一個(gè)推廣的對(duì)流方程5維截?cái)嗄Ｐ偷奈?/h1>
2019-06-11 03:10:51易奇志陳玲
科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào) 2019年6期
易奇志 陳玲
摘 ? 要：本文用定性理論的方法對(duì)一個(gè)推廣的對(duì)流方程的5維截?cái)嗄Ｐ瓦M(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，主要是探究其整體吸引集的存在性。從模型可見，由于該模型包含了著名的動(dòng)力學(xué)方程——Lorenz方程，它有奇怪吸引子。在的條件下，我們運(yùn)用兩種不同的證明方法，并通過計(jì)算散度，得到了該系統(tǒng)在a=1時(shí)有測(cè)度為0的整體吸引集。由證明過程可見，第二種方法比較簡(jiǎn)潔方便。
關(guān)鍵詞：對(duì)流方程 ?定性理論 ?吸引集
中圖分類號(hào)：O41 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1674-098X（2019）02（c）-0247-02
對(duì)流擴(kuò)散方程是一類基本的運(yùn)動(dòng)方程，在眾多領(lǐng)域中有著廣泛的運(yùn)用，比如應(yīng)用于環(huán)境科學(xué)、流體力學(xué)、能源開發(fā)等領(lǐng)域。關(guān)于對(duì)流擴(kuò)散方程的理論研究和數(shù)值計(jì)算也吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注[1-3]。在文獻(xiàn)[3]中，周煥文、胡開堅(jiān)通過一個(gè)截?cái)喙讲⒆鲞m當(dāng)?shù)淖儞Q，得到一個(gè)推廣的對(duì)流方程的5維模型，如下：
（1）
取定其參數(shù)和初始條件進(jìn)行值實(shí)驗(yàn)，得到相圖在x1-x5平面上的投影是一個(gè)Lorenz奇怪吸引子，直觀地看到了該模型的一些復(fù)雜性態(tài)，但未見對(duì)此模型的理論分析，考慮到該模型參數(shù)的實(shí)際意義：σ為Prandtl常數(shù)，σ>0，s為無(wú)切變因素，b是常參數(shù)，b>0，r是Rayleigh數(shù)，r>0，a是常參數(shù)，a>0。本文將在此條件下用定性理論的方法對(duì)該模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，用兩種方法可以得到：當(dāng)a=1時(shí)，系統(tǒng)有測(cè)度為0的整體吸引集。
1 ?a=1時(shí)的吸引集
該模型必有奇怪吸引子存在，因?yàn)榱?，該模型成為L(zhǎng)orenz方程，有奇怪吸引子.那么，我們要問：在其他情況下，是否有吸引子[4-5]。
2 ?結(jié)語(yǔ)
對(duì)于比較復(fù)雜的動(dòng)力系統(tǒng)，要揭示其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，一般可以從理論分析和數(shù)值計(jì)算兩個(gè)方面來(lái)進(jìn)行。通過定性理論的分析方法，我們對(duì)于系統(tǒng)（1）的全局性態(tài)有了更進(jìn)一步的了解，證得在一定條件下，系統(tǒng)有Lebesgue測(cè)度為0的整體吸引集。但是該系統(tǒng)還有很多復(fù)雜的性態(tài)尚未揭示出來(lái)，為了更深入的了解它，可以進(jìn)一步進(jìn)行平衡點(diǎn)分析，分叉分析，中心流形分析，這些工作將有助于我們更好地把握該系統(tǒng)的全局特征和局部特征。
參考文獻(xiàn)
[1] 張燕美，蘭斌，盛志強(qiáng)，等.非定常對(duì)流擴(kuò)散方程保正格式解的存在性[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，2018.（網(wǎng)絡(luò)首發(fā)）
[2] 朱曉剛，聶玉峰.變系數(shù)分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程的一種算子矩陣方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2018（1）：104-112.
[3] 周煥文，胡開堅(jiān).推廣的對(duì)流方程的5維截?cái)嗄Ｐ蚚Z].
[4] 盛昭瀚，馬海軍.非線性動(dòng)力系統(tǒng)分析引論[M].北京：科學(xué)出版社，2001：86-92.
[5] Stephen Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos[M]. New York： Springer-Verlag World Publishing Corp，1990.
易奇志 陳玲
摘 ? 要：本文用定性理論的方法對(duì)一個(gè)推廣的對(duì)流方程的5維截?cái)嗄Ｐ瓦M(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，主要是探究其整體吸引集的存在性。從模型可見，由于該模型包含了著名的動(dòng)力學(xué)方程——Lorenz方程，它有奇怪吸引子。在的條件下，我們運(yùn)用兩種不同的證明方法，并通過計(jì)算散度，得到了該系統(tǒng)在a=1時(shí)有測(cè)度為0的整體吸引集。由證明過程可見，第二種方法比較簡(jiǎn)潔方便。
關(guān)鍵詞：對(duì)流方程 ?定性理論 ?吸引集
中圖分類號(hào)：O41 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1674-098X（2019）02（c）-0247-02
對(duì)流擴(kuò)散方程是一類基本的運(yùn)動(dòng)方程，在眾多領(lǐng)域中有著廣泛的運(yùn)用，比如應(yīng)用于環(huán)境科學(xué)、流體力學(xué)、能源開發(fā)等領(lǐng)域。關(guān)于對(duì)流擴(kuò)散方程的理論研究和數(shù)值計(jì)算也吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注[1-3]。在文獻(xiàn)[3]中，周煥文、胡開堅(jiān)通過一個(gè)截?cái)喙讲⒆鲞m當(dāng)?shù)淖儞Q，得到一個(gè)推廣的對(duì)流方程的5維模型，如下：
（1）
取定其參數(shù)和初始條件進(jìn)行值實(shí)驗(yàn)，得到相圖在x1-x5平面上的投影是一個(gè)Lorenz奇怪吸引子，直觀地看到了該模型的一些復(fù)雜性態(tài)，但未見對(duì)此模型的理論分析，考慮到該模型參數(shù)的實(shí)際意義：σ為Prandtl常數(shù)，σ>0，s為無(wú)切變因素，b是常參數(shù)，b>0，r是Rayleigh數(shù)，r>0，a是常參數(shù)，a>0。本文將在此條件下用定性理論的方法對(duì)該模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，用兩種方法可以得到：當(dāng)a=1時(shí)，系統(tǒng)有測(cè)度為0的整體吸引集。
1 ?a=1時(shí)的吸引集
該模型必有奇怪吸引子存在，因?yàn)榱?，該模型成為L(zhǎng)orenz方程，有奇怪吸引子.那么，我們要問：在其他情況下，是否有吸引子[4-5]。
2 ?結(jié)語(yǔ)
對(duì)于比較復(fù)雜的動(dòng)力系統(tǒng)，要揭示其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，一般可以從理論分析和數(shù)值計(jì)算兩個(gè)方面來(lái)進(jìn)行。通過定性理論的分析方法，我們對(duì)于系統(tǒng)（1）的全局性態(tài)有了更進(jìn)一步的了解，證得在一定條件下，系統(tǒng)有Lebesgue測(cè)度為0的整體吸引集。但是該系統(tǒng)還有很多復(fù)雜的性態(tài)尚未揭示出來(lái)，為了更深入的了解它，可以進(jìn)一步進(jìn)行平衡點(diǎn)分析，分叉分析，中心流形分析，這些工作將有助于我們更好地把握該系統(tǒng)的全局特征和局部特征。
參考文獻(xiàn)
[1] 張燕美，蘭斌，盛志強(qiáng)，等.非定常對(duì)流擴(kuò)散方程保正格式解的存在性[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，2018.（網(wǎng)絡(luò)首發(fā)）
[2] 朱曉剛，聶玉峰.變系數(shù)分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程的一種算子矩陣方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2018（1）：104-112.
[3] 周煥文，胡開堅(jiān).推廣的對(duì)流方程的5維截?cái)嗄Ｐ蚚Z].
[4] 盛昭瀚，馬海軍.非線性動(dòng)力系統(tǒng)分析引論[M].北京：科學(xué)出版社，2001：86-92.
[5] Stephen Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos[M]. New York： Springer-Verlag World Publishing Corp，1990.
