂的三軸試驗結(jié)果基本吻合。 對比結(jié)果說明，本文提出的考慮不同應(yīng)力比對應(yīng)不同孔隙比的模型能夠合理預(yù)測飽和砂土在不同應(yīng)力路徑下的塑性應(yīng)變。

4 結(jié)論

本文通過分析砂土變形的細(xì)觀機制， 在砂土的雙硬化彈塑性本構(gòu)模型基礎(chǔ)上，考慮到應(yīng)力比與孔隙比的對應(yīng)關(guān)系，提出一種新的砂土彈塑性本構(gòu)模型， 并與福建標(biāo)準(zhǔn)砂三軸試驗結(jié)果進行了對比。 主要結(jié)論如下：

1）通過簡化砂土細(xì)顆粒單元體，得到宏觀應(yīng)力比與孔隙比之間的對應(yīng)關(guān)系。 相較于利用壓縮回彈曲線計算孔隙比，該方法更簡便、直接。

2）本文模型的數(shù)值模擬、預(yù)測結(jié)果與試驗結(jié)果符合，本文模型能夠合理預(yù)測飽和砂土在不同應(yīng)力路徑下的塑性變形。

現(xiàn)有的關(guān)于飽和砂土變形特性應(yīng)力路徑依賴性理論模型的研究，更多的是針對某幾種特定的比較簡單的應(yīng)力路徑，如常規(guī)三軸不排水和三軸排水應(yīng)力路徑， 對于其他復(fù)雜應(yīng)力路徑下砂土變形特性的理論模型研究還需進一步深入。 另外，考慮其他因素，如動靜荷載、高低圍壓等對于不同應(yīng)力路徑下砂土變形特性的影響也值得更加深入地研究。