馬國耀,蔣 奇?,宗西舉

(1.山東大學控制科學與工程學院,山東濟南 250061;2.濟南大學信息科學與工程學院,山東濟南 250022)

1 引言

大約1750年,Euler-Bernoulli梁方程被提出.隨著外層空間技術的不斷發(fā)展,人們愈發(fā)認識到Euler-Bernoulli梁方程作為一個基準系統(tǒng)對推動科技發(fā)展的重要性.伴隨著理論研究發(fā)展的日趨成熟,許多有效方法被應用于實現(xiàn)Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng)的穩(wěn)定性,如Backstepping變換法[1-2]、Lyapunov能量方法[3]和頻域方法[4]等.但是,這些手段在求證偏微分系統(tǒng)穩(wěn)定上仍然存在計算困難等問題.伴隨著Riesz基性質(zhì)和偏微分系統(tǒng)穩(wěn)定關系的確立,基于Riesz基求證偏微分系統(tǒng)穩(wěn)定性已成為一種趨勢.在這個理論中,通過求解譜增長條件,明確在該系統(tǒng)條件下Riesz基性質(zhì),即可實現(xiàn)偏微分方程系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明[5-7].但是,當系統(tǒng)外部存在擾動或出現(xiàn)內(nèi)部不確定性時,文獻[5-7]將難以實現(xiàn)穩(wěn)定.

為解決該問題,許多經(jīng)典算法被應用到Euler-Bernoulli梁方程上,如未知參數(shù)的自適應控制[8-9]、滑?？刂芠10-12]等方法.上述方法大都是以控制器的魯棒性對干擾進行抵抗,或者說是基于一種最壞情況下的反饋控制.這類控制器通常過于保守且容易出現(xiàn)“抖振”問題.

韓京清老師在1998年首次提出了自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)的概念[13].ADRC的突出優(yōu)點是設計了一個擴張狀態(tài)觀測器(extended state observer,ESO)來估計擾動,進而使用其估計值補償系統(tǒng)回路中的各種不確定因素.隨著研究的不斷深入,將ADRC 引入到偏微分方程(partial diffrential equation,PDE)的理論正在逐步完善.文獻[14]針對帶有邊界擾動的Kirchhoff板,設計了一類狀態(tài)觀測器.該狀態(tài)觀測器由無限多個常微分方程構成,借助ADRC技術,抵消了來自多維Kirchhoff板的時間和空間變化的邊界擾動,但隨著時間可變增益的不斷增加,其對高頻噪聲的魯棒性也會逐漸變差.文獻[15]針對熱方程系統(tǒng)的擾動抑制,構建了兩個輔助系統(tǒng).一個用于分離擾動和控制,另一個用來估計擾動,在ESO的幫助下,構建了控制器,進而消除了反饋回路中存在的干擾.文獻[16]借助文獻[15]的研究思路,基于波動方程,實現(xiàn)了擾動的估計和控制器的設計.但是,無論是熱方程還是波動方程,其階數(shù)和處理難度都弱于Euler-Bernoulli梁.隨著理論研究的不斷深入,在文獻[17-20]中,作者將上述狀態(tài)觀測器的設計思想應用到了帶有不確定性因素和外界擾動的Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng)上.文獻[21]針對Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng),設計了一個無限維估計器來估計擾動,并基于速度反饋和角速度反饋設計了兩種不同的控制器,最后利用Riesz基方法證明了閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性.2017年,文獻[22]整理了ADRC的一些新老結(jié)論,系統(tǒng)闡述了ADRC在偏微分方程上的應用,并以Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng)為例,詳細解釋了應用過程中的注意事項和方法.文獻[23]在上述研究的基礎上,將帶有不確定性因素和外部干擾的Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng)應用至多智能體系統(tǒng),并證明了其收斂性.但是,在文獻[17]和文獻[19-21]中,其Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng)的4個邊界條件中有3個為0,這種邊界條件實際上簡化了狀態(tài)觀測器和邊界控制器的設計.在文獻[18]和文獻[23]中,其不確定性施加在邊界彎矩(關于x的二階偏導)項上,在處理上相比于邊界剪切力(關于x的三階偏導)更為直觀和容易.

本文針對帶有邊界擾動、內(nèi)部不確定性和外部擾動的Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng),提出一種基于干擾觀測器的邊界輸出反饋控制.相比已有的研究成果,本文的創(chuàng)新點是: 1)系統(tǒng)邊界條件不同.本文所考慮的Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng)其邊界彎矩受邊界角速度影響,并且邊界剪切力受控制器和擾動的影響;2)針對具有該邊界條件的系統(tǒng),使用擾動觀測器觀測到內(nèi)部不確定性和外部擾動二者的總擾動值,并且使用Riesz基方法,證明了與干擾觀測器相關系統(tǒng)的穩(wěn)定性;3)利用估計值,在系統(tǒng)的邊界剪切力處設置邊界輸出反饋控制器,從而實現(xiàn)了系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定.

本文的其余部分組織如下: 第2節(jié),給出本文研究系統(tǒng)的方程,同時作出一些定義和合理假設.第3節(jié),給出參考系統(tǒng)和干擾觀測器的形式,同時證明相關系統(tǒng)的穩(wěn)定性.第4節(jié),借助文獻[5]的部分結(jié)論,給出邊界輸出反饋控制器的形式,說明該反饋控制器和干擾觀測器能夠相互結(jié)合并穩(wěn)定的原因.第5節(jié),介紹一些數(shù)值模擬,驗證所提出觀測器和控制器的有效性.第6節(jié),對本文進行總結(jié).

2 系統(tǒng)描述

在本文中,考慮以下帶有不確定影響的Euler-Bernoulli梁方程:

在系統(tǒng)(1)中,ω(x,t)表示梁在時間t和位置x的位移,(ω0(x),ω1(x))表示系統(tǒng)初始狀態(tài),ωt(x,t)和ωx(x,t)分別表示ω(x,t)關于變量t和變量x的導數(shù),d ∈L∞(0,∞)表示未知的外部干擾,f(ω(·,t),ωt(·,t)):(0,1)×L2(0,1)→R表示系統(tǒng)內(nèi)部的非線性映射,反映了系統(tǒng)的不確定性,ym表示可測量的輸出信號,u0(t)表示設計的邊界控制輸入.

假設1對于不確定擾動f(·)和外部干擾d(t),假設存在∈R+和∈R+使

定義1為方便下文討論,使用如下定義:

作為總干擾.

在系統(tǒng)(1)中,梁的一端是自由的,在另一端受梁的邊界角速度、控制輸入和未知擾動影響,本質(zhì)上是受邊界角速度影響的單鉸鏈柔性機器人的振動控制.本文的目的是基于測量值ym,設計一個總擾動觀測器和反饋控制器,利用擾動觀測器和控制器產(chǎn)生的信號,使系統(tǒng)的狀態(tài)ω(x,t)以指數(shù)形式收斂到零.

3 擾動觀測器設計

在本節(jié)中,將利用系統(tǒng)輸出ym設計一個不使用高增益的總干擾估計器.受文獻[17][22]-[23]的啟發(fā),首先引入?yún)⒖枷到y(tǒng)(5),即

其中k1是和系統(tǒng)(1)相同的可調(diào)節(jié)系數(shù).顯然,該系統(tǒng)完全取決于原系統(tǒng)(1)的輸入和輸出,故系統(tǒng)(5)為一個完全已知的系統(tǒng).根據(jù)文獻[24],當系統(tǒng)的控制輸入u0(t)≡0時,系統(tǒng)(5)將以指數(shù)形式收斂到零.

系統(tǒng)(7)和系統(tǒng)(5)類似,由文獻[24]可 知,當F(t)≡0時系統(tǒng)(7)將指數(shù)收斂.另外,系統(tǒng)(7)具有一個突出的優(yōu)點,即其不受控制器u0(t)的影響,這就實現(xiàn)了控制與擾動的分離.由上述分析可知,可以根據(jù)系統(tǒng)(7)進行系統(tǒng)(1)總擾動的估計.

取系統(tǒng)(7)的狀態(tài)空間為H=(0,1)×L2(0,1),其中,(0,1)表示Sobolev空間下滿足邊界條件的函數(shù)f ∈L2(0,1)具有平方可積的一階和二階弱導數(shù).對?(fi,gi)T∈H(i=1,2)定義其內(nèi)積誘導范數(shù)為

進而系統(tǒng)(7)在狀態(tài)空間H中可被重寫為

算子A的情況如下:

其中δ為狄拉克分布.

從系統(tǒng)(7)中不難發(fā)現(xiàn),算子A可生成一個C0-半群,算子B關于算子A生成的C0-半群是容許的[22].由于系統(tǒng)(7)的線性部分是指數(shù)穩(wěn)定的,并且與控制無關,所以系統(tǒng)(7)的擾動觀測器的設計要比原始系統(tǒng)(1)容易得多.此外,由假設1知總擾動F(t)是一致有界的,故系統(tǒng)(7)線性部分的指數(shù)穩(wěn)定性保證了所有參與估計的子系統(tǒng)都是有界的[22].從這個角度上講,系統(tǒng)(5)將總擾動從原系統(tǒng)(1)中分離出來,并將總擾動引入到指數(shù)收斂的系統(tǒng)(7)中,這是本文設計總擾動觀測器重要的出發(fā)點.

其中k1是和系統(tǒng)(1)、系統(tǒng)(5)相同的可調(diào)節(jié)系數(shù).對于擾動觀測器系統(tǒng)(8),它僅僅取決于ω(1,t),z(1,t),ωxt(1,t)以及zxt(1,t).ω(1,t),ωxt(1,t)與原系統(tǒng)的輸入和輸出有關,z(1,t)和zxt(1,t)與設計的完全已知系統(tǒng)(5)相關.

定理1通過選擇合適的k1>0,將能使系統(tǒng)(10)指數(shù)穩(wěn)定.

證定義Hilbert空間

在H1上,將系統(tǒng)(10)改寫為如下發(fā)展方程:

基于式(13),定義算子A1的特征值

相關特征函數(shù)滿足

注意到,針對任意(f,g)T∈D(A1),

經(jīng)過簡單計算,易知算子A1是耗散的且對?λT∈σ(A1)都有Reλ≤0.又因為所有的特征值均以共軛形式出現(xiàn),故只需考慮落在第二象限的特征值,即λ=iρ2∈σ(A1)且≤argλ≤π.

對系統(tǒng)(15)直接計算,可得

代入邊界f′′(1)的限制條件,ρ需滿足下列特征方程:

當Re(ρ)→∞且Im(ρ)是有界時,式(19)具有以下漸進形式:

其中O表示同階無窮小.式(20)的形式將導致cosρ=

根據(jù)算子A1的耗散性,只需證明對?λ ∈σ(A1),Re(λ)≠0.根據(jù)式(14)-(15),有下式成立:

式(23)也能說明Re(λ)≤0.現(xiàn)在證明,式(22)不會存在虛軸上的解,即對?λ ∈σ(A1),Re(λ)≠0.

假設Re(λ)=0.這里式(14)依然成立,但注意ρ此時設為一個大于0的實數(shù).將式(14)代入式(23),有

將式(25)的邊界條件代入式(18),考慮到f(x)非零,有

顯然,式(26)對于ρ>0無解.由式(22)和式(26)知,不會存在以0為聚點的特征值,故式(22)不會存在虛軸上的解.

綜上所述,通過選擇合適的k1>0,能夠使λn的實部為負數(shù),且對任意模充分大的本征值都是幾何單的.

定理1得證.證畢.

定理2若A1由式(13)定義,則A1能在H1上生成一個C0-半群eA1t.

證 顯然,存在A1的廣義特征函數(shù)構成H1的Riesz基.參考文獻[23]Lemma 3.2的證明方法,由本文式(16)可知

定理2得證.證畢.

根據(jù)定理2,算子A1能夠在H1中生成一個壓縮的C0-半群,故存在常數(shù)LA1和ωA1>0使得[22-23]

且定義的Φ(τ)滿足

簡單計算有

根據(jù)式(28)(30),易從式(31)中得到

其中:T>0是任意給定的常數(shù),C0為一個和初始條件有關的正數(shù).由(32)可知,當t→∞,xxx(1,t)→0,即

定理3得證.證畢.

推論1系統(tǒng)(8)實際上是作為系統(tǒng)(7)的一個輸入觀測器.從式(9)的定義可以看出

將系統(tǒng)(7)和系統(tǒng)(8)放在一起

可得完整的擴張狀態(tài)觀測器(34).這樣做的優(yōu)點是沒有考慮總誤差F(t)的各階導數(shù),不會引入求導過程中所帶來的誤差,尤其是與系統(tǒng)狀態(tài)(ω(·,t),ωt(·,t))相關的非線性求導誤差,同時,該觀測器的設計也不會帶來高增益問題.

4 反饋控制器設計

觀察發(fā)現(xiàn),當F(t)≡0時,若設計u0(t)=k2ωt×(1,t)[5],k2>0,可使系統(tǒng)(1)穩(wěn)定.定理1-3以及式(28)表明,系統(tǒng)(10)將以指數(shù)形式收斂,即

設計控制器u0(t)=k2ωt(1,t)-xxx(1,t),此時完整的閉環(huán)控制系統(tǒng)為

由定理3分析可知

5 仿真分析

為直觀展示本文所介紹的反饋控制器以及擾動觀測器,本節(jié)采用有限差分法,利用MATLAB進行了一些數(shù)值模擬分析.空間步長和時間步長分別為dx=0.05,dt=0.0001,外部干擾d(t)=sint,內(nèi)部不確定項f(·)=0.5 cos(ω(1,t)).初始值設置為:ω(x,0)=sin(2πx)cos(1.5πx),ωt(x,0)=-0.2x,(x,0)=(x,0)=0,(x,0)=(x,0)=-0.1x,k1=1,k2=8.系統(tǒng)(35)的解決方案繪制在圖1-3中,總擾動及其估計值繪制在圖4中,控制器u0(t)繪制在圖5中.圖中各參數(shù)的含義分別為:x表示梁的位置,t表示時間,F(t)和xxx(1,t)分別指總擾動和其估計值,誤差Error=F(t)-xxx(1,t),控制律u0(t)=k2ωt(1,t)-xxx(1,t).

圖1 梁的位移ω(x,t)Fig.1 The displacement of the beam ω(x,t)

由圖1可以看出,ω(x,t)最終指數(shù)收斂至0,符合預期要求.圖2和圖3證明了所選參考系統(tǒng)和擾動觀測器是有界的,并且能夠?qū)倲_動起到觀測作用.圖4表明擾動被有效地估計出來,并且估計誤差也在允許范圍內(nèi).圖5展示了邊界反饋控制器的輸出,可以看出隨時間的不斷變化,控制器整體輸出較為平穩(wěn).

圖2 參考系統(tǒng)(x,t)Fig.2 The reference system(x,t)

圖3 擾動觀測器(x,t)Fig.3 The disturbance estimator(x,t)

圖4 擾動及其估計值Fig.4 The disturbances and their estimates

圖5 控制律u0(t)Fig.5 The control law u0(t)

6 總結(jié)

本文針對一類具有邊界擾動、未知外部干擾和內(nèi)部非線性擾動的Euler-Bernoulli梁方程,設計了干擾觀測器,基于文獻[5]設計了輸出反饋控制器.該控制器的設計過程包括與擾動觀測器相關系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論證明、Riesz基理論和無擾動情況下輸出反饋控制律3個部分.本文設計的狀態(tài)觀測器無需對干擾求導,也不會引入高增益所帶來的種種問題.整個系統(tǒng)的應用僅利用了原系統(tǒng)的輸出信號ym,通過控制梁在位置x和時間t即可使整個系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定.但是,受篇幅限制,一些理論并未展開敘述,詳細的推導方法類似于文獻[25].

未來,筆者將繼續(xù)針對Euler-Bernoulli梁方程進行研究,并擴展其在實際領域中的應用.例如,研究帶有某些未知參數(shù)的Euler-Bernoulli梁方程系統(tǒng),利用輸入-輸出關系或二值信息辯識系統(tǒng)的未知參數(shù),進而根據(jù)狀態(tài)構造伺服系統(tǒng),設計控制器最終實現(xiàn)系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié).另一方面,結(jié)合文獻[26-28],該控制理論可考慮應用至手術機器人領域.由于人體腔道的復雜性,柔性機器人在未來一定是手術機器人的不二選擇.本文所討論的Euler-Bernoulli梁作為一個基礎梁系統(tǒng),下一步可根據(jù)機器人的機械結(jié)構、力學特性和運動特征,構建更加完善的動力學模型,進而設計擾動觀測器和邊界輸出反饋控制器,從而實現(xiàn)機器人在人體腔道內(nèi)安全穩(wěn)定運行.