■山西省平定縣第一中學(xué)校 李海明 李素波

在高中階段,我們除了要研究連續(xù)性函數(shù)的最值,還經(jīng)常會(huì)遇到一些離散型函數(shù)的最值問題,比如數(shù)列中的最值、二項(xiàng)展開式中系數(shù)的最值,以及一些離散型隨機(jī)變量(超幾何分布、二項(xiàng)分布)的概率的最值等。下面我們結(jié)合具體例子,來體會(huì)相鄰兩項(xiàng)作商思想在解決這些問題中的作用。

一、數(shù)列中的最值

例1若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng),求k的值。

因?yàn)閚∈N*,所以當(dāng)2≤n≤4 時(shí),an＞an-1;當(dāng)n≥5時(shí),an＜an-1,即有a1＜a2＜a3＜a4＞a5＞a6＞…,則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a4,故k=4。

評(píng)注:這里運(yùn)用了相鄰兩項(xiàng)作商比較的方法,來判斷數(shù)列{an}中的相鄰兩項(xiàng)an與an-1(n≥2)之間的大小關(guān)系,從而確定了數(shù)列的單調(diào)性,解決了數(shù)列的最值問題。當(dāng)然也可以使用作差法,這里不再贅述。

二、二項(xiàng)展開式中系數(shù)的最值

例2已知的展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大。求:

(1)該展開式中所有有理數(shù)的項(xiàng)數(shù);

(2)該展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。

評(píng)注:這里雖然知識(shí)背景換成了二項(xiàng)式定理,然而其展開式的各系數(shù)實(shí)質(zhì)上依次構(gòu)成了一個(gè)含有11項(xiàng)的有窮數(shù)列,仍然采用了作商法,解決其系數(shù)的最大值,進(jìn)而求出系數(shù)最大的項(xiàng)。

三、超幾何分布中的概率最值

例3(2023 年四省聯(lián)考第20 題)一個(gè)池塘里的魚的數(shù)目記為N,從池塘里撈出200尾魚,并給魚作上標(biāo)識(shí),然后把魚放回池塘里,過一小段時(shí)間后再從池塘里撈出500尾魚,X表示撈出的500 尾魚中有標(biāo)識(shí)的魚的數(shù)目。

(1)若N=5 000,求X的數(shù)學(xué)期望;

(2)已知撈出的500 尾魚中15 尾有標(biāo)識(shí),試給出N的估計(jì)值(以使得P(X=15)最大的N的值作為N的估計(jì)值)。

解析：依題意,X服從超幾何分布,其中N=5 000,M=200,n=500。

(2)由N≥500且N-200≥485,可得N≥685。

所以當(dāng)N＜685時(shí),P(X=15)=0;

四、二項(xiàng)分布中的概率最值

例4(2023 屆山東省高三第三次學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測第20題)某藥廠研制了治療某種疾病的新藥,該藥的治愈率為p,現(xiàn)用該藥給10位病人治療,記被治愈的人數(shù)為X。

(1)若X=8,從這10人中隨機(jī)選2人進(jìn)行用藥訪談,求被選中的治愈人數(shù)Y的分布列;

(2)已知p∈(0.75,0.85),集合A={k|概率P(X=k)最大},且A中僅有兩個(gè)元素,求E(X)。

分析：本題第(1)問考查超幾何分布,與本文無關(guān),下面僅分析第(2)問。

在涉及指數(shù)、階乘、排列組合相關(guān)的問題時(shí),相鄰兩項(xiàng)作商比較的方法要比作差更方便。同學(xué)們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)階段,應(yīng)精選試題,將不同知識(shí)背景下但體現(xiàn)同一思想方法的內(nèi)容對(duì)比學(xué)習(xí),可幫助我們提高解題遷移能力,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。