平 力，尚勁光，陳茂祥，凌云鳳，劉眉潔

（青島大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266071）

0 引言

在當(dāng)前社會(huì)背景下，人類社會(huì)對于可再生能源的需求愈來愈強(qiáng)［1］，海洋面積約占地球面積的71%，海洋中能開發(fā)利用的可再生能源也多種多樣［2-4］。近年來，隨著海洋能開發(fā)技術(shù)不斷完善，國內(nèi)外推出了大量政策鼓勵(lì)社會(huì)全面推廣使用海洋能源［5-8］。波浪能作為海洋中一種主要的清潔能源，蘊(yùn)藏量大，可再生能力強(qiáng)，具有較好的開發(fā)前景［9-10］。但由于波浪能的不穩(wěn)定性［11］，開發(fā)合適的波浪能裝置，提高系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)換率，是波浪能最大化利用的關(guān)鍵所在。

為解決該問題，有學(xué)者提出利用振蕩浮子式波浪發(fā)電分段控制策略，以發(fā)電效率為基礎(chǔ)，結(jié)合低速和高速2 種發(fā)電模式，優(yōu)化發(fā)電量，但該策略下的發(fā)電功率不穩(wěn)定，發(fā)電效率低下，無法持續(xù)供電［12-13］；還有學(xué)者提出一種可應(yīng)用于多浮子波浪能發(fā)電裝置的液壓發(fā)電系統(tǒng)［14］，采用蓄能器穩(wěn)壓控制策略，但是實(shí)際工作海域的波浪幅度不穩(wěn)定，蓄能器的選型比較困難，并且成本高，不適合全面推廣。

綜合考慮發(fā)電總量、發(fā)電效率、系統(tǒng)穩(wěn)定性、系統(tǒng)成本等因素，針對波浪能裝置的垂蕩運(yùn)動(dòng)情況建立合理的模型，并對模型進(jìn)行精確求解。該模型可以適應(yīng)不同的海洋場景，具有普適性，并且成本低，具有一定的推廣價(jià)值。

1 波浪能裝置

波浪能裝置主要由浮子、振子、中軸以及能量輸出（power take off，PTO）系統(tǒng)構(gòu)成［15］，其中PTO 系統(tǒng)由彈簧和阻尼器組成，其模型如圖1所示。

圖1 波浪能裝置Fig.1 Wave energy device

圖1 中，波浪能裝置中軸底座固定于隔層的中心位置，彈簧和直線阻尼器一端固定在振子上，一端固定在中軸底座上，振子沿中軸做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。直線阻尼器的阻尼力與浮子和振子的相對速度成正比，比例系數(shù)為阻尼系數(shù)。

在實(shí)際中，阻尼系數(shù)會(huì)直接影響系統(tǒng)的工作效率，而阻尼系數(shù)不是定值，其值與材料、結(jié)構(gòu)、阻尼模型有關(guān)［16］。阻尼系數(shù)增大，則直線阻尼器的輸出阻抗逐漸小于額定負(fù)載阻抗，輸出阻抗直接影響系統(tǒng)的低頻特性。輸出阻抗減小，則輸出的平均功率不斷增大。當(dāng)增大到一定峰值時(shí)，系統(tǒng)轉(zhuǎn)向低頻工作，則直線阻尼器的阻尼系數(shù)繼續(xù)增大，影響到工作效率，使輸出的平均功率小幅度下滑。

選取兩種特定情況下的阻尼系數(shù)，即常數(shù)PTO阻尼系數(shù)和線性PTO 阻尼系數(shù)進(jìn)行研究。該裝置在波浪的沖擊下，浮子運(yùn)動(dòng)帶動(dòng)振子運(yùn)動(dòng)，兩者的相對運(yùn)動(dòng)會(huì)驅(qū)使阻尼器做功并輸出能量。波浪能的基本形式是微幅波，因此浮子在線性周期微幅波作用下會(huì)受到波浪激勵(lì)力、附加質(zhì)量力、輻射阻尼力和靜水恢復(fù)力［17］，由于海水的黏度和旋轉(zhuǎn)特性、裝置內(nèi)部的摩擦力等因素對能量轉(zhuǎn)化影響較小，在研究中忽略不計(jì)。

2 垂蕩運(yùn)動(dòng)模型

垂蕩運(yùn)動(dòng)是指浮子在波浪作用下做垂直往復(fù)運(yùn)動(dòng)。對浮子及振子進(jìn)行受力分析，得到整個(gè)系統(tǒng)中各部件的受力情況如圖2所示。

圖2 垂蕩運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)受力分析Fig.2 Force analysis of vertical motion system

以浮子在靜水中的平衡狀態(tài)x0為零點(diǎn)，浮子的相對位移為x，振子的相對位移為z，浮子的相對速度為，振子的相對速度為，以沿水平面向上為正方向，得到各個(gè)力的表達(dá)式。

2.1 波浪激勵(lì)力

波浪激勵(lì)力，即波浪荷載，由波浪水質(zhì)點(diǎn)與波浪能裝置的相對運(yùn)動(dòng)所引起，是波浪對放置在海洋中的波浪能裝置產(chǎn)生的推動(dòng)力。波浪是一種隨機(jī)性運(yùn)動(dòng)，浮子做垂蕩運(yùn)動(dòng)時(shí)，波浪激勵(lì)力為

式中：A為波浪激勵(lì)力振幅；ω為波浪頻率；t為波浪運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

2.2 附加質(zhì)量力

波浪能裝置在海水中做垂蕩運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)引起裝置周圍的流體運(yùn)動(dòng)，因此要使裝置在海水中獲得一定的加速度，施加在裝置上的力等于裝置質(zhì)量與此加速度的乘積和帶動(dòng)裝置周圍海水運(yùn)動(dòng)所需額外力的總和。而該額外力會(huì)對應(yīng)產(chǎn)生一個(gè)虛擬質(zhì)量，稱為附加質(zhì)量［18］，將此附加質(zhì)量設(shè)為m0，得到附加質(zhì)量力為

式中：g為重力加速度。

2.3 輻射阻尼力

波浪能裝置在海水中作垂蕩運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)帶動(dòng)周圍水體流動(dòng)，而周圍水體流動(dòng)會(huì)對波浪能裝置的垂蕩運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生一定的阻力作用。此力與垂蕩運(yùn)動(dòng)的速度成正比，方向相反，比例系數(shù)為輻射阻尼系數(shù)α，得到輻射阻尼力為

2.4 彈簧彈力

當(dāng)振子沿中軸做往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧會(huì)給振子趨向平衡位置的彈力，根據(jù)胡克定律，彈簧給振子的彈力表達(dá)式為

式中：k為彈簧的彈性系數(shù)；Δx為彈簧的伸長量。

2.5 靜水恢復(fù)力

靜水恢復(fù)力是指為浮子做垂蕩運(yùn)動(dòng)時(shí)使浮子回到平衡位置的作用力，與垂蕩運(yùn)動(dòng)過程中的浮力變化有關(guān)。靜水恢復(fù)力為

式中：Ff為浮子在水中受到的浮力；m1和m2分別為浮子和振子的質(zhì)量。

2.6 直線阻尼力

在該波浪能裝置中，PTO 系統(tǒng)會(huì)將浮子在垂蕩運(yùn)動(dòng)中克服阻尼力所做的功轉(zhuǎn)化為電能。采用線性阻尼模型分析直線阻尼器的阻尼力。直線阻尼器的阻尼力與浮子和振子的相對速度成正比，其比例系數(shù)即阻尼系數(shù)為β，則直線阻尼力為

2.7 浮子與振子的運(yùn)動(dòng)模型

振子受力包括彈簧彈力、重力、直線阻尼力，以垂直向上為正方向，振子在波浪作用下受力情況為

浮子受力包括波浪激勵(lì)力、靜水恢復(fù)力、輻射阻尼力、彈簧彈力、直線阻尼力、附加質(zhì)量力。因此，得出浮子和振子整個(gè)系統(tǒng)在海洋中的受力情況為

進(jìn)一步可得振子和整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

3 模型的求解

3.1 初始狀態(tài)求解

模型各參數(shù)值如表1所示。

表1 模型參數(shù)Table 1 Model parameter values

在初始時(shí)刻，浮子和振子在靜水中保持平衡。在平衡狀態(tài)下，浮子的浸水深度大于浮子圓錐部分的高度，則浮子圓錐部分全部浸入水體中，多余的部分為圓柱浸入的體積。求得初始時(shí)刻系統(tǒng)的浸水深度為2.8 m，將此時(shí)水平面作為零點(diǎn)x0，則平衡時(shí)彈簧長度為0.202 m，振子底部與水平面相距1.798 m。

3.2 常數(shù)PTO阻尼系數(shù)

海洋波浪是在深海區(qū)由風(fēng)和潮汐力共同作用的結(jié)果，潮汐力分為太陽潮汐力和月球潮汐力［19］，由于太陽對于潮汐力貢獻(xiàn)較小，在此忽略不計(jì)。所以海波的速度基本與風(fēng)速和月球引力極大值點(diǎn)在地表的移動(dòng)速度相同。查閱文獻(xiàn)［20］可知，一般海上風(fēng)速的變化范圍為10～200 m/s。

式中：ν為深水波頻率；V為深水波波速；λ為深水波波長。由此推出頻率變化范圍為0.01～1 Hz。

本文波浪頻率選取0.714 Hz。當(dāng)阻尼器的阻尼系數(shù)為常量10 000 N·s/m 時(shí)，利用MATLAB 軟件中ODE45 函數(shù)求解2.7 節(jié)建立的運(yùn)動(dòng)模型，得到浮子和振子垂蕩位移、速度與時(shí)間的關(guān)系圖像，如圖3所示。

圖3 常數(shù)PTO阻尼系數(shù)垂蕩運(yùn)動(dòng)Fig.3 Constant PTO damping coefficient vertical motion

由圖3 可知，當(dāng)直線阻尼器采用常數(shù)阻尼系數(shù)時(shí)，浮子和振子的位移、速度趨勢線吻合度較高，但位移和速度峰值均出現(xiàn)忽大忽小的情況，變化幅度較大；約60 s 后，整個(gè)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，位移和速度均呈周期性變化且振幅近似不變，可近似為簡諧運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)穩(wěn)定后，浮子和振子的位移、速度趨勢線相似性較高。

3.3 線性PTO阻尼系數(shù)

當(dāng)直線阻尼器采用線性PTO 阻尼系數(shù)時(shí)，取比例系數(shù)為10 000，冪指數(shù)為0.5，由此得到阻尼系數(shù)的表達(dá)式為

將式（11）代入式（9），利用ODE45 函數(shù)進(jìn)行求解，得到此阻尼系數(shù)下浮子和振子垂蕩位移、速度與時(shí)間的關(guān)系如圖4 所示。

由圖4 可知，當(dāng)直線阻尼器采用線性阻尼系數(shù)時(shí)，浮子和振子的運(yùn)動(dòng)曲線幾乎重合。浮子系統(tǒng)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)浮子與振子的位移和速度振幅不穩(wěn)定且無固定周期；約60 s 后，浮子和振子的運(yùn)動(dòng)近似呈現(xiàn)為簡諧振動(dòng)，有固定的振幅和周期。

3.4 阻尼系數(shù)對發(fā)電穩(wěn)定性的影響

對比3.2 節(jié)和3.3 節(jié)計(jì)算結(jié)果可知，采用線性PTO 阻尼時(shí)，浮子和振子的垂蕩運(yùn)動(dòng)在前60 s 內(nèi)更不穩(wěn)定，位移和速度幅值變化范圍更大。經(jīng)過60 s，系統(tǒng)穩(wěn)定后，兩種阻尼系數(shù)下，浮子和振子均近似為簡諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。但當(dāng)采用線性阻尼系數(shù)時(shí)，浮子與振子運(yùn)動(dòng)周期更短，運(yùn)動(dòng)頻率更高，且幅值更大。波浪能轉(zhuǎn)換裝置的發(fā)電穩(wěn)定性是指裝置預(yù)熱后的發(fā)電穩(wěn)定性［21］，系統(tǒng)開啟后的前60 s 可看作裝置的預(yù)熱時(shí)間。綜合對比可知，當(dāng)直線阻尼器采用線性阻尼系數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的發(fā)電穩(wěn)定性更好。

3.5 阻尼系數(shù)對功率的影響

在波浪的作用下，浮子與振子的相對運(yùn)動(dòng)會(huì)驅(qū)動(dòng)阻尼器做功，并能將所做的功作為能量輸出。功率的表達(dá)式為

由3.2節(jié)和3.3節(jié)分析可知，系統(tǒng)穩(wěn)定后，浮子和振子的運(yùn)動(dòng)可以近似看作是簡諧振動(dòng)。則系統(tǒng)平均輸出功率為

3.5.1 常數(shù)PTO阻尼對功率的影響

直線阻尼器采用常數(shù)阻尼時(shí)，聯(lián)立運(yùn)動(dòng)模型以及平均輸出功率表達(dá)式，利用變步長搜索法，繪制出平均輸出功率隨阻尼系數(shù)變化曲線，如圖5所示。

圖5 常數(shù)PTO阻尼下平均輸出功率曲線Fig.5 Average output power curve at constant PTO damping

由圖5 可知，隨著阻尼系數(shù)的增加，平均輸出功率呈現(xiàn)出上升趨勢且增長速度較快；當(dāng)阻尼系數(shù)達(dá)到2.93×104N·s/m 時(shí)，增長較為緩慢且圖像斜率近似為零；而在阻尼系數(shù)達(dá)到3.79×104N·s/m時(shí)，平均輸出功率呈現(xiàn)下降趨勢，但下降的速度較為緩慢。平均輸出功率最大時(shí)對應(yīng)的阻尼系數(shù)范圍為30 000～40 000 N·s/m?？s小阻尼系數(shù)區(qū)間后，利用變步長搜索法進(jìn)行精確求解，最終求得最大平均輸出功率為124.20 W，對應(yīng)的阻尼系數(shù)為37 940 N·s/m。

將該阻尼系數(shù)代入式（13），繪制出每時(shí)刻對應(yīng)的輸出功率如圖6所示。

圖6 最優(yōu)常數(shù)阻尼系數(shù)下的輸出功率Fig.6 Output power at optimal constant damping coefficient

3.5.2 線性PTO阻尼對功率的影響

直線阻尼器采用線性阻尼時(shí)，得到阻尼系數(shù)的表達(dá)式為

式中：a為比例系數(shù)，a∈［0，100 000］；b為冪指數(shù)，b∈［0，1］。

將式（14）代入式（9）與式（13），利用變步長搜索法繪制出平均輸出功率隨a與b的變化曲線，如圖7所示。

圖7 線性PTO阻尼下平均輸出功率曲線Fig.7 Average output power curve at linear PTO damping

由圖7 可知，隨著兩個(gè)參數(shù)的增加，平均輸出功率呈現(xiàn)出大幅度上升，而后上升速度減慢并逐漸趨于0，最后緩慢下降的趨勢?？s小兩個(gè)參數(shù)取值區(qū)間后，利用變步長搜索法進(jìn)行精確求解，最終求得最大平均輸出功率為124.22 W，對應(yīng)的比例系數(shù)a和冪指數(shù)b分別為97 000和0.4。

將這兩個(gè)參數(shù)代入式（13），求解最優(yōu)阻尼系數(shù)為46 025 N·s/m，并繪制出每時(shí)刻對應(yīng)的輸出功率如圖8所示。

4 結(jié)束語

建立波浪能發(fā)電裝置模型，采用ODE45 函數(shù)求解數(shù)值解，研究了該裝置在海洋中做垂蕩運(yùn)動(dòng)的發(fā)電性能。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步求解該裝置的最優(yōu)阻尼系數(shù)和最大發(fā)電功率，研究了該波浪能裝置的最優(yōu)工作參數(shù)，并采用變步長搜索法進(jìn)行積分。通過代入實(shí)際數(shù)值對模型進(jìn)行驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，該模型與實(shí)際情況擬合較好。因此，所建立的模型具有一定的可行性和研究價(jià)值。