于佳文, 楊德森, 時潔, 張姜怡, 付曉月

(1.哈爾濱工程大學(xué),水聲技術(shù)重點實驗室, 黑龍江 哈爾濱 150001; 2.海洋信息獲取與安全工業(yè)和信息化部重點實驗室(哈爾濱工程大學(xué)), 黑龍江 哈爾濱 150001; 3.哈爾濱工程大學(xué) 水聲工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

聲波在含氣泡的水介質(zhì)中傳播,由于氣體的物理特性與液體有明顯的不同,且氣泡受聲波激勵會產(chǎn)生大量散射,所以含氣泡水介質(zhì)中會產(chǎn)生許多非線性聲學(xué)現(xiàn)象[1-4]。之前的很多研究都是將這種混合介質(zhì)等效成一種特殊的均勻介質(zhì),忽略了氣泡之間的相互作用[5-7]。而當(dāng)水中的氣泡含量超過0.001%時,則需要考慮氣泡間的相互作用,這種方法稱為多重散射法[8-10]。在考慮氣泡多重散射效應(yīng)后,滿足一定條件時,在介質(zhì)中可以觀察到介質(zhì)的共振頻率隨激勵振幅變化的現(xiàn)象,這種現(xiàn)象與顆粒介質(zhì)中的軟化性質(zhì)相似。巖石、土壤等顆粒介質(zhì)中的軟化已在其他領(lǐng)域有廣為人知的意義,它是指介質(zhì)的共振頻率隨著壓力振幅的增大而降低的現(xiàn)象[11-12]。聲波在介質(zhì)中傳播,若聲波振幅響應(yīng)隨激勵頻率的變化出現(xiàn)極大值,則此時聲波的頻率即為介質(zhì)的共振頻率。對于含氣泡的水介質(zhì)中的這種現(xiàn)象,為了區(qū)別于固體顆粒介質(zhì)中的軟化行為,可以將其稱為聲學(xué)軟化,對它進行研究,有助于更好地理解聲波與氣泡的非線性作用規(guī)律以及氣泡在聲場中的非線性動力學(xué)行為。

Lauterborn[13]研究了單個氣泡在聲場中的動力學(xué)行為,分析了壓力對氣泡共振的影響,并得出氣泡共振存在位移并取決于壓力振幅的結(jié)論。Omta[14]研究了信號通過含氣泡液體后的頻譜,第1次證明了含氣泡液體的共振頻率會隨壓力振幅的變化而變化。Sojahrood[15]通過實驗驗證了氣泡液體中的聲速和衰減與壓力有關(guān)。Matsumoto等[16]也觀察到了含有氣泡液體的共振隨壓力振幅變化的現(xiàn)象。Jean-Baptiste Doc等[17]在對含氣泡的水介質(zhì)進行研究時,發(fā)現(xiàn)了該介質(zhì)中存在與砂巖或裂化材料等相似的軟硬化效應(yīng):當(dāng)增加激勵振幅時,可以觀察到與入射波有關(guān)的向下或向上的共振頻移。Tejedor Sastre等[18]建立了一個數(shù)值模型,結(jié)合了有限體積法和有限差分法,對氣泡液體中的非線性超聲駐波進行了研究,求解了一維諧振腔中聲壓與氣泡振動相互作用的微分系統(tǒng)。此外他們又研究了由液體和氣泡組成的非線性雙相介質(zhì)中一維空腔的非線性共振,證明了信號的壓力振幅會改變空腔的共振頻率[19]。

María等僅對一維介質(zhì)中的軟化現(xiàn)象進行了研究,且側(cè)重于激勵頻率為200 kHz時介質(zhì)中的軟化現(xiàn)象。本文將對聲學(xué)軟化現(xiàn)象的研究擴展到了三維介質(zhì),并考慮其他頻率激勵時的情況,綜合分析了在單頻波和雙頻波激勵時含氣泡水介質(zhì)中的軟化現(xiàn)象,計算了聲波與氣泡相互作用時三維介質(zhì)中的非線性聲場。本文研究了多種不同頻率激勵時介質(zhì)中的軟化現(xiàn)象,充分證明了含氣泡水介質(zhì)中的確存在聲學(xué)軟化行為,即存在非線性共振頻移,且這是一種普遍存在的現(xiàn)象。本文的計算結(jié)果證明了非線性共振頻移與振源的振幅有關(guān),在一定范圍內(nèi)頻移隨著振幅的增大而增大。又分別研究了在單頻和雙頻聲波激勵下,氣泡體積對軟化效應(yīng)的影響,驗證了介質(zhì)中的軟化是由氣泡平均體積增大而引起的。本文的內(nèi)容可以作為提高參量陣聲發(fā)射和接收效率的理論基礎(chǔ),為進一步實現(xiàn)噪聲控制等技術(shù)提供思路。

1 數(shù)學(xué)模型

三維介質(zhì)都具有一定的形狀。在這里假設(shè)一個充滿含氣泡水介質(zhì)的圓柱形空腔,該空腔在三維空間(x,y,z)中圍繞z軸對稱,使用柱坐標(biāo)系(r,z)來表示。該圓柱空間在r方向上半徑長度為Lr且在z方向上長度為Lz。其中,r方向是垂直于聲波傳播的方向,z方向是沿聲波傳播的方向。如圖1所示。

圖1 三維圓柱形空腔

氣泡體積變化v(r,z,t)=V(r,z,t)-v0g,其中,V(r,z,t)是某一空間位置上氣泡當(dāng)前的體積,v0g是氣泡的初始體積。表示[20]：

0

(1)

0≤r≤Lr,0≤z≤Lz,0

(2)

式(1)為波動方程;式(2)為Rayleigh-Plesset方程。

假設(shè)在開始時氣泡處于靜止?fàn)顟B(tài),施加初始條件:

(3)

式中Lr和Lz都是常數(shù)。將聲源s(t)放置在z=0平面處,即圖1中的左側(cè)圓柱底面。使用軸對稱條件獲得問題的三維解:

p(r,0,t)=s(t),0

(4)

(5)

對于剛性邊界條件的圓柱形空腔,在z=Lz處施加自由壁條件,在r=Lr處施加剛性壁條件:

p(r,Lz,t)=0,0≤r≤Lr,0≤t≤Tt

(6)

(7)

2 數(shù)值計算方法

Tejedor Sastre等[21]在考慮不同邊界條件的情況下,利用含氣泡液體的頻散特性,對不同腔體中的復(fù)雜模態(tài)進行了數(shù)值模擬實驗,對于理解超聲在含氣泡液體中的行為、聲化學(xué)過程和非線性頻率混合的應(yīng)用具有重要意義。本文采用文獻[21]中提出的三維剛性壁圓柱形空腔中的聲場數(shù)值模型,對由式(1)和式(2)組成的耦合系統(tǒng)進行計算。

2.1 時間近似和空間近似

總時間Tt被分成R-1個持續(xù)時間為τ的間隔。每個時間點由tk(k=2,3,…,R-1)表示。時域離散結(jié)果如圖2所示。

圖2 時間離散化

則時間導(dǎo)數(shù)可以近似為:

(8)

對于一階導(dǎo)數(shù),誤差是O(τ);對于二階導(dǎo)數(shù),誤差是O(τ2)。

由于圓柱腔是圍繞z軸對稱的,對稱位置處的聲壓相等,所以只要求出某一個切面(如圖1中虛線所示平面)上的聲壓分布,即可得知整個圓柱腔內(nèi)的聲壓。

將圖1中的平面劃分為N×M個大小為Vc的控制模塊,每個模塊在r方向的尺寸為h,z方向的尺寸為s。用ri(i=1,2,…,N)和zj(j=1,2,…,M)表示每個控制模塊的中心點,如圖3所示。

圖3 空間離散化

由此得到空間的近似公式:

(9)

(10)

這些方程的誤差是O(h,s)。

2.2 離散方程

將近似公式(9)和(10)應(yīng)用于式(1)和(2),就得到了任意空間模塊Vc和任意時間tk(k=2,3,…,R-1)的方程式:

(11)

vi,j,k+1=((1-δω0gτ-bvi,j,k-1)vi,j,k-1+

(12)

式中A、B、C、D、E、F取不同的值,這取決于空腔的幾何形狀以及Vc是否位于空腔的邊界上。

2.3 特定參數(shù)

對于剛性壁圓柱腔,當(dāng)Vc的位置不同時,式(11)中參數(shù)取值為:

1)當(dāng)i=1,j=1時:A=i,B=0,C=2i-1,D=2(2i-1)s(t)/pi,j-1,k,E=i,F=3(2i-1);

2)當(dāng)i=1,j=M時:A=i,B=0,C=0,D=2i-1,E=i,F=3(2i-1);

3)當(dāng)i=1,j=2,…,M-1時:A=i,B=0,C=2i-1,D=2i-1,E=i,F=2(2i-1);

4)當(dāng)i=N,j=1時:A=0,B=i-1,C=2i-1,D=2(2i-1)s(t)/pi,j-1,k,E=i-1,F=3(2i-1);

5)當(dāng)i=N,j=M時:A=0,B=i-1,C=0,D=2i-1,E=i-1,F=3(2i-1);

6)當(dāng)i=N,j=2,3,…,M-1時:A=0,B=i-1,C=2i-1,D=2(2i-1),E=i-1,F=2(2i-1);

7)當(dāng)i=2,…,N-1,j=1時:A=i,B=i-1,C=2i-1,D=2(2i-1)s(t)/pi,j-1,k,E=2i-1,F=3(2i-1);

8)當(dāng)i=2,…,N-1,j=M時:A=i,B=i-1,C=0,D=2(2i-1),E=2i-1,F=3(2i-1);

9)當(dāng)i=2,…,N-1,j=2,…,M-1時:A=i,B=i-1,C=2i-1,D=2(2i-1),E=2i-1,F=2(2i-1)。

由此得到的方程組成的系統(tǒng)能夠求解每個時間步長內(nèi)所取平面上的聲壓分布和氣泡體積,進而推斷出整個圓柱腔中的聲壓和氣泡體積變化。

3 數(shù)值仿真

氣泡的存在會使介質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生變化,含氣泡水介質(zhì)中的非線性聲傳播是一個很吸引人的問題。在對巖石的非線性彈性共振行為進行研究時,已經(jīng)觀察到共振峰隨著驅(qū)動水平的增加而向下移動的現(xiàn)象,即非線性共振頻移。表明此時由彈性顆粒之間相互接觸并進行機械運動導(dǎo)致的非線性摩擦比大量均勻介質(zhì)中產(chǎn)生的摩擦具有更高的水平級[22]。在含氣泡的水介質(zhì)中,氣泡之間沒有直接接觸,但是它們存在許多其他方面的相互作用。

本文對不同聲波激勵下介質(zhì)中的軟化現(xiàn)象進行了研究,探討了氣泡體積對介質(zhì)軟化的影響以及發(fā)生軟化時介質(zhì)中的聲場。其中,在雙頻波激勵時,將二者產(chǎn)生的和頻聲波作為研究對象。根據(jù)軸對稱條件可知,任意平行于z軸的平面上聲壓分布相同。由于聲源均勻分布在z=0平面上且該平面上任意點處聲壓值相同,所以在任意平行于z軸的平面上,某點處的聲壓只取決于該點在z方向上的坐標(biāo),即該平面上任意一條表達式為r=a(a為常數(shù),0≤a≤Lr)的直線上的聲壓分布與z軸上的聲壓分布相同。因此,可以用聲壓在z軸上的分布來代表整個空腔中的聲壓分布。

為了使仿真結(jié)果更有說服性,本文為氣泡體積R0g選取了4個值,分別為4.5×10-6m3、5×10-6m3、8×10-6m3和10-5m3,而單位體積的介質(zhì)中氣泡數(shù)目保持Ng=2×1011m-3不變。

3.1 參數(shù)設(shè)置

3.1.1 激勵頻率的選取

在本文的仿真中,激勵信號均采用連續(xù)信號形式,且激勵源位于整個z=0平面上。水中的聲速為c0l=1 500 m/s,密度為ρ0l=1 000 kg/m3,運動粘滯系數(shù)vl=1.43×10-6m2/s。氣體聲速c0g=340 m/s,密度ρ0g=1.29 kg/m3,氣體比熱比為γg=1.4。

為了在介質(zhì)中獲得較低的衰減,激勵信號的頻率應(yīng)低于單個氣泡的共振頻率。單位體積介質(zhì)中的氣泡數(shù)目Ng為2×1011m-3并保持不變,氣泡半徑不同時,含氣泡液體中聲波的衰減如圖4所示。

圖4 介質(zhì)中的衰減

由圖4可知,當(dāng)氣泡半徑R0g為4.5×10-6m3時,氣泡的共振頻率為f0g=ω0g/(2π)=0.748 MHz;當(dāng)氣泡半徑R0g為5×10-6m3時,共振頻率f0g=0.673 MHz;當(dāng)R0g為8×10-6m3時,共振頻率f0g=0.421 MHz;當(dāng)R0g為10-5m3時,f0g=0.336 MHz。

本文分別用單頻聲源和雙頻聲源作為激勵聲源,將單頻聲源發(fā)出的基波以及雙頻聲源產(chǎn)生的和頻波作為研究對象進行仿真計算。為了獲得較強的非線性效應(yīng)和較高的系統(tǒng)響應(yīng),并綜合考慮衰減、頻散等因素,在雙頻激勵時,2個聲源的參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 雙頻激勵時聲源發(fā)射頻率

當(dāng)單頻聲激勵時,令聲源發(fā)射的頻率等于雙頻激勵時2列聲波產(chǎn)生的和頻頻率,即單頻聲源頻率為表1中第1列的數(shù)值。

3.1.2 介質(zhì)中的聲速

由于氣泡與水的密度、阻抗及壓縮率等有很大的差異,所以含氣泡水介質(zhì)的聲學(xué)特性與純水介質(zhì)有顯著的不同,對聲波的傳播產(chǎn)生很大的影響。因此,聲波在含氣泡水介質(zhì)中的聲速不能用c0l=1 500 m/s來表示,而應(yīng)該將波動方程和Rayleigh-Plesset方程進行數(shù)值耦合重新計算。

如圖5所示,第1個斜線的斜率表示行波的速度[20]。

圖5 Ng=2×1011/m3,R0g=4.5×10-6 m3時介質(zhì)中的聲速

按照上述方法,可以得到含有不同半徑氣泡的介質(zhì)中的聲速。在研究含氣泡水介質(zhì)中的軟化現(xiàn)象時,為了驗證該現(xiàn)象廣泛存在于不同激勵條件下,應(yīng)該對同一氣泡參數(shù)下不同長度介質(zhì)中的軟化現(xiàn)象進行研究,因此選取氣泡體積R0g=4.5×10-6m3,單位體積介質(zhì)中氣泡數(shù)目Ng=2×1011/m3,介質(zhì)的共振頻率為150～200 kHz;在研究氣泡體積對介質(zhì)軟化的影響時,為確保仿真結(jié)果更有說服性,對于每一個長度的介質(zhì),均應(yīng)改變介質(zhì)中的氣泡半徑并對計算結(jié)果進行對比,因此選取的氣泡參數(shù)為R0g在4.5×10-6～10-5m3,介質(zhì)共振頻率為50～100 kHz。根據(jù)上述分析,含氣泡水介質(zhì)中不同激勵頻率下的聲速計算如表2所示。

表2 Ng=2×1011/m3時介質(zhì)中的聲速

表2～5中氣泡體積分別為3.82×10-16m3、5.23×10-16m3、2.14×10-15m3以及4.19×10-15m3。結(jié)果表明,當(dāng)氣泡密度和氣泡體積均相同時,激勵頻率越高,介質(zhì)中的聲速越小;在氣泡密度相同的前提下,當(dāng)激勵頻率相同時,氣泡體積越大,介質(zhì)中的聲速越小。

3.1.3 介質(zhì)長度的選取

共振意味著振幅響應(yīng)隨著頻率的變化會出現(xiàn)極大值,而在正弦信號中,極大值也是最大值。氣泡的存在改變了介質(zhì)中的聲速,由聲波波長表達式λ=c/f可知,聲信號的波長也會隨之發(fā)生變化。

在本文的研究背景下,應(yīng)保證單頻聲波發(fā)射的源信號以及雙頻聲波產(chǎn)生的和頻信號能夠在聲場中發(fā)生共振,即作為激勵信號的聲波頻率等于介質(zhì)中的線性共振頻率fL。駐波場是共振的一種特殊情況。本文通過設(shè)置介質(zhì)長度,使激勵聲波可以在介質(zhì)中形成駐波。為了使單頻聲波在介質(zhì)中產(chǎn)生駐波共振,將介質(zhì)在聲波傳播方向的長度設(shè)置為Lz=nλf/2,n為整數(shù),即在聲波傳播方向上,介質(zhì)的長度為半波長的整數(shù)倍,其中λf是激勵聲波的波長;為了計算簡便,將垂直于聲波傳播方向的長度設(shè)置為Lr=nλf/4。當(dāng)雙頻聲波激勵時,則將介質(zhì)參數(shù)設(shè)置為Lz=nλh/2,Lr=nλh/4,n為整數(shù)。其中λh是2個信號在線性條件下產(chǎn)生的和頻聲波的波長。

隨著聲波傳播距離的增加,由于波陣面的擴張、不均勻粒子的散射等,聲波在傳播過程中會產(chǎn)生衰減,使聲壓幅值降低;同時,由于介質(zhì)本身對聲能的吸收,聲場中的聲能也會降低。為了減少聲能的損耗、使聲波有足夠的能量激勵氣泡,并使聲波能夠在介質(zhì)中發(fā)生共振,在計算過程中將介質(zhì)長度設(shè)置為半個波長,因此取n=1。根據(jù)3.1.1節(jié)中設(shè)置的激勵頻率,以及3.1.2節(jié)中計算得到的聲速,介質(zhì)長度設(shè)置如表3所示。

表3 Ng=2×1011/m3時介質(zhì)的長度

上述計算表明,為了保證聲波在介質(zhì)中發(fā)生共振,當(dāng)氣泡體積和單位介質(zhì)中的氣泡數(shù)目一定時,對于每一個激勵頻率,都需要相應(yīng)長度的介質(zhì)與之匹配,激勵頻率的變化意味著介質(zhì)長度的變化。激勵頻率越高,共振時所需要的介質(zhì)長度越短;而當(dāng)氣泡密度和激勵頻率一定時,氣泡體積越小,共振時所需要的介質(zhì)長度越長。

3.2 含氣泡水介質(zhì)中的軟化現(xiàn)象

對不同聲波激勵時介質(zhì)中的非線性共振頻率進行計算,取氣泡半徑R0g為4.5×10-6m3,單位介質(zhì)中氣泡數(shù)目Ng為2×1011/m3,改變介質(zhì)的長度以使不同頻率的聲波能在介質(zhì)中發(fā)生駐波共振,即令介質(zhì)中線性共振頻率從150 kHz變化到200 kHz。

3.2.1 單頻激勵

本文所使用的單頻連續(xù)信號的表達形式為s(t)=p1sin(ω1t),其中ω1=2πf1。p1為振幅,f1是信號頻率。

使激勵頻率f1以線性時該介質(zhì)的共振頻率fL為中心進行掃頻,通過傅里葉變換從各個頻率分量中提取出f1分量并讀取幅值,記為pf。記錄pf隨f1的變化情況并繪制曲線,找到其中的最大值所對應(yīng)的頻率,即為此時介質(zhì)的非線性共振頻率,記為fN。

在計算過程中,為保持差分方程組的解是收斂且穩(wěn)定的,應(yīng)滿足Courant穩(wěn)定性條件[23]：

(13)

式中:Δt為時間離散間隔;Δx、Δy、Δz為空間離散間隔。

在每組計算過程中,均使激勵振幅從p1=100 Pa變化到p1=700 Pa,間隔為Δp=100 Pa,所得到的結(jié)果如圖6所示。

圖6 Ng=2×1011/m3,R0g=4.5×10-6 m3時單頻聲波激勵下介質(zhì)中的軟化

圖6展示了在單頻聲波激勵時,不同長度的介質(zhì)中共振頻率隨激勵振幅的變化情況。在單頻聲波的激勵下,隨著激勵振幅的增加,介質(zhì)的共振頻率有向下移動的趨勢,這說明此時含氣泡水介質(zhì)中發(fā)生了聲學(xué)軟化。含氣泡水介質(zhì)的共振明顯依賴于壓力振幅,具有與巖石等粒狀介質(zhì)相似的軟化性質(zhì)。在低振幅時,介質(zhì)的共振曲線具有對稱性,且未出現(xiàn)共振頻移現(xiàn)象;當(dāng)振源振幅增加時,介質(zhì)的共振頻率逐漸降低,即存在非線性頻移。且激勵振幅越高,非線性頻移量越大,即介質(zhì)的軟化效應(yīng)越強。

同時,當(dāng)介質(zhì)發(fā)生非線性共振時,介質(zhì)中測得的f1分量的振幅增強,說明當(dāng)介質(zhì)發(fā)生軟化時,聲波與氣泡之間的相互作用增強,氣泡受到激勵產(chǎn)生較強的非線性效應(yīng),使介質(zhì)中的振幅響應(yīng)增大。

3.2.2 雙頻激勵

本節(jié)數(shù)值仿真中所使用的激勵信號表達形式為s(t)=p1sin(ω1t)+p2sin(ω2t),即雙頻連續(xù)波。p1和p2為振幅,f1和f2是信號頻率,其中ω1=2πf1,ω2=2πf2。與單頻波激勵時相同,分別進行4組仿真計算,在每組計算過程中,介質(zhì)長度保持不變,使激勵聲源產(chǎn)生的和頻聲波的頻率fh以線性時該介質(zhì)的共振頻率fhL為中心進行掃頻。在掃頻過程中,保持f1不變,使f2圍繞表1和表2中相應(yīng)的數(shù)值變化。

令雙頻聲源的振幅從p1=p2=1 kPa變化到p1=p2=7 kPa,記錄fh變化時和頻聲波的幅值,記為ph,并繪制ph隨fh的變化情況,找到其中的最大值所對應(yīng)的和頻頻率,即為此時介質(zhì)的非線性共振頻率fhN。

如圖7所示,當(dāng)介質(zhì)受到雙頻聲波激勵時,含氣泡水介質(zhì)的共振頻率降低,介質(zhì)發(fā)生軟化。與單頻聲波激勵時相似,在低振幅時,介質(zhì)的共振曲線具有對稱性,且未出現(xiàn)共振頻移現(xiàn)象。當(dāng)振源振幅增加時,介質(zhì)的共振頻率逐漸降低,即存在非線性頻移。

圖7 Ng=2×1011/m3,R0g=4.5×10-6 m3時雙頻聲波激勵下介質(zhì)中的軟化

綜合圖6和圖7進行分析得知,在單頻波和雙頻波激勵下,介質(zhì)中均可產(chǎn)生軟化現(xiàn)象。并且與單頻聲波激勵時相比,在雙頻聲波激勵時,想要介質(zhì)發(fā)生軟化,需要更高的振幅激勵,且介質(zhì)共振頻率的偏移量較低,軟化效應(yīng)較弱。這是因為2列聲波在通過非線性效應(yīng)產(chǎn)生和頻聲波時能量有一部分損失,使和頻聲波獲得的能量降低,對氣泡的激勵作用較弱。

此外,單頻激勵時,介質(zhì)內(nèi)的聲壓響應(yīng)幅值比雙頻激勵時的幅值高,是因為沿聲波傳播方向上的介質(zhì)長度僅有半波長,雙頻激勵時2列聲波產(chǎn)生的和頻聲波傳播的距離過短,能量沒有得到積累。

3.3 氣泡體積對介質(zhì)軟化的影響

由于含氣泡水介質(zhì)中的軟化現(xiàn)象是基于多重散射理論時觀察到的一種非線性效應(yīng),所以氣泡的體積和氣泡密度是影響介質(zhì)軟化的一種重要因素。文獻[19]僅在一維條件下指出了介質(zhì)的聲學(xué)軟化源于氣泡平均體積的變化,但并未驗證在相同激勵條件下,氣泡初始體積不同的介質(zhì)中軟化效應(yīng)的差異。本文將其擴展到三維情況,并考慮了以下4個不同的氣泡體積:R0g=4.5×10-6m3,R0g=5×10-6m3,R0g=8×10-6m3以及R0g=10-5m3。單位體積介質(zhì)中氣泡數(shù)目均為2×1011/m3。令以上介質(zhì)在線性條件下的共振頻率fL分別為50、60、80和100 kHz,采用3.2節(jié)中的方法,對4種條件下介質(zhì)中的非線性共振頻率進行計算。

在某一振幅激勵下介質(zhì)中軟化效應(yīng)的強弱可以用表達式衡量:

S=Δf/fL

(14)

式中:Δf=fL-fN;fN為介質(zhì)在該振幅激勵下實際的非線性共振頻率。

依據(jù)式(14),對不同激勵頻率下介質(zhì)的軟化程度進行計算并繪制圖像,如圖8所示。

圖8 單頻聲波激勵下不同氣泡體積的介質(zhì)中的軟化程度

由圖8可知,在單頻聲波激勵下,氣泡體積會影響介質(zhì)的軟化程度。在相同振幅的聲波激勵下,氣泡體積較大的介質(zhì)的軟化程度更高。

此外,與圖8對比,圖9中4條曲線的變化趨勢存在較大差異,且隨著激勵振幅的增加,這種差異越來越明顯,這說明在雙頻聲波激勵時,介質(zhì)中的軟化程度更容易受到氣泡體積變化的影響。并且在雙頻聲波激勵時,曲線的斜率隨振幅的增加而迅速增大,而單頻聲波激勵時則與之相反,曲線的斜率隨著振幅的增加而減小,這說明在雙頻聲波激勵時,介質(zhì)的軟化更依賴于振幅的變化。

圖9 雙頻聲波激勵下不同氣泡體積的介質(zhì)中的軟化程度

3.4 軟化時介質(zhì)中的聲場

由3.2節(jié)可知,當(dāng)受到聲波激勵時,含氣泡水介質(zhì)會發(fā)生軟化。為了研究介質(zhì)的軟化對聲波傳播的影響,對含氣泡水介質(zhì)中的聲場進行分析。

對于單頻波激勵,令激勵聲波的振幅為700 Pa,氣泡體積R0g=4.5×10-6m3,單位體積介質(zhì)中的氣泡數(shù)目為2×1011/m3,分別計算不同長度的介質(zhì)中的聲場,如圖10所示。其中fL是線性假設(shè)時介質(zhì)中的共振頻率,fN是軟化條件下介質(zhì)中實際的共振頻率。圖11為雙頻聲波激勵時介質(zhì)中的聲場。

圖11 雙頻聲波激勵時介質(zhì)中的聲場

由圖10可知,當(dāng)單頻聲波激勵時,介質(zhì)發(fā)生聲學(xué)軟化,共振頻率偏移,與線性條件下介質(zhì)的共振頻率相比,非線性共振頻率在介質(zhì)中的聲壓振幅響應(yīng)有較大程度的增加,由此得到啟發(fā),可以考慮利用介質(zhì)的非線性聲學(xué)軟化現(xiàn)象改變介質(zhì)的聲學(xué)特性,以提高介質(zhì)中的振幅響應(yīng)。

圖11是雙頻聲波激勵下軟化介質(zhì)中的聲場,其中激勵聲波振幅為p1=p2=7 kPa,氣泡體積R0g=4.5×10-6m3,單位體積介質(zhì)中氣泡數(shù)目為2×1011/m3。

由圖11可知,當(dāng)介質(zhì)發(fā)生軟化時,和頻分量的幅值比2個聲源的幅值高,說明在非線性條件下,可以獲得比源信號幅度更高的和頻分量。這一現(xiàn)象可以用作非線性頻率混合,來獲得更高振幅的信號。此外,和頻分量在介質(zhì)中處于共振狀態(tài),而源信號的幅值隨著距離的增加逐漸減小,這表明在聲波與氣泡的非線性作用過程中,源信號的能量被轉(zhuǎn)移到和頻分量上,以使和頻分量有較大的能量來激勵氣泡。可以將這種現(xiàn)象利用在參量接收陣中,將湮沒在環(huán)境噪聲中的低頻聲波的能量轉(zhuǎn)移到高頻信號上,增強接收信號的強度。

4 結(jié)論

1)當(dāng)用單頻聲源和雙頻聲源作為激勵時,在聲波傳播方向上,長度為半波長的含氣泡水介質(zhì)中均會產(chǎn)生軟化現(xiàn)象,聲學(xué)特性發(fā)生改變,具體表現(xiàn)為介質(zhì)的共振頻率降低,且共振時聲波的振幅均大于激勵聲波的振幅;

2)含氣泡水介質(zhì)的非線性共振頻移與振源的振幅有關(guān),并且在一定范圍內(nèi),隨著振幅的增大,介質(zhì)的軟化效應(yīng)增強,非線性頻移現(xiàn)象也隨之更加明顯;

3)介質(zhì)軟化效應(yīng)的產(chǎn)生源于氣泡平均體積的變化。隨著激勵振幅的增大,氣泡振動處于非線性狀態(tài),氣泡膨脹的體積大于氣泡壓縮的體積,因此達到新的平衡時氣泡平均體積增大,介質(zhì)的孔隙率和氣泡的可壓縮性增大,從而增強介質(zhì)的非線性,使介質(zhì)發(fā)生軟化;

4)在其他條件相同時,氣泡體積越大,介質(zhì)中的軟化現(xiàn)象越明顯;與單頻聲波激勵時相比,在雙頻聲波激勵時,介質(zhì)中的軟化程度更容易受到氣泡體積變化的影響,并更依賴于振幅的變化。

本文的研究結(jié)果表明,含氣泡的水介質(zhì)中具有與巖石砂礫等固體顆粒介質(zhì)相似的軟化現(xiàn)象,對該現(xiàn)象的研究有助于更好地理解聲波與氣泡的相互作用規(guī)律以及氣泡在聲場中的非線性動力學(xué)行為。可以考慮將這種性質(zhì)應(yīng)用到非線性超材料的設(shè)計中,以提高參量陣聲發(fā)射和接收效率。