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        高中數(shù)學(xué)函數(shù)易錯(cuò)題分析

        2023-09-26 03:26:18河南省許昌高級(jí)中學(xué)郭曼曼
        關(guān)鍵詞:錯(cuò)因奇偶性值域

        ■河南省許昌高級(jí)中學(xué) 郭曼曼

        函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn),也是難點(diǎn)。學(xué)好函數(shù)是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的前提,那么如何更好地學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)呢? 對(duì)同學(xué)們的易錯(cuò)題進(jìn)行分析是一個(gè)有效的途徑。本文結(jié)合實(shí)踐,分析同學(xué)們?cè)诮鉀Q函數(shù)問題過程中經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤,歸納了錯(cuò)誤類型,并且就每種錯(cuò)誤類型給出了相應(yīng)的例題、錯(cuò)誤解法,重點(diǎn)分析了錯(cuò)解原因,最后給出了正確解法。

        易錯(cuò)點(diǎn)一、判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)忽視定義域而致錯(cuò)

        錯(cuò)因分析:函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,因此,在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí),一定要先研究函數(shù)的定義域。

        易錯(cuò)點(diǎn)二、求函數(shù)定義域時(shí)條件考慮不充分而致錯(cuò)

        例2求函數(shù)y=+(x+1)0的定義域。

        錯(cuò)解:由題意得3-2x-x2>0,解得-3<x<1,所以原函數(shù)的定義域?yàn)閇-3,1]。

        錯(cuò)因分析:誤以為(x+1)0對(duì)任意實(shí)數(shù)成立。

        易錯(cuò)點(diǎn)三、忽視內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域而致錯(cuò)

        例3已知函數(shù)f(x)=log3x+2,x∈[1,9],求函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域。

        錯(cuò)解:因?yàn)閒(x)的值域?yàn)閇2,4],所以函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域?yàn)閇6,22]。

        錯(cuò)因分析:求函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的定義域時(shí),應(yīng)考慮

        正解:因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇1,9],所以函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的定義域?yàn)閇1,3]。設(shè)t=log3x,因?yàn)閤∈[1,3],所以t∈[0,1],由于y=t2+6t+6,t∈[0,1],所以函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域?yàn)閇6,13]。

        易錯(cuò)點(diǎn)四、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)忽視定義域而致錯(cuò)

        易錯(cuò)點(diǎn)五、忽略含參函數(shù)的分類討論而致錯(cuò)

        例5若函數(shù)f(x)=ax2-x+1-a(a∈R)在[0,2]上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____。

        錯(cuò)解:由函數(shù)f(x)=ax2-x+1-a在[0,2]上是單調(diào)函數(shù),則有<0或≥2,解得0<a≤或a<0。

        錯(cuò)因分析:函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)a,求解時(shí)應(yīng)根據(jù)a是否等于0 分類討論,錯(cuò)解中忽視對(duì)a=0 的討論。若a=0,則函數(shù)為y=-x+1,在R上是單調(diào)函數(shù),滿足題意。

        正解:當(dāng)a=0 時(shí),函數(shù)y=-x+1 在[0,2]上顯然是單調(diào)函數(shù);當(dāng)a≠0時(shí),要使函數(shù)f(x)=ax2-x+1-a在[0,2]上是單調(diào)函數(shù),則有<0或≥2,解得0<a≤或a<0。綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為。

        易錯(cuò)點(diǎn)六、忽略分段函數(shù)的分界點(diǎn)而致錯(cuò)

        錯(cuò)因分析:上述錯(cuò)解只考慮到使得每段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為增函數(shù)的條件,實(shí)際上函數(shù)在R上為增函數(shù),還需要使得f(x)=(1-2a)x+3a在x≥-1上的最小值不小于f(x)=a-x在x<-1上的最大值。多數(shù)同學(xué)由于漏掉這一限制條件而出錯(cuò)。

        本文從以上六個(gè)方面分析了同學(xué)們?cè)诮鉀Q函數(shù)問題過程中出錯(cuò)的原因,那么我們?nèi)绾巫霾拍鼙苊饣蛘邷p少出錯(cuò)呢?

        (1)重視概念的理解。要深刻領(lǐng)悟概念的內(nèi)涵和外延,熟悉函數(shù)的各種性質(zhì),注意函數(shù)性質(zhì)使用的限制條件。

        (2)計(jì)算時(shí)要耐心,更要細(xì)心。一些問題需要較大的計(jì)算量,不可半途而廢,更不可望而卻步,要多加練習(xí)提升自己的熟練度。還有一些問題的計(jì)算量不大但是需要同學(xué)們細(xì)心,審清題意,不可操之過急。

        (3)重視數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用。函數(shù)的很多問題可以通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成圖像問題,從而化繁為簡(jiǎn)解決問題。

        (4)建立并正確使用錯(cuò)題集。對(duì)于錯(cuò)題分類收錄,定期復(fù)習(xí),找類似題目重做,通過相互交流達(dá)到對(duì)題目更深刻的理解。

        心理學(xué)家桑代克說:“學(xué)習(xí)的過程是一種漸進(jìn)式嘗試錯(cuò)誤的過程。”沒有錯(cuò)誤就不可能有進(jìn)步,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,勇于面對(duì)數(shù)學(xué)中的錯(cuò)誤,勇于解決數(shù)學(xué)中的錯(cuò)誤,錯(cuò)誤就是我們的財(cái)富。

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