沈春芳，楊 劉

（合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 合肥 230001）

討論含復(fù)雜時滯分?jǐn)?shù)階泛函微分方程多點(diǎn)邊值問題

正解的存在性，其中

近年來隨著分?jǐn)?shù)階微分方程理論在物理、化學(xué)、生物學(xué)和空氣動力學(xué)等方面應(yīng)用的不斷深入，對分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解與正解的研究受到人們的廣泛關(guān)注[1-10]。Z.B.Bai 等[11]討論了兩點(diǎn)邊值問題

正解的存在性。Z.B.Bai[12]討論問題

在非線性項滿足適當(dāng)增長性條件下建立了正解存在性結(jié)果。C.F.Liu 等[13]利用不動點(diǎn)定理給出了問題

正解與多個正解的存在性的充分條件。

目前對含時滯的分?jǐn)?shù)階泛函微分方程邊值問題正解的存在性研究比較少。本文研究含復(fù)雜時滯分?jǐn)?shù)階泛函微分方程多點(diǎn)邊值問題（1-2）正解的存在性，建立了問題對應(yīng)的Green 函數(shù)并給出Green 函數(shù)具有的性質(zhì)，分別利用Schauder 不動點(diǎn)定理和Leggett-Williams 不動點(diǎn)定理，建立問題正解與多個正解的存在性結(jié)論。

1 預(yù)備知識及引理

引理1.1 設(shè)α＞0,u∈C(0,1)?L(0,1)，分?jǐn)?shù)階微分方程Dα0+u(t)=0 有形式解

其中Ci∈R,i=1,2,…,N,N為不小于α的最小整數(shù)。

引理1.2 設(shè)

其中Ci∈R,i=1,2,…,N,N為不小于α的最小整數(shù)。

引理1.3 給定

y(t)∈C[0,1],η0=0,ηm-1=1,β0=βm-1=0,則邊值問題

有形式解

其中對ηi-1≤s≤ηi,i=1,2,…,m-2,

證明 由引理1.1，方程（1.1）具有形式解

代入邊值條件得

代入得

引理1.4 引理1.3定義的函數(shù)G(t,s)

（1）G(t,s)＞0,t,s∈(0,1)

（2）G(t,s)≤G(s,s),t,s∈[0,1]

證明（1）對ηi-1≤s≤ηi,i=1,2,…,m-1,t≤s,

對ηi-1≤s≤ηi,i=1,2,…,m-1,t≥s,

（2）記

則

由單調(diào)性即得

（3）記

則由引理1.3和引理1.4得

定義1.1 映射ψ稱為Banach空間E中錐P上的非負(fù)連續(xù)凹泛函，如果ψ:P→[0,+∞)連續(xù)且對任何x,y∈P,t∈[0,1],成立

設(shè)0＜a＜b，ψ是錐C 上的非負(fù)連續(xù)凹泛函，定義

引理1.5 設(shè)P 是Banach 空間中的閉凸集，T:P→P是緊連續(xù)映射，則T 在P 上至少有一個不動點(diǎn)。

并滿足ψ(x)≤‖x‖。設(shè)存在正數(shù)0 ＜a＜b＜d≤c使得

則算子T至少有三個不動點(diǎn)x1,x2,x3滿足

2 主要結(jié)論

顯然算子T 在錐P 的不動點(diǎn)即為邊值問題（1）-（2）的正解。

定理2.1 設(shè)存在函數(shù)a(t)∈L[0,1]使得

則邊值問題（1）-（2）在C[0，1]中至少存在一個正解。

證明設(shè)P 的子集合PR={}u∈P|‖u‖ ≤R，下面證明T是其上的全連續(xù)算子。

（1）對任意的u∈PR,

這表明算子T是一直有界的。

（2）對任何u∈PR,t1,t2∈[0,1],

由Green 函數(shù)關(guān)于t 的全連續(xù)性可得算子T 是等度連續(xù)的。由Ascoli-Arezela定理，算子T是凸集PR上的全連續(xù)算子，則由Schauder 不動點(diǎn)定理，算子T 至少在PR上存在一個不動點(diǎn)，即邊值問題（1）-（2）在C[0，1]上至少存在一個正解。

記

定理2.2 設(shè)存在正數(shù)0 ＜a＜b＜c使得

則邊值問題（1）-（2）在C[0，1]中至少存在三個正解。

證明定義泛函

這樣引理1.6 的條件全部滿足，因此則邊值問題（1）-（2）至少存在三個正解。