? 福建省福州市福清虞陽(yáng)中學(xué) 黃慶福

? 福建省福州市福清市梧崗初級(jí)中學(xué) 鄭 林

教育部印發(fā)的《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》中明確提出全面深化課程改革以及核心素養(yǎng)在各學(xué)科間落地開(kāi)花的要求.在數(shù)學(xué)學(xué)科中,核心素養(yǎng)更多的是指以數(shù)學(xué)為工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力.這種能力的提高可以通過(guò)深度教學(xué)來(lái)實(shí)現(xiàn).所謂深度教學(xué),就是對(duì)知識(shí)進(jìn)行深層剖析,了解知識(shí)間的縱橫交錯(cuò),提高思維的深度和廣度,同時(shí)帶動(dòng)具體思維向邏輯思維的縱深發(fā)展.

深度教與學(xué)的落實(shí),需要教師帶領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)完整的知識(shí)體系,激發(fā)學(xué)生的邏輯思維,將所學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用到解題過(guò)程中.本文中以直角三角形的性質(zhì)定理為例,闡述如何在課堂上基于核心素養(yǎng)視角重新審視知識(shí),構(gòu)建深度的教與學(xué).

1 問(wèn)題引領(lǐng),深度課堂

1.1 教學(xué)有疑,疑則有進(jìn)

人教版教材中關(guān)于直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)定理安排在八年級(jí)下冊(cè)“18.2.1矩形”中.在講解完矩形的性質(zhì)之后,提出問(wèn)題:如圖1,在矩形ABCD中,觀察Rt△ABC,BO是斜邊AC上的中線,BO與AC有什么關(guān)系[1]?

圖1

教材中這樣安排新定理的生成是基于矩形的四個(gè)角均為直角,因此自然想到借助矩形研究直角三角形中的問(wèn)題.如此安排雖利于知識(shí)生成但不利于知識(shí)發(fā)展,且不利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng),無(wú)法激發(fā)學(xué)生的求知欲.

1.2 知識(shí)的問(wèn)題化

本文中在深入探究該定理教學(xué)的同時(shí),結(jié)合可以關(guān)聯(lián)的知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的整個(gè)脈絡(luò)圖,學(xué)會(huì)用聯(lián)系的思維看知識(shí),用發(fā)展的眼光看數(shù)學(xué).學(xué)生經(jīng)歷以上過(guò)程,進(jìn)而對(duì)所學(xué)知識(shí)做到真正理解,并逐步構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)框架和體系.

問(wèn)題求證:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

已知:如圖2,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是斜邊AC的中點(diǎn),連接BD.

圖2

問(wèn)題1猜測(cè)BD與AC之間有什么數(shù)量關(guān)系?

問(wèn)題2能通過(guò)折線來(lái)驗(yàn)證你的猜想嗎?

學(xué)生經(jīng)過(guò)思考和交流,利用圖3的折疊方法,可驗(yàn)證猜想.

圖3

2 多向思維,助力推理

上述問(wèn)題打開(kāi)了深度教學(xué)的大門(mén),而測(cè)量和折紙降低了進(jìn)入的門(mén)檻,讓學(xué)生“觸手可得”.另外,折紙還蘊(yùn)含著軸對(duì)稱的特性,教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)的內(nèi)涵,從而獲得多角度的論證方法.

證法一：論證角度——建構(gòu)矩形模型.

證明：如圖4,延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E,使ED=DB,連接CE,AE.

圖4

∵D為AC的中點(diǎn),

∴AD=CD.

∵BD=DE,

∴四邊形ABCE為平行四邊形.

∵∠ABC=90°,

∴四邊形ABCE為矩形.

∴AC=BE.

證法二：論證角度——建構(gòu)等角對(duì)等邊.

證明：如圖5,在∠ABC的內(nèi)部作∠MBC=∠C,BM與AC交于點(diǎn)M.

圖5

∵∠MBC=∠C,

∴MB=MC.

∵∠ABC=90°,

∴∠A+∠C=90°,

∠ABM+∠MBC=90°.

∴∠A=∠ABM.

∴AM=BM.

∴AM=MC=BM.

又BD是斜邊AC上的中線,即BD與BM重合.

證法三：論證角度——建構(gòu)三角形中位線,引出中垂線.

證明：如圖6,在△ABC中,∠ABC=90°,BD為AC邊上的中線,分別取AB,BC的中點(diǎn)G,H,連結(jié)DG,DH.

圖6

∵AD=DC,AG=GB,

∴DG∥BC.

∵∠ABC=90°,

∴∠AGD=∠ABC=90°.

∴DG⊥AB.

又AG=BG,

∴BD=AD.

同理BD=CD.

∴AD=BD=CD.

證法四：論證角度——建構(gòu)三角形全等.

證明：如圖7,延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E,使BD=DE,連接EC.

圖7

易證△ADB≌△CDE(SAS).

∴∠A=∠1,AB=CE.

∴AB∥EC.

∴∠ABC+∠BCE=180°.

∵∠ABC=90°,

∴∠BCE=90°.

易證△ABC≌△ECB(SAS).

∴AC=BE.

證法五：論證角度——構(gòu)造中垂線以及聯(lián)想等角對(duì)等邊.

證明：如圖8,作AB的垂直平分線ME,垂足為E,交AC于點(diǎn)M.連接BM,則AM=BM.

圖8

∴∠1=∠A.

∵∠ABC=90°,

∴∠3+∠1=90°,

∠2+∠A=90°.

∴∠3=∠2.

∴CM=BM.

∵AM=BM,

∴CM=AM.

即M為AC的中點(diǎn).

又D為AC的中點(diǎn),

∴點(diǎn)M與點(diǎn)D重合.

∴BD=AD=CD.

證法六：論證角度——由中點(diǎn)聯(lián)想中位線.

證明：如圖9,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使BE=BC,連接AE.則B為EC的中點(diǎn).

圖9

∵D為AC的中點(diǎn),

∴BD為△ACE的一條中位線.

∵∠ABC=90°,

∴AB⊥BC.

∵BE=BC,

∴AE=AC.

3 逆向思維,合作探究

在進(jìn)行命題的學(xué)習(xí)時(shí),探究逆命題的過(guò)程能讓深度教學(xué)內(nèi)容更豐富,并能提升學(xué)生的推理能力[2].通過(guò)逆命題的證明,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力,同時(shí)又將知識(shí)遷移到“命題、定理、證明”這一課時(shí)中,增加了知識(shí)的層次.

問(wèn)題3“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么?

問(wèn)題4這個(gè)逆命題是否成立?說(shuō)明理由.

4 應(yīng)用新知,固化認(rèn)識(shí)

例題如圖10,已知等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形BDF,∠BAC=∠BDF=90°,E是線段CF的中點(diǎn).

圖10

(1)如圖10,當(dāng)點(diǎn)B,C,D在同一直線上時(shí),猜想線段AE與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明;

(2)如圖11、圖12,當(dāng)點(diǎn)B,C,D不在同一直線上,且等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形BDF在BC的同側(cè)或異側(cè)時(shí),探究線段AE與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;

圖11

圖12

本題第(1)問(wèn)直接運(yùn)用本節(jié)所學(xué)的直角三角形的性質(zhì)定理.在Rt△AFC與Rt△DFC中你能得到什么結(jié)論?第(2)問(wèn)顯然不存在Rt△AFC與Rt△DFC,但是以上三個(gè)圖形中都存在等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形BDF.等腰三角形有一個(gè)“三線合一”的重要性質(zhì),教師結(jié)合本節(jié)所學(xué)的直角三角形的性質(zhì)定理,引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線解決第(1)問(wèn).

如圖13,分別取BF與BC的中點(diǎn)N與M,連接DN,NE,ME,AM.進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形,找出三角形的中位線,則可證△AME≌△END(SAS)且AM⊥NE,因此可證DE=AE且DE⊥AE.

圖13

接下來(lái),引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中不變的量,將第(1)問(wèn)添加輔助線的思路遷移到圖11與圖12中,鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試,畫(huà)圖驗(yàn)證,得到圖14與圖15.

圖14

圖15

此題的變式訓(xùn)練,能讓學(xué)生的思維得到進(jìn)一步拓展,同時(shí)明確某些證明題的設(shè)計(jì)理念,即對(duì)題目的條件或基本圖形進(jìn)行變換.

5 深度教與學(xué)的走向:傳遞知識(shí),更傳遞智慧

5.1 有一種教學(xué)叫:觸類(lèi)旁通

作為課堂的組織者,我們要站在一定的高度來(lái)看待知識(shí),領(lǐng)會(huì)教材編者的意圖,不斷改進(jìn)教材教法,遵循吃透教材—改編教材—拓展教材這一過(guò)程,學(xué)會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)看待教材,挑選典型例題,分析通法通性.讓學(xué)生學(xué)會(huì)融會(huì)貫通.

5.2 有一種學(xué)習(xí)叫:深入淺出

教師在備課時(shí)要多花時(shí)間思考“如何實(shí)現(xiàn)知識(shí)的深入和教法的淺出”.課堂上我們不能“裝高深”,應(yīng)該“接地氣”,用學(xué)生熟悉的已知情境、事物和知識(shí)來(lái)牽引.教師每拋出一個(gè)問(wèn)題,都要從最簡(jiǎn)單的角度入手,步步深入,從特殊到一般.

5.3 有一種智慧叫:大道至簡(jiǎn)

深度教與學(xué)中,教師要做的是基于教材本身,選取適當(dāng)素材,課堂上重視探究過(guò)程.常言道:經(jīng)歷過(guò)程比結(jié)論更重要,知識(shí)可以在探索過(guò)程中生根發(fā)芽;大道至簡(jiǎn),知易行難.

6 是結(jié)尾也是開(kāi)端

數(shù)學(xué)深度教與學(xué)是一個(gè)雙向過(guò)程,也是一個(gè)雙贏的結(jié)局.深度教與學(xué)作為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑,還需要我們?cè)趯?shí)踐中繼續(xù)豐富和探索.深度教與學(xué)幫助學(xué)生成為可持續(xù)發(fā)展的人才,讓學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)、生活和工作中能用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看待世界,用數(shù)學(xué)的思維來(lái)解決問(wèn)題,從而達(dá)成目標(biāo),實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值.