懸垂結(jié)構(gòu)零件多軸增材加工非均勻?qū)犹畛浞椒?/h1>
2023-10-07 03:54:58耿聰耿大鵬王金杰
機(jī)床與液壓 2023年17期
耿聰，耿大鵬，王金杰
(沈陽(yáng)建筑大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 110168)
0 前言
懸垂結(jié)構(gòu)零件具有底部懸空無(wú)支撐的幾何特點(diǎn)，近年來(lái)廣泛應(yīng)用于復(fù)雜零件的設(shè)計(jì)中。增材制造可加工成型任意形狀的零件，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜形狀零件加工的有效途徑[1-4]。
根據(jù)各層厚度是否相同，可將現(xiàn)有算法分為等厚度填充算法和自適應(yīng)填充算法2類。采用等厚度填充算法所得到的各層厚度相同，算法實(shí)現(xiàn)較為簡(jiǎn)單[5]。但是，當(dāng)零件表面曲率變化較大時(shí)，使用等厚度填充算法得到的零件表面精度較差。為克服這一不足，自適應(yīng)填充算法根據(jù)零件表面曲率、成型幾何誤差(弦長(zhǎng)、體積偏差等)調(diào)整各層厚度，得到滿足精度要求的分層[6-9]。
采用三軸混合機(jī)床加工懸垂結(jié)構(gòu)零件時(shí)，由于加工方向固定，需要添加若干支撐結(jié)構(gòu)[10-11]。這種方式不可避免地會(huì)降低整體加工效率，帶來(lái)原材料浪費(fèi)。多軸混合機(jī)床在三軸機(jī)床結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上增加了旋轉(zhuǎn)軸，可實(shí)現(xiàn)無(wú)支撐結(jié)構(gòu)的增材加工。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)多軸增材加工方法展開了深入研究。ZHANG、LIOU[12]提出了一種適用于多軸增材加工的自適應(yīng)分層方法，可根據(jù)零件表面法向量調(diào)整加工方向，實(shí)現(xiàn)零件的自適應(yīng)填充。XIAO、JOSHI[13]開發(fā)了一種適用于五軸增材加工的自動(dòng)規(guī)劃軟件，該軟件可自動(dòng)將零件劃分為多個(gè)加工序列進(jìn)行成型制造。LEE、JEE[14]將零件分解為主體和懸垂部分，在完成主體部分加工后，改變加工方向完成對(duì)懸垂部分的加工。上述文獻(xiàn)均將懸垂部分單獨(dú)分離，在完成非懸垂部分加工后，再加工懸垂部分，影響整體加工效率。針對(duì)這一問(wèn)題，RUAN等[15]提出將懸垂結(jié)構(gòu)零件作為一個(gè)整體進(jìn)行區(qū)域劃分，而后在各個(gè)區(qū)域采用單層均勻?qū)雍穸询B，最后減材加工形成非均勻?qū)?。這種先增材加工而后銑削加工出非均勻?qū)拥姆椒?，不僅增加了加工時(shí)間，也帶來(lái)了材料的浪費(fèi)。
針對(duì)上述問(wèn)題，本文作者以熔融沉積成型(Fused Deposition Modelling，F(xiàn)DM)為制造工藝，提出一種適用于懸垂結(jié)構(gòu)零件多軸增材加工非均勻?qū)犹畛渌惴?。與現(xiàn)有方法先增材再減材加工出非均勻?qū)拥乃悸凡煌?，文中方法首先限定階梯誤差最小，確定各層最大層厚、最小層厚和成型角度，進(jìn)而求解單層填充輪廓，并通過(guò)調(diào)整增材填充速率，直接形成非均勻厚度層，實(shí)現(xiàn)對(duì)具有懸垂結(jié)構(gòu)零件的無(wú)支撐快速加工，提升整體加工效率。
1 多軸非均勻?qū)映尚头椒?/h2>
如圖1所示，懸垂結(jié)構(gòu)零件具有底部懸空無(wú)支撐的幾何特點(diǎn)。加工該結(jié)構(gòu)增材時(shí)，若原材料成型方向無(wú)法改變，則需要構(gòu)造支撐，影響加工效率和原材料利用率。多軸混合加工機(jī)床的刀具在3個(gè)平移軸基礎(chǔ)上，增加了旋轉(zhuǎn)軸，使該類零件的無(wú)支撐結(jié)構(gòu)加工成為可能。
圖1 懸垂結(jié)構(gòu)零件示意
文中結(jié)合懸垂零件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出適用于懸垂結(jié)構(gòu)零件多軸增材加工非均勻?qū)犹畛浞椒?。該方法在滿足填充層厚限制的條件下，確定單層兩端層厚d1、d2與成型變化角度θ的變化范圍，在保證填充各層階梯誤差最小的條件下，實(shí)現(xiàn)零件的非均勻?qū)犹畛洹Ｋ惴òㄒ韵?個(gè)步驟：(1)讀取模型輪廓數(shù)據(jù)，建立平面直角坐標(biāo)系，完成輪廓點(diǎn)坐標(biāo)由空間直角坐標(biāo)系到平面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換；(2)在階梯誤差最小的情況下，確定單層兩側(cè)層厚和成型變化角度；(3)根據(jù)兩側(cè)層厚與成型變化角度，確定填充輪廓上各點(diǎn)坐標(biāo)；(4)通過(guò)調(diào)整增材填充速率，直接形成非均勻厚度層。下面將分別介紹各部分具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程。
1.1 零件輪廓的確定
如圖2所示，使用三維建模軟件獲取模型數(shù)據(jù)輪廓s，滿足曲面方程：
圖2 空間直角坐標(biāo)系oxyz中的待加工零件
s(x,y,z)=0
(1)
平面U在空間直角坐標(biāo)系oxyz內(nèi)垂直平面xy，滿足：
ax+by+c=0
(2)
則零件數(shù)據(jù)輪廓s與平面U相交所得截面滿足：
z=g(x)
(3)
為使零件數(shù)據(jù)輪廓s與平面U相交得到的截面輪廓面積L最大，即：
(4)
令其關(guān)于自變量a、b、c偏導(dǎo)值為零，可確定平面U的表達(dá)式。
(5)
如圖2所示，若平面U與xy平面相交于直線l，該直線與x軸相交于點(diǎn)o1(-c/a,0,0)，以點(diǎn)o1為原點(diǎn)，以直線l的單位方向向量為橫軸u，過(guò)點(diǎn)o1取與z軸平行的單位向量為v軸，建立右手笛卡爾平面直角坐標(biāo)系uo1v：
(6)
空間直角坐標(biāo)系oxyz中任意點(diǎn)P(xp,yp,zp)在所建立的平面直角坐標(biāo)系uo1v中的點(diǎn)坐標(biāo)可表示為P(up,vp)，滿足：
(7)
1.2 基于最小階梯誤差的多軸非均勻?qū)犹畛?/h3>
在建立平面直角坐標(biāo)系后，零件輪廓點(diǎn)坐標(biāo)就由空間直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到平面坐標(biāo)系中表示。接下來(lái)，將在填充階梯誤差最小的前提下，計(jì)算單層兩側(cè)層厚和成型變化角度，確定各層填充輪廓，并通過(guò)調(diào)整填充過(guò)程中噴嘴的進(jìn)料速度，實(shí)現(xiàn)多軸非均勻?qū)拥奶畛浼庸ぁ?/p>
1.2.1 層厚和成型角度確定
在取得任意零件曲面在平面坐標(biāo)系中的二維截面輪廓后，此算法采用若干直角梯形近似逼近該截面輪廓。
如圖3所示，連接兩端點(diǎn)A(ua,va)和點(diǎn)B(ub,vb)，作AB垂直平分線與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E(ue,ve)，其滿足：
圖3 平面直角坐標(biāo)系uo1v中對(duì)應(yīng)截面
(8)
如圖4所示，過(guò)點(diǎn)E作斜率為ki(i=1,2,…,n)的直線li，與截面輪廓交于點(diǎn)Pi4和Pi6，可將截面分為n層。過(guò)直線li-1上的點(diǎn)P(i-1)6作P(i-1)6Pi3垂直直線li于點(diǎn)Pi3，過(guò)直線li上的點(diǎn)Pi4作Pi4Pi1垂直直線li-1于點(diǎn)Pi1。點(diǎn)P(i-1)6與點(diǎn)Pi2重合，點(diǎn)P(i-1)4與點(diǎn)Pi5重合，在最底層中，點(diǎn)P(i-1)6與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P(i-1)5與點(diǎn)B重合。以此構(gòu)造出直角梯形Pi1Pi2Pi3Pi4近似逼近各層形狀。在第i層直角梯形中，上底邊Pi2Pi3和下底邊Pi1Pi4的長(zhǎng)度分別為該層填充的最小層厚di2和最大層厚di1，上底邊對(duì)應(yīng)的鈍角∠Pi1Pi2Pi3為此層法向量與上一加工平面切向量的夾角。
采用直角梯形層層堆疊形成加工零件輪廓時(shí)，加工層與零件在邊緣處存在一定偏差，這種偏差稱為階梯誤差。如圖4所示，當(dāng)采用實(shí)線所示直角梯形Pi1Pi2Pi3Pi4對(duì)虛線所示零件第i層進(jìn)行填充時(shí)，由于填充單層層厚較小，該層階梯誤差近似于兩側(cè)三角形面積和Si：
Si=SΔPi2Pi3Pi6+SΔPi1Pi4Pi5=
(9)
該輪廓填充的總階梯誤差S表示為各層階梯誤差的總和：
(10)
在滿足層厚限制的條件下，使階梯誤差最小，加工零件各層最小層厚di2、最大層厚di1與成型角度θi的數(shù)學(xué)模型表示為
其中：dmin、dmax和θmax分別對(duì)單層堆疊的最小層厚、最大層厚和最大成型角度；θs為成型總變化角，滿足：
(11)
求解式(11)可確定填充階梯誤差最小條件下各層兩側(cè)層厚di2、di1和成型角度θi。
1.2.2 單層填充輪廓的確定
在得到填充階梯誤差最小條件下的各層兩側(cè)層厚di2、di1和成型角度θi后，任意層的填充輪廓就可以確定。如圖5所示，任意第i層填充輪廓為由li1、li2、li3、li44條邊組成的直角梯形，Pi2、Pi6、Pi4、Pi5圍成虛線為該層零件截面，∠Pi1Pi2Pi3為直線li1與直線li4相交所成的鈍角，滿足：
圖5 第i層直角梯形逼近截面表示
∠Pi1Pi2Pi3=θi+90°
(12)
在第i層直角梯形中，確定各點(diǎn)坐標(biāo)Pi1(ui1,vi1)、Pi2(ui2,vi2)、Pi3(ui3,vi3)、Pi4(ui4,vi4)、Pi5(ui5,vi5)和Pi6(ui6,vi6)，即可確定該層輪廓。對(duì)于底層直角梯形，點(diǎn)P15(B)和點(diǎn)P12(C)為零件輪廓與U軸的2個(gè)交點(diǎn)，可通過(guò)計(jì)算得到；對(duì)于其余各層，第i層的Pi2、Pi5分別與i-1層的Pi6、Pi4重合。因此，點(diǎn)Pi2和點(diǎn)Pi5為已知量，只需求解其他4點(diǎn)Pi1、Pi3、Pi4、Pi6。下文將詳細(xì)介紹這4點(diǎn)坐標(biāo)的求解過(guò)程。
通過(guò)上一步驟確定各層層厚和成型角度后，由于Pi3與Pi2相距di2，且∠Pi1Pi2Pi3已知，可通過(guò)式(13)確定Pi3(ui3，vi3)：
(13)
直線li2過(guò)Pi3(ui3，vi3)，且與直線li1垂直，則其表達(dá)式為
(14)
確定直線li2表達(dá)式后，則可得到跟零件輪廓S相交兩點(diǎn)Pi6和Pi4的坐標(biāo)值。又由于點(diǎn)Pi1和點(diǎn)Pi4距離是di1，且Pi1Pi4平行于Pi2Pi3，可通過(guò)式(15)確定Pi1的坐標(biāo)值：
(15)
通過(guò)上述步驟，可確定第i層直角梯形中所有點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定該層填充輪廓。
1.2.3 填充速率的確定
在增材填充加工過(guò)程中，單層填充層厚d滿足：
(16)
其中：r為噴嘴半徑；f為噴嘴進(jìn)料速度；v為機(jī)器移動(dòng)速度；k為軌跡寬度。對(duì)于特定機(jī)床，其噴嘴半徑r和軌跡寬度k恒定不變。在實(shí)際填充中，保持機(jī)器移動(dòng)速度v不變，單層填充層厚d與噴嘴進(jìn)料速度f(wàn)成正比，通過(guò)改變噴嘴進(jìn)料速率即可實(shí)現(xiàn)不同層厚的加工。
如圖6所示，增材填充單層時(shí)，加工平面由多條填充軌跡組成。每一條填充軌跡的厚度均勻，相鄰填充軌跡的厚度逐步增大，滿足線性關(guān)系。路徑加工的截面如圖7所示。
圖6 單層加工面填充軌跡與填充結(jié)果
圖7 第i層加工軌跡填充截面
在進(jìn)行非均勻?qū)犹畛鋾r(shí)，每條軌跡所填充的截面面積Aip可由式(17)確定。
(17)
結(jié)合式(16)與式(17)，可得出噴嘴在加工軌跡上的進(jìn)料速率f的表達(dá)式：
(18)
2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證
為驗(yàn)證文中所提出算法的有效性，對(duì)圖8所示零件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。該零件是一段半徑為R=45 mm、弧度為π/2的圓弧，其截面為10 mm×10 mm的正方形。設(shè)定多軸增材加工機(jī)床的噴嘴可填充最小層厚0.5 mm，最大層厚1.0 mm。
圖8 目標(biāo)加工零件
圖9所示為等厚度填充仿真效果。圖10所示是根據(jù)曲率變化對(duì)零件進(jìn)行自適應(yīng)填充的仿真效果，可以看出：各層厚度在0.5～1.0 mm內(nèi)變化。與等厚度填充法相比，自適應(yīng)填充算法得到的各層厚度不同，但兩方法在填充單層時(shí)的厚度均保持不變。圖11所示為采用文中方法對(duì)零件進(jìn)行非均勻填充的仿真效果。圖中相同顏色部分的堆疊厚度相同，同層填充厚度在0.5～0.625 mm內(nèi)變化。與等厚度和自適應(yīng)填充方法不同，采用文中方法填充，單層厚度也會(huì)發(fā)生變化。
圖9 等厚度算法分層仿真結(jié)果
圖10 自適應(yīng)算法分層仿真結(jié)果
圖11 文中方法分層仿真結(jié)果
效率和精度是評(píng)價(jià)算法效果的兩個(gè)重要指標(biāo)，兩者與填充層數(shù)和填充層階梯誤差的大小有關(guān)，層數(shù)越多，效率越低，各層階梯誤差越小，增材填充精度越高。表1所示為分別采用等厚度填充算法、自適應(yīng)填充算法和此算法對(duì)圖8所示零件加工，在層數(shù)、填充面積與階梯誤差間的差異。可知：在滿足噴嘴最大加工層厚的情況下，文中方法與等厚度填充算法得到的層數(shù)分別為79和70，遠(yuǎn)小于自適應(yīng)填充算法得到的層數(shù)92。
表1 不同分層方式參數(shù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比
設(shè)定機(jī)床的噴嘴可填充最小層厚0.5 mm，最大層厚1.0 mm，在得到分層信息后，采用Vericut中的beam_magic2機(jī)床進(jìn)行仿真加工，噴嘴加工寬度為1 mm，移動(dòng)速度為80 mm/s，增材仿真加工的結(jié)果如圖12所示。
圖12 零件填充加工
在增材填充過(guò)程中，層數(shù)與效率成反比，層數(shù)越多，待填充加工面積越大，其效率越低，加工數(shù)據(jù)如表1所示。采用文中方法加工，其填充面積為7 900 mm2，與等厚度填充算法面積(6 969 mm2)相近，遠(yuǎn)小于采用自適應(yīng)填充算法進(jìn)行填充的加工面積(9 086 mm2)。這意味著在該零件的加工中，采用文中方法和等厚度填充算法能夠得到較高的加工效率。
采用等厚度填充算法對(duì)該零件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)加工時(shí)，形成的階梯誤差為7.206 1 mm2，遠(yuǎn)大于文中方法填充階梯誤差0.647 9 mm2。為提升等厚度填充算法加工精度，一般采用增加等厚度填充層數(shù)的方法。在將分層層數(shù)增至140，加工層厚限定至最小值0.5 mm后，填充階梯誤差由7.206 1 mm2縮小到3.632 1 mm2，但填充面積由6 969 mm2增至14 036 mm2，大大降低了加工效率。而當(dāng)文中算法加工層厚取最小值時(shí)，誤差可達(dá)到最小值0.252 3 mm2，不僅優(yōu)于等厚度填充算法和自適應(yīng)填充算法，而且還優(yōu)于文中加工層厚取最大值時(shí)的誤差。文中加工層厚取最小值時(shí)，填充面積由7 900 mm2增至12 600 mm2，會(huì)降低加工效率、提高加工精度。
采用文中方法進(jìn)行實(shí)際加工，填充加工材料為PLA，加工出的零件如圖13所示。
圖13 加工零件
綜上所述，相較于等厚度填充、自適應(yīng)填充等均勻?qū)雍裉畛浞椒?，在滿足填充層厚的條件下，采用文中方法對(duì)零件進(jìn)行加工，可獲得更好的加工效率和加工精度。
3 結(jié)論
文中提出一種針對(duì)具有懸垂特征零件的多軸增材加工非均勻?qū)犹畛渌惴āＴ摲椒▽⒛Ｐ洼喞S點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為平面直角坐標(biāo)系中的二維點(diǎn)表示，在保證階梯誤差最小的情況下，確定各層兩側(cè)層厚和堆疊角度，進(jìn)而得到填充輪廓上各點(diǎn)坐標(biāo)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：與傳統(tǒng)等厚度填充和自適應(yīng)填充方法相比，文中方法采用一系列非均勻?qū)油瓿闪慵奶畛浼庸ぃ撨^(guò)程無(wú)需支撐結(jié)構(gòu)，且與傳統(tǒng)均勻?qū)犹畛浞椒ㄏ啾?，文中方法能夠達(dá)到更高的加工效率與加工精度。文中方法同樣適用于曲率變化大零件的增材填充。
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如圖1所示，懸垂結(jié)構(gòu)零件具有底部懸空無(wú)支撐的幾何特點(diǎn)。加工該結(jié)構(gòu)增材時(shí)，若原材料成型方向無(wú)法改變，則需要構(gòu)造支撐，影響加工效率和原材料利用率。多軸混合加工機(jī)床的刀具在3個(gè)平移軸基礎(chǔ)上，增加了旋轉(zhuǎn)軸，使該類零件的無(wú)支撐結(jié)構(gòu)加工成為可能。
圖1 懸垂結(jié)構(gòu)零件示意
文中結(jié)合懸垂零件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出適用于懸垂結(jié)構(gòu)零件多軸增材加工非均勻?qū)犹畛浞椒?。該方法在滿足填充層厚限制的條件下，確定單層兩端層厚d1、d2與成型變化角度θ的變化范圍，在保證填充各層階梯誤差最小的條件下，實(shí)現(xiàn)零件的非均勻?qū)犹畛洹Ｋ惴òㄒ韵?個(gè)步驟：(1)讀取模型輪廓數(shù)據(jù)，建立平面直角坐標(biāo)系，完成輪廓點(diǎn)坐標(biāo)由空間直角坐標(biāo)系到平面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換；(2)在階梯誤差最小的情況下，確定單層兩側(cè)層厚和成型變化角度；(3)根據(jù)兩側(cè)層厚與成型變化角度，確定填充輪廓上各點(diǎn)坐標(biāo)；(4)通過(guò)調(diào)整增材填充速率，直接形成非均勻厚度層。下面將分別介紹各部分具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程。
1.1 零件輪廓的確定
如圖2所示，使用三維建模軟件獲取模型數(shù)據(jù)輪廓s，滿足曲面方程：
圖2 空間直角坐標(biāo)系oxyz中的待加工零件
s(x,y,z)=0
(1)
平面U在空間直角坐標(biāo)系oxyz內(nèi)垂直平面xy，滿足：
ax+by+c=0
(2)
則零件數(shù)據(jù)輪廓s與平面U相交所得截面滿足：
z=g(x)
(3)
為使零件數(shù)據(jù)輪廓s與平面U相交得到的截面輪廓面積L最大，即：
(4)
令其關(guān)于自變量a、b、c偏導(dǎo)值為零，可確定平面U的表達(dá)式。
(5)
如圖2所示，若平面U與xy平面相交于直線l，該直線與x軸相交于點(diǎn)o1(-c/a,0,0)，以點(diǎn)o1為原點(diǎn)，以直線l的單位方向向量為橫軸u，過(guò)點(diǎn)o1取與z軸平行的單位向量為v軸，建立右手笛卡爾平面直角坐標(biāo)系uo1v：
(6)
空間直角坐標(biāo)系oxyz中任意點(diǎn)P(xp,yp,zp)在所建立的平面直角坐標(biāo)系uo1v中的點(diǎn)坐標(biāo)可表示為P(up,vp)，滿足：
(7)
1.2 基于最小階梯誤差的多軸非均勻?qū)犹畛?/h3>
在建立平面直角坐標(biāo)系后，零件輪廓點(diǎn)坐標(biāo)就由空間直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到平面坐標(biāo)系中表示。接下來(lái)，將在填充階梯誤差最小的前提下，計(jì)算單層兩側(cè)層厚和成型變化角度，確定各層填充輪廓，并通過(guò)調(diào)整填充過(guò)程中噴嘴的進(jìn)料速度，實(shí)現(xiàn)多軸非均勻?qū)拥奶畛浼庸ぁ?/p>
1.2.1 層厚和成型角度確定
在取得任意零件曲面在平面坐標(biāo)系中的二維截面輪廓后，此算法采用若干直角梯形近似逼近該截面輪廓。
如圖3所示，連接兩端點(diǎn)A(ua,va)和點(diǎn)B(ub,vb)，作AB垂直平分線與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E(ue,ve)，其滿足：
圖3 平面直角坐標(biāo)系uo1v中對(duì)應(yīng)截面
(8)
如圖4所示，過(guò)點(diǎn)E作斜率為ki(i=1,2,…,n)的直線li，與截面輪廓交于點(diǎn)Pi4和Pi6，可將截面分為n層。過(guò)直線li-1上的點(diǎn)P(i-1)6作P(i-1)6Pi3垂直直線li于點(diǎn)Pi3，過(guò)直線li上的點(diǎn)Pi4作Pi4Pi1垂直直線li-1于點(diǎn)Pi1。點(diǎn)P(i-1)6與點(diǎn)Pi2重合，點(diǎn)P(i-1)4與點(diǎn)Pi5重合，在最底層中，點(diǎn)P(i-1)6與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P(i-1)5與點(diǎn)B重合。以此構(gòu)造出直角梯形Pi1Pi2Pi3Pi4近似逼近各層形狀。在第i層直角梯形中，上底邊Pi2Pi3和下底邊Pi1Pi4的長(zhǎng)度分別為該層填充的最小層厚di2和最大層厚di1，上底邊對(duì)應(yīng)的鈍角∠Pi1Pi2Pi3為此層法向量與上一加工平面切向量的夾角。
采用直角梯形層層堆疊形成加工零件輪廓時(shí)，加工層與零件在邊緣處存在一定偏差，這種偏差稱為階梯誤差。如圖4所示，當(dāng)采用實(shí)線所示直角梯形Pi1Pi2Pi3Pi4對(duì)虛線所示零件第i層進(jìn)行填充時(shí)，由于填充單層層厚較小，該層階梯誤差近似于兩側(cè)三角形面積和Si：
Si=SΔPi2Pi3Pi6+SΔPi1Pi4Pi5=
(9)
該輪廓填充的總階梯誤差S表示為各層階梯誤差的總和：
(10)
在滿足層厚限制的條件下，使階梯誤差最小，加工零件各層最小層厚di2、最大層厚di1與成型角度θi的數(shù)學(xué)模型表示為
其中：dmin、dmax和θmax分別對(duì)單層堆疊的最小層厚、最大層厚和最大成型角度；θs為成型總變化角，滿足：
(11)
求解式(11)可確定填充階梯誤差最小條件下各層兩側(cè)層厚di2、di1和成型角度θi。
1.2.2 單層填充輪廓的確定
在得到填充階梯誤差最小條件下的各層兩側(cè)層厚di2、di1和成型角度θi后，任意層的填充輪廓就可以確定。如圖5所示，任意第i層填充輪廓為由li1、li2、li3、li44條邊組成的直角梯形，Pi2、Pi6、Pi4、Pi5圍成虛線為該層零件截面，∠Pi1Pi2Pi3為直線li1與直線li4相交所成的鈍角，滿足：
圖5 第i層直角梯形逼近截面表示
∠Pi1Pi2Pi3=θi+90°
(12)
在第i層直角梯形中，確定各點(diǎn)坐標(biāo)Pi1(ui1,vi1)、Pi2(ui2,vi2)、Pi3(ui3,vi3)、Pi4(ui4,vi4)、Pi5(ui5,vi5)和Pi6(ui6,vi6)，即可確定該層輪廓。對(duì)于底層直角梯形，點(diǎn)P15(B)和點(diǎn)P12(C)為零件輪廓與U軸的2個(gè)交點(diǎn)，可通過(guò)計(jì)算得到；對(duì)于其余各層，第i層的Pi2、Pi5分別與i-1層的Pi6、Pi4重合。因此，點(diǎn)Pi2和點(diǎn)Pi5為已知量，只需求解其他4點(diǎn)Pi1、Pi3、Pi4、Pi6。下文將詳細(xì)介紹這4點(diǎn)坐標(biāo)的求解過(guò)程。
通過(guò)上一步驟確定各層層厚和成型角度后，由于Pi3與Pi2相距di2，且∠Pi1Pi2Pi3已知，可通過(guò)式(13)確定Pi3(ui3，vi3)：
(13)
直線li2過(guò)Pi3(ui3，vi3)，且與直線li1垂直，則其表達(dá)式為
(14)
確定直線li2表達(dá)式后，則可得到跟零件輪廓S相交兩點(diǎn)Pi6和Pi4的坐標(biāo)值。又由于點(diǎn)Pi1和點(diǎn)Pi4距離是di1，且Pi1Pi4平行于Pi2Pi3，可通過(guò)式(15)確定Pi1的坐標(biāo)值：
(15)
通過(guò)上述步驟，可確定第i層直角梯形中所有點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定該層填充輪廓。
1.2.3 填充速率的確定
在增材填充加工過(guò)程中，單層填充層厚d滿足：
(16)
其中：r為噴嘴半徑；f為噴嘴進(jìn)料速度；v為機(jī)器移動(dòng)速度；k為軌跡寬度。對(duì)于特定機(jī)床，其噴嘴半徑r和軌跡寬度k恒定不變。在實(shí)際填充中，保持機(jī)器移動(dòng)速度v不變，單層填充層厚d與噴嘴進(jìn)料速度f(wàn)成正比，通過(guò)改變噴嘴進(jìn)料速率即可實(shí)現(xiàn)不同層厚的加工。
如圖6所示，增材填充單層時(shí)，加工平面由多條填充軌跡組成。每一條填充軌跡的厚度均勻，相鄰填充軌跡的厚度逐步增大，滿足線性關(guān)系。路徑加工的截面如圖7所示。
圖6 單層加工面填充軌跡與填充結(jié)果
圖7 第i層加工軌跡填充截面
在進(jìn)行非均勻?qū)犹畛鋾r(shí)，每條軌跡所填充的截面面積Aip可由式(17)確定。
(17)
結(jié)合式(16)與式(17)，可得出噴嘴在加工軌跡上的進(jìn)料速率f的表達(dá)式：
(18)
2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證
為驗(yàn)證文中所提出算法的有效性，對(duì)圖8所示零件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。該零件是一段半徑為R=45 mm、弧度為π/2的圓弧，其截面為10 mm×10 mm的正方形。設(shè)定多軸增材加工機(jī)床的噴嘴可填充最小層厚0.5 mm，最大層厚1.0 mm。
圖8 目標(biāo)加工零件
圖9所示為等厚度填充仿真效果。圖10所示是根據(jù)曲率變化對(duì)零件進(jìn)行自適應(yīng)填充的仿真效果，可以看出：各層厚度在0.5～1.0 mm內(nèi)變化。與等厚度填充法相比，自適應(yīng)填充算法得到的各層厚度不同，但兩方法在填充單層時(shí)的厚度均保持不變。圖11所示為采用文中方法對(duì)零件進(jìn)行非均勻填充的仿真效果。圖中相同顏色部分的堆疊厚度相同，同層填充厚度在0.5～0.625 mm內(nèi)變化。與等厚度和自適應(yīng)填充方法不同，采用文中方法填充，單層厚度也會(huì)發(fā)生變化。
圖9 等厚度算法分層仿真結(jié)果
圖10 自適應(yīng)算法分層仿真結(jié)果
圖11 文中方法分層仿真結(jié)果
效率和精度是評(píng)價(jià)算法效果的兩個(gè)重要指標(biāo)，兩者與填充層數(shù)和填充層階梯誤差的大小有關(guān)，層數(shù)越多，效率越低，各層階梯誤差越小，增材填充精度越高。表1所示為分別采用等厚度填充算法、自適應(yīng)填充算法和此算法對(duì)圖8所示零件加工，在層數(shù)、填充面積與階梯誤差間的差異。可知：在滿足噴嘴最大加工層厚的情況下，文中方法與等厚度填充算法得到的層數(shù)分別為79和70，遠(yuǎn)小于自適應(yīng)填充算法得到的層數(shù)92。
表1 不同分層方式參數(shù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比
設(shè)定機(jī)床的噴嘴可填充最小層厚0.5 mm，最大層厚1.0 mm，在得到分層信息后，采用Vericut中的beam_magic2機(jī)床進(jìn)行仿真加工，噴嘴加工寬度為1 mm，移動(dòng)速度為80 mm/s，增材仿真加工的結(jié)果如圖12所示。
圖12 零件填充加工
在增材填充過(guò)程中，層數(shù)與效率成反比，層數(shù)越多，待填充加工面積越大，其效率越低，加工數(shù)據(jù)如表1所示。采用文中方法加工，其填充面積為7 900 mm2，與等厚度填充算法面積(6 969 mm2)相近，遠(yuǎn)小于采用自適應(yīng)填充算法進(jìn)行填充的加工面積(9 086 mm2)。這意味著在該零件的加工中，采用文中方法和等厚度填充算法能夠得到較高的加工效率。
采用等厚度填充算法對(duì)該零件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)加工時(shí)，形成的階梯誤差為7.206 1 mm2，遠(yuǎn)大于文中方法填充階梯誤差0.647 9 mm2。為提升等厚度填充算法加工精度，一般采用增加等厚度填充層數(shù)的方法。在將分層層數(shù)增至140，加工層厚限定至最小值0.5 mm后，填充階梯誤差由7.206 1 mm2縮小到3.632 1 mm2，但填充面積由6 969 mm2增至14 036 mm2，大大降低了加工效率。而當(dāng)文中算法加工層厚取最小值時(shí)，誤差可達(dá)到最小值0.252 3 mm2，不僅優(yōu)于等厚度填充算法和自適應(yīng)填充算法，而且還優(yōu)于文中加工層厚取最大值時(shí)的誤差。文中加工層厚取最小值時(shí)，填充面積由7 900 mm2增至12 600 mm2，會(huì)降低加工效率、提高加工精度。
采用文中方法進(jìn)行實(shí)際加工，填充加工材料為PLA，加工出的零件如圖13所示。
圖13 加工零件
綜上所述，相較于等厚度填充、自適應(yīng)填充等均勻?qū)雍裉畛浞椒?，在滿足填充層厚的條件下，采用文中方法對(duì)零件進(jìn)行加工，可獲得更好的加工效率和加工精度。
3 結(jié)論
文中提出一種針對(duì)具有懸垂特征零件的多軸增材加工非均勻?qū)犹畛渌惴āＴ摲椒▽⒛Ｐ洼喞S點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為平面直角坐標(biāo)系中的二維點(diǎn)表示，在保證階梯誤差最小的情況下，確定各層兩側(cè)層厚和堆疊角度，進(jìn)而得到填充輪廓上各點(diǎn)坐標(biāo)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：與傳統(tǒng)等厚度填充和自適應(yīng)填充方法相比，文中方法采用一系列非均勻?qū)油瓿闪慵奶畛浼庸ぃ撨^(guò)程無(wú)需支撐結(jié)構(gòu)，且與傳統(tǒng)均勻?qū)犹畛浞椒ㄏ啾?，文中方法能夠達(dá)到更高的加工效率與加工精度。文中方法同樣適用于曲率變化大零件的增材填充。
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