第一章 全等三角形

領(lǐng)? 銜? 人：張衛(wèi)明（正高級(jí)教師、江蘇省特級(jí)教師）

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省鹽城市初中數(shù)學(xué)張衛(wèi)明名師工作室

“全等三角形”是蘇科版數(shù)學(xué)教材八（上）第1章內(nèi)容，是初中幾何的重要內(nèi)容之一。本章的學(xué)習(xí)，不僅可以豐富同學(xué)們對(duì)已知圖形的認(rèn)識(shí)，也為后面學(xué)習(xí)等腰三角形、四邊形、圓等知識(shí)打下基礎(chǔ)，為研究相似三角形提供了思路?，F(xiàn)從單元整體上做如下梳理。

一、整體理解全等三角形的結(jié)構(gòu)體系

本章圍繞全等三角形的性質(zhì)和判定展開(kāi)，重點(diǎn)探究全等三角形的判定條件，并應(yīng)用全等三角形的知識(shí)，掌握兩個(gè)尺規(guī)作圖：①作一個(gè)角的平分線，②過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線。同學(xué)們?cè)诒菊乱草^為系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了直接證明方法中的綜合法，“利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立”。綜合法往往由已知條件出發(fā)，不斷推出新結(jié)論，直至這個(gè)結(jié)論就是所求的結(jié)論。同學(xué)們要學(xué)會(huì)用綜合法證明有關(guān)三角形全等的命題，學(xué)會(huì)邏輯推理，并用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，發(fā)展演繹推理能力。

二、感悟體會(huì)全等三角形的學(xué)習(xí)方法

1.在操作中感悟全等三角形的判定

在學(xué)習(xí)了全等三角形的定義和性質(zhì)后， “具備怎樣的條件，兩個(gè)三角形就全等” 這一問(wèn)題便順勢(shì)而生。從三角形組成元素的角度出發(fā)，將籠統(tǒng)的“完全重合”轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的、可操作的“尋找有效條件”。以“兩邊及其夾角相等的兩個(gè)三角形全等”為例，我們可嘗試完成兩次操作。操作一：用長(zhǎng)方形紙片剪出一個(gè)直角三角形，使剪出的直角三角形與另一個(gè)直角三角形重合，根據(jù)兩直角邊相等，可得到兩個(gè)三角形全等；操作二：用直尺和圓規(guī)作△ABC（圖略），使得∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′，進(jìn)一步體會(huì)結(jié)論的正確性。

2.在運(yùn)動(dòng)中體會(huì)全等三角形的性質(zhì)

我們可以借助圖形的運(yùn)動(dòng)來(lái)學(xué)習(xí)全等三角形的性質(zhì)。兩個(gè)三角形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后完全重合，提供了識(shí)別全等三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法，有助于形成良好的空間觀念。

例如，如圖1、圖2，可以通過(guò)平移使兩個(gè)三角形完全重合，快速找到兩個(gè)全等的三角形的對(duì)應(yīng)元素。

如圖3、圖4，可以通過(guò)翻折使兩個(gè)三角形完全重合。<E：＼初中生＼初中生 八年級(jí)9＼張衛(wèi)明-3.tif><E：＼初中生＼初中生 八年級(jí)9＼張衛(wèi)明-4.tif>

如圖5、圖6，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)使兩個(gè)三角形完全重合。<E：＼初中生＼初中生 八年級(jí)9＼張衛(wèi)明-5.tif><E：＼初中生＼初中生 八年級(jí)9＼張衛(wèi)明-6.tif>

三、研磨凝練全等三角形的解題策略

“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等”，借助這樣的性質(zhì)，我們可以證明線段相等、角相等，在此基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步探究線段之間的數(shù)量關(guān)系和角之間的數(shù)量關(guān)系。由此可見(jiàn)，全等三角形是幾何證明的重要工具。這里提供兩種全等三角形的解題策略。

1.洞悉條件，巧選判定方法

三角形的全等判定一般有四種方法：SAS、AAS、ASA、SSS，直角三角的全等判定除了前面四種方法，還有HL。我們發(fā)現(xiàn)，至少有三個(gè)元素相等方可判定兩個(gè)三角形全等，且至少要有一組邊對(duì)應(yīng)相等。全等三角形的判定有多種方法，不同的判定方法的條件也是不同的。我們先要觀察待證全等的兩個(gè)三角形中，已有哪些條件，再恰當(dāng)選取判定方法。題目通常會(huì)給定全等三角形判定所需的兩個(gè)條件，我們?cè)偻评沓龅谌齻€(gè)相等要素即可（如例1）。

例1 （2022·陜西）如圖7，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A。求證：DE=BC。

【分析】要證明DE=BC，只需求證△ABC≌△CDE。已知這兩個(gè)三角形中有一組對(duì)應(yīng)邊相等和一組對(duì)應(yīng)角相等，即AB=CD，∠A=∠DCE，且邊是角的鄰邊。根據(jù)上面的分析，我們可通過(guò)找AC=CE或∠B=∠EDC來(lái)證明△ABC和△CDE全等，由條件DE∥AB可推出∠B=∠EDC，從而解決問(wèn)題。

2.添線搭橋，構(gòu)造全等三角形

當(dāng)要證在兩個(gè)三角形中的兩條線段或兩個(gè)角相等時(shí)，我們可直接證明這兩個(gè)三角形全等。但有時(shí)要證的相等線段或相等角不在兩個(gè)全等的三角形中，這時(shí)我們就需要添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，搭建已知與結(jié)論之間的“橋梁”。添加合適的輔助線往往能“絕處逢生”（如例2）。

例2 如圖8，AC=AD，BC=BD，求證：∠C=∠D。

【分析】要證明∠C=∠D，但∠C和∠D并不在兩個(gè)三角形中。因此，我們可以連接AB，構(gòu)造出△ABC和△ABD。這樣∠C和∠D分別在△ABC和△ABD中，即轉(zhuǎn)化為求證△ABC和△ABD全等，根據(jù)“SSS”即可證得。

全等三角形是初中數(shù)學(xué)中幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是發(fā)展推理能力的關(guān)鍵。要想學(xué)好全等三角形，同學(xué)們要學(xué)會(huì)從整體的視角研究問(wèn)題，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題，明晰學(xué)習(xí)方法，凝練解決問(wèn)題的策略，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這樣我們就會(huì)打開(kāi)更廣闊的數(shù)學(xué)思維空間，能夠更深入地探索幾何學(xué)的奧秘。

（作者單位：江蘇省鹽城市鹿鳴路初級(jí)中學(xué)）