王靜靜，秦 剛，李騰

（西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，西安 710021）

XGZT-XXX 型姿態(tài)傳感器為西安工業(yè)大學(xué)自主研發(fā)，由MEMS 加速度計(jì)、MEMS 陀螺儀與MEMS傾角傳感器組成，該傳感器具有體積小、成本低、功耗低等優(yōu)點(diǎn)。但由于MEMS 陀螺儀自身輸出噪聲大，且在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中受不可避免的各種復(fù)雜的振動(dòng)、干擾激勵(lì)（如實(shí)驗(yàn)過(guò)程中人員的走動(dòng)、安放不穩(wěn)引起抖動(dòng)等），為了提高系統(tǒng)測(cè)量精度，需要對(duì)其進(jìn)行降噪處理。

對(duì)慣性器件濾波處理，有經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器，慣性器件的噪聲與信號(hào)通常是相互重疊，不適合使用經(jīng)典濾波器（IIR、FIR），可根據(jù)信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行估計(jì)，即現(xiàn)代濾波器[1]?，F(xiàn)代濾波器中常用的方法有卡爾曼濾波、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（empirical mode decomposition，EMD）、小波閾值去噪等[2]。文獻(xiàn)[3]建立了時(shí)間序列模型引入卡爾曼進(jìn)行濾波處理，但缺乏自適應(yīng)性，長(zhǎng)時(shí)間會(huì)導(dǎo)致濾波發(fā)散。文獻(xiàn)[4]中將卡爾曼與小波進(jìn)行了融合，并且對(duì)卡爾曼進(jìn)行了抗野值的優(yōu)化，但是計(jì)算量較大，過(guò)于復(fù)雜，對(duì)主控芯片有一定的要求。文獻(xiàn)[5]提出新的Garrote 型閾值函數(shù)，克服了軟硬閾值函數(shù)的不足，但是函數(shù)需調(diào)節(jié)的參數(shù)較多，難以掌控。文獻(xiàn)[6]提出將卡爾曼與小波模糊閾值進(jìn)行了融合，但卻忽略了陀螺儀的低頻噪聲。針對(duì)以上問(wèn)題，本文采用卡爾曼融合改進(jìn)小波去噪方法，首先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，建立MEMS 陀螺儀的時(shí)間序列模型，輸入卡爾曼濾波器進(jìn)行首次濾波，然后使用改進(jìn)的小波閾值去噪方法進(jìn)行二次濾波，從而完成對(duì)陀螺儀信號(hào)的去噪處理。

1 基于ARMA 的卡爾曼濾波

1.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

為滿足時(shí)間序列模型平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的建模要求，要對(duì)陀螺儀的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理[7]。采用拉伊達(dá)準(zhǔn)則法和最小二乘法進(jìn)行異常值處理與去趨勢(shì)項(xiàng)處理。陀螺儀原始數(shù)據(jù)預(yù)處理后如圖1 所示。

圖1 預(yù)處理前后數(shù)據(jù)對(duì)比圖Fig.1 Data comparison before and after preprocessing

1.2 平穩(wěn)性及正態(tài)性檢驗(yàn)

（1）平穩(wěn)性檢驗(yàn)

利用采用ADF（augmented dickey-fuller test）準(zhǔn)則檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性[8]。使用Matlab 中的adftest 函數(shù)返回值為1，結(jié)果顯示該序列具有平穩(wěn)性。

（2）正態(tài)性檢驗(yàn)

本文采用偏態(tài)系數(shù)ξ 和峰態(tài)v 系數(shù)來(lái)檢測(cè)樣本數(shù)據(jù)的正態(tài)性，公式如下：

當(dāng)ξ≈0、v≈3 時(shí)，可以認(rèn)為x（t）為正態(tài)序列，求得ξ=2.8281，v=0.0018，故該序列滿足建模要求。

1.3 ARMA 模型定階和參數(shù)估計(jì)

MEMS 陀螺儀的ARMA 模型階數(shù)一般不超過(guò)3階，采用赤池信息準(zhǔn)則（akaike information criterion，AIC）和貝葉斯信息準(zhǔn)則（bayesian information criterion，BIC）確定具體的階數(shù)[9]。利用自回歸逼近方法求得AIC 準(zhǔn)則與BIC 準(zhǔn)則檢驗(yàn)結(jié)果如表1 所示。通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)ARMA（1，1）的AIC 和BIC 值小于其他模型，故采用ARMA（1，1），其表達(dá)式為

表1 AIC 準(zhǔn)則與BIC 準(zhǔn)則檢驗(yàn)結(jié)果Tab.1 Test results of AIC criteria and BIC criteria

采用多項(xiàng)式擬合得陀螺儀X 軸的輸出模型：

1.4 卡爾曼濾波器設(shè)計(jì)

離散型線性隨機(jī)系統(tǒng)的方程為

式中：Xk為系統(tǒng)狀態(tài)向量；Zk為測(cè)量序列；Φk，k-1為系統(tǒng)轉(zhuǎn)移矩陣；Γk，k-1為輸入矩陣；Hk為觀測(cè)矩陣；Wk和Vk為系統(tǒng)過(guò)程噪聲序列和觀測(cè)噪聲序列，為均值為零且相互獨(dú)立的高斯白噪聲，它們的協(xié)方差矩陣分別為Qk和Rk，滿足以下特性：

式中：δkj為克羅內(nèi)克爾（kronecker-δ）函數(shù)，其特性是：

則離散型卡爾曼濾波方程為

狀態(tài)一步預(yù)測(cè)方程：

狀態(tài)估計(jì)方程：

濾波增益矩陣：

預(yù)測(cè)誤差方差陣：

估計(jì)誤差方差陣：

通過(guò)以上公式可知，給定X0、P0，根據(jù)觀測(cè)值Zk即可隨時(shí)間循環(huán)更新。

2 小波閾值去噪

小波閾值去噪方法具有快速、簡(jiǎn)單、可操作性高等優(yōu)良特性[10]。基本原理：選擇合適的小波基函數(shù)對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行分解得到一系列小波系數(shù)，通過(guò)閾值和閾值函數(shù)，將高于該閾值的小波系數(shù)進(jìn)行保留或適當(dāng)收縮后保留，低于該閾值的小波系數(shù)歸零，最后選擇不為零的小波系數(shù)重構(gòu)得到去噪后的信號(hào)。

2.1 小波閾值函數(shù)

（1）硬閾值

式中：λ 為閾值；ωj，k為去噪前小波系數(shù)；為去噪后小波系數(shù)。

（2）軟閾值

式中：sgn（）為符號(hào)函數(shù)。

硬閾值函數(shù)存在斷連、不連續(xù)等問(wèn)題，導(dǎo)致濾波后信號(hào)出現(xiàn)震蕩。而軟閾值函數(shù)雖然連續(xù)，卻存在固定的偏差，會(huì)造成濾波不徹底的問(wèn)題。

2.2 小波閾值

目前，常用的閾值估計(jì)方法有固定閾值、極大極小準(zhǔn)則閾值、Stein 無(wú)偏似然閾值等。

（1）固定閾值

固定閾值λ 由Donoho 和Johnstone 提出[11]，表達(dá)式為

式中：σ 為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差；N 為信號(hào)長(zhǎng)度。

（2）Stein 無(wú)偏似然閾值

該方法原理是首先求得給定閾值的似然估計(jì)，然后將非似然的值進(jìn)行最小化，對(duì)應(yīng)的值就是所需要的閾值。

（3）極大極小準(zhǔn)則閾值。

極大極小準(zhǔn)則閾值是一種固定閾值，原理是產(chǎn)生一個(gè)最小均方誤差[11]。表達(dá)式如下：

固定閾值較為絕對(duì)，缺乏靈活性，存在“過(guò)扼殺”的問(wèn)題；極大極小準(zhǔn)則閾值過(guò)于保守，存在“過(guò)保留”的問(wèn)題；無(wú)偏似然閾值對(duì)于低信噪比信號(hào)不適合[12]。

2.3 小波閾值去噪的改進(jìn)方案

2.3.1 基于模糊閾值函數(shù)改進(jìn)的小波閾值去噪

基于以上對(duì)常用的閾值函數(shù)和閾值的不足，本文提出通過(guò)在2 種經(jīng)典閾值和模糊隸屬度函數(shù)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)閾值函數(shù)，對(duì)小于極大極小準(zhǔn)則閾值的小波系數(shù)進(jìn)行去除，大于固定值閾值的小波系數(shù)進(jìn)行保留，在極大極小準(zhǔn)則閾值與固定閾值之間的小波系數(shù)采用模糊隸屬度函數(shù)處理。本文采用升半嶺型模糊隸屬函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪[13-14]，函數(shù)表達(dá)式為

式中：ωj，k為去噪前小波系數(shù)；為去噪后小波系數(shù)；λa為極大極小準(zhǔn)則閾值；λb為固定閾值；μA（ωj，k）為模糊隸屬度函數(shù)。

2.3.2 基于自適應(yīng)小波模糊閾值去噪

由于不同頻帶的噪聲分量的不同，故本文在模糊閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上引入動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)系數(shù)r，提出了一種改進(jìn)的閾值計(jì)算公式：

式中：λa為極大極小準(zhǔn)則閾值；λb為固定閾值。

在小波分析中，信號(hào)相關(guān)度較大的小波系數(shù)相對(duì)比較大，跟噪聲相關(guān)度較小的小波系數(shù)較小[15]。故根據(jù)不同的分解尺度，每一層都選擇相應(yīng)的閾值，實(shí)現(xiàn)分層閾值動(dòng)態(tài)變化。

式中：r 為動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)系數(shù)；j 為分解層數(shù)。

2.3.3 基于LS 改進(jìn)的小波閾值去噪

對(duì)于傳統(tǒng)小波閾值去噪過(guò)程中只處理高頻分量部分，從而忽略了陀螺儀的低頻噪聲的不足。本文將小波分解后的低頻部分采用最小二乘對(duì)陀螺儀低頻部分進(jìn)行平滑濾波，保留原有的信號(hào)趨勢(shì)。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

在仿真實(shí)驗(yàn)中，利用Matlab 軟件生成原始的測(cè)試正弦信號(hào)：x（t）＝2sin（2π f1t+cos（2π f2t））；加入不同的白噪聲序列n（t）[16]，得到不同信噪比的含噪信號(hào)：y（t）=x（t）+n（t）。選取4 dB 小波經(jīng)過(guò)3 尺度分解，不同的濾波方法對(duì)其進(jìn)行處理，引入信噪比和均方差來(lái)反映濾波效果。對(duì)于含噪的信號(hào)，信噪比越大、均方根越小證明去噪效果越好。

如表2 所示為不同方案的信噪比與均方根，圖2 所示為信噪比為4 dB 的信號(hào)濾波結(jié)果，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在不同信噪比下，本文方案的信噪比均大于其他方法，均方誤差均小于其他方法。在信噪比為4 dB 下，改進(jìn)的小波模糊閾值比小波模糊閾值去噪方法信噪比提高了5.143 dB，均方根減少了0.142。本文方案濾波后的信號(hào)更加還原原始信號(hào)。

表2 不同方案的信噪比與均方根Tab.2 SNR and RMSE of different schemes

圖2 信噪比為4 dB 的信號(hào)濾波結(jié)果Fig.2 Signal filtering results with 4 dB SNR

3.2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

將MEMS 陀螺儀靜置于經(jīng)緯儀控制實(shí)驗(yàn)臺(tái)上保持水平，預(yù)熱30 min 后，進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，采樣頻率為200 Hz，選取連續(xù)的2000 個(gè)采樣點(diǎn)作為樣本數(shù)據(jù)，對(duì)其進(jìn)行不同去噪方法實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)采集平臺(tái)如圖3 所示。

圖3 經(jīng)緯儀實(shí)驗(yàn)采集設(shè)備Fig.3 Theodolite experimental acquisition equipment

不同濾波方法的前后對(duì)比圖如圖4 所示，可知本方案處理后的信號(hào)減小了毛刺，振蕩更小，更加平滑。查閱文獻(xiàn)可知，Allan 方差雙對(duì)數(shù)圖可以在時(shí)間頻域上根據(jù)不同噪聲在雙對(duì)數(shù)Allan 方差曲線上的斜率不同來(lái)將各個(gè)噪聲進(jìn)行區(qū)分，因此常用來(lái)識(shí)別陀螺儀的隨機(jī)噪聲分量[15]。故引入Allan 方差對(duì)濾波前后MEMS 陀螺儀噪聲進(jìn)行辨識(shí)，結(jié)果如表3所示。

表3 Allan 方差辨識(shí)濾波前后隨機(jī)噪聲系數(shù)Tab.3 Allan variance identification random noise figure before and after filtering

圖4 不同濾波方法的前后對(duì)比圖Fig.4 Before and after comparison of different filtering methods

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，利用本方案濾波后的量化噪聲、角度隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機(jī)游走及速率斜坡分別減少了63.17%、81.57%、87.59%、81.64%、77.80%，相比于卡爾曼濾波融合小波模糊閾值方法提高了3.82%、6.42%、22.14%、16.39%、10.59%。本文方案的濾波效果明顯減少陀螺儀的隨機(jī)噪聲，相比于傳統(tǒng)方法效果更佳。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)XGZT-XXX 型姿態(tài)傳感器輸出噪聲大、易受復(fù)雜環(huán)境干擾的問(wèn)題，本文采用卡爾曼聯(lián)合改進(jìn)的小波閾值方法進(jìn)行去噪處理，引入Allan 方差、信噪比、均方根對(duì)陀螺儀的噪聲系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所改進(jìn)的方法可以有效減小陀螺儀的噪聲，濾波效果優(yōu)于卡爾曼濾波和小波閾值方法，對(duì)提高XGZT-XXX 型姿態(tài)傳感器的穩(wěn)定性和抗干擾能力具有實(shí)踐意義。