張紅梅, 王 沁, 汪 玲, 董 鑫

(西南交通大學 數(shù)學學院,四川 成都 611756)

0 引言

針對有效市場假說的弊端,PETTER[1]提出了更加符合市場的分形市場假說。分形由單分形發(fā)展到了多重分形,相較于單分形,多重分形具有局部Holder指數(shù)、多重分形譜等特征,能夠對市場進行更加細致的分解。因此,近年來多重分形理論在金融系統(tǒng)領域受到了廣泛的關注。

目前使用最廣泛的分形方法是多重分形消除趨勢波動分析法(MF-DFA)[2]和多重分形消除趨勢交叉相關分析法(MF-DCCA)[3]。HASAN和MOHAMMAD用MF-DFA法分析了亞洲股票市場的特征[4],同時探討了股票市場的量價關系[5],證實了亞洲股票市場的量價之間存在多重分形特征;DEWANDARU等[6]用MF-DFA法制定了有效的投資策略;MENSI等[7]使用MF-DFA和MF-DCCA法分析發(fā)現(xiàn)銀行自身和銀行間均存在多重分形特征;蘇方林等[8]基于MF-DCCA法分析發(fā)現(xiàn)恒生指數(shù)和深圳成指間存在長程相關性。

作為金融市場的典型化特征,好壞消息沖擊對資產價格波動影響的不一致性導致多重分形具有非對稱特征。CAO等[9]提出用非對稱多重分形消除趨勢交叉分析法(MF-ADCCA)來研究多重分形關系的非對稱性。GAJARDO等[10]使用分形方法研究了貨幣匯率、金屬市場、原油市場之間的分形關系,發(fā)現(xiàn)任意兩市場間多重分形關系均存在非對稱性;苑瑩等[11]使用MF-ADCCA法定量研究發(fā)現(xiàn)滬深300股指期現(xiàn)市場間存在非對稱多重分形相關系。CHEN和ZHENG[12]使用MF-ADCCA法分析發(fā)現(xiàn)我國股票市場量價間交叉關系存在非對稱性,且收益率在上漲時的波動總是大于下跌時的波動?？傊?市場間多重分形相關性的非對稱性研究得到了廣泛的關注。

從已有研究可知,國內外學者主要采用MF-ADCCA法度量市場間的非對稱多重分形相關性。該方法存在以下不足:①直接使用原始序列分析,未考慮序列非平穩(wěn)性和異方差性特征的影響。②采用一元線性趨勢來刻畫序列非線性的動態(tài)變化趨勢。③僅僅將市場分為上漲和下跌趨勢來刻畫非對稱多重分形相關性。

為彌補上述不足,本文首先引入高低頻索引值的經驗模態(tài)分解法重構序列,以消除序列非平穩(wěn)性和異方差性特征的影響,其次使用二次函數(shù)刻畫市場的動態(tài)變化趨勢,并首次提出將二次項系數(shù)和一次項系數(shù)作為“正負波動”的代理變量來劃分上漲、振蕩、下跌三種趨勢,從而提出一種新的EMD-MF-DCCA法來度量三種趨勢下的非對稱多重分形相關性。

1 EMD-MF-DCCA方法

考慮到金融時間序列受噪聲的影響,而高低頻索引值的經驗模態(tài)分解法(EMD)重構序列后,可以有效的解決噪聲污染和非平穩(wěn)化等問題。因此,基于高低頻索引值的EMD法和MF-DCCA法,提出使用EMD-MF-ADCCA方法來分析金融市場的非對稱多重分形關系。

1.1 高低頻索引值的EMD法

EMD法[13]依據(jù)數(shù)據(jù)自身的時間尺度特征來進行信號分解,適用于任何信號的分析,因此被廣泛應用于眾多領域中[14]。

設s(t)為初始序列,對序列s(t)進行EMD分解的思路是迭代剔除其上下包絡線均值獲取新的序列,檢驗新的序列是否滿足IMF的兩個條件:序列極值點和零點的個數(shù)相差必須小于或等于1;序列中任意點的上下包絡線均值都為零。

現(xiàn)設原始序列s(t)通過EMD分解后,得到如式(1)所示的n個頻率由高到低的IMF和一個長期趨勢r(t):

(1)

式(1)中,每個IMF都刻畫了序列s(t)在某一特定頻率尺度下的動態(tài)特征。

計算n個IMF和序列s(t)之間的相關系數(shù),并設定相關系數(shù)門限值c,把所有相關系數(shù)大于c的值作為高低頻索引值。將高低頻索引值所對應的IMF和r(t)相加得到重構序列。

1.2 EMD-MF-DCCA法

設{x(1)(t)}和{x(2)(t)}為使用高低頻索引值的EMD法重構的時間序列,t=1,2,…,N,N是時間序列的長度。EMD-MF-DCCA法步驟如下:

1)構造“輪廓線”:

(2)

3)消除輪廓線趨勢。根據(jù)擬合優(yōu)度選擇恰當?shù)亩囗検胶瘮?shù)擬合輪廓線的子區(qū)間,消除趨勢后的序列為:

(3)

其中多項式函數(shù)為:

(4)

k是橫坐標,k=1,2,…,s,m為區(qū)間位置,m=1,2,…,2NS。

4)整體序列的q階矩波動函數(shù)。通過協(xié)方差函數(shù)計算波動函數(shù),公式如下:

(5)

其中協(xié)方差函數(shù)為:

(6)

(7)

6)不同趨勢下的q階矩波動函數(shù)。以{x(1)(t)}市場為例來計算上漲、振蕩、下跌趨勢下的q階矩波動函數(shù):

(8)

(9)

(10)

7)計算多重分形指標。計算不同標度s下的q階矩波動函數(shù),如果存在冪律相關性,則波動函數(shù)和時間標度s之間可如下表示,以整體情況為例(上漲、振蕩、下跌趨勢類似):

Fq(s)～sH(q)

(11)

通過雙對數(shù)線性擬合計算序列的多重分形指標(下面簡稱分形指標),如下:

lnFq(s)=H(q)ln(s)+ln(A)

(12)

其中,H(q)為序列{x(1)(t)}與{x(2)(t)}在整體情況下的分形指標,類似的擬合得到三種趨勢下的分形指標,分別記作H+(q),H～(q),H-(q)。若H(q)隨著q呈非線性變化,說明序列間存在多重分形特征;類似的,也用非線性方法來判斷其他趨勢下的多重分形特征。

8)非對稱性。假設存在d,當q>d時,若H*(q)都小于0.5,則兩市場間在大波動時呈現(xiàn)反持續(xù)性的多重分形特征,反之如果H*(q)都大于0.5,在大波動時呈長呈相關性的多重分形特征。當q

2 實證分析

2.1 數(shù)據(jù)選取與重構

本文選取深圳綜指(SZSC)和上證綜指(SSE)作為滬深股市的代理變量。數(shù)據(jù)樣本時間為2010年1月4日至2020年3月19日,共獲得2418個交易日的收盤價格數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)來源于“通達信”交易軟件。使用高低頻索引值的EMD法對兩指數(shù)進行重構,以此消除序列的非平穩(wěn)性和異方差性。首先用EMD法對兩指數(shù)進行分解,分別得到9個和8個IMF,計算每個IMF和原始序列的相關系數(shù),結果見表1。

表1 IMF與原始序列的相關系數(shù)

取相關系數(shù)門限值c為0.1000,讀表1可知,深圳綜指的高頻部分為IMF3-IMF5,低頻部分為IMF6-IMF9,類似分析上證綜指。將篩選保留的高低頻IMF與趨勢項RES的和作為重構序列,對重構序列在短期、中長期和長期三種時間尺度下的平穩(wěn)性進行檢驗,并與原始序列進行比較,發(fā)現(xiàn)深圳和上證綜指的原始局部短期序列具有非平穩(wěn)性和異方差性,而重構局部短期序列是平穩(wěn)的且不存在異方差性,局部中長期序列仍有同樣的結論。而對于局部長期序列,重構序列能消除異方差性,但不能消除平穩(wěn)性。說明基于EMD的重構法能消除序列在短期和中長期內的平穩(wěn)性和異方差性,而處理長期序列的能力弱一些。

2.2 以深圳綜指的漲跌趨勢分析非對稱多重分形相關性

從2.1節(jié)已經知道,重構序列的短期和中長期局部序列是平穩(wěn)的且不存在異方差性的,所以選取s的范圍為30～80,q的取值范圍為-10～10,步長單位為1,使用EMD-MF-DCCA法計算得到滬深股市間在不同趨勢下的分形指標。

從圖1中可知,分形指標均隨著q呈非線性變化,說明深圳綜指在不同趨勢下時,滬深股市間均存在多重分形特征;當深圳綜指處于上漲期時,分形指標的變化趨勢與下跌期和振蕩期的變化趨勢截然不同,上漲時期滬深股市間的分形指標先下降后上升再下降,呈現(xiàn)出一種在均值上下來回波動的現(xiàn)象;而下跌期和振蕩期的分形指標一直呈下降趨勢,但振蕩期的變化趨勢比下跌期的更弱,說明在不同趨勢下,滬深股市間的多重分形強度變化趨勢不同,存在非對稱性。

圖1 深圳綜指不同趨勢下滬深股市間的分形指標圖

從表2可知,在振蕩時期,當q<4時分形指標大于0.5,當q>4時分形指標小于0.5,說明兩指數(shù)間在小波動時存在長呈相關性的分形特征,大波動時具有反持續(xù)性的分形特征;在下跌時期,兩指數(shù)間在不同波動幅度下的多重分形特征與振蕩趨勢一樣;在上漲時期,q>0時分形指標全大于0.5,而q<0時分形指標既有大于0.5的,也有小于0.5的,說明滬深股市間在上漲趨勢下存在時變波動的多重分形特征。綜上所述,當深圳綜指處于上漲、振蕩、下跌不同趨勢時,滬深股市間呈現(xiàn)非對稱多重分形特征。

表2 深圳綜指不同趨勢下滬深股市間的分形指標

2.3 不同趨勢下滬深股市間的多重分形

從圖2中可知,在上漲時期,滬深股市間的分形指標在均值附近來回波動,形態(tài)相似,均呈時變波動的特征。在振蕩期時,滬深股市間的分形指標均單調遞減,當上證綜指處于振蕩期時,滬深股市間分形指標的變化趨勢更劇烈。在下跌期時,滬深股市間的分形指標均單調遞減,當q<0以深圳綜指下跌趨勢探討時,滬深股市間分形指標的變化趨勢更劇烈,q>0時,變化趨勢相似。

(a)上漲趨勢 (b)振蕩趨勢 (c)下跌趨勢圖2 不同趨勢下滬深股市間的分形指標圖

總之,無論是在何種漲跌趨勢下,滬深股市間存在非對稱多重分形關系。且在振蕩和下跌趨勢下,滬深股市在小波動時表現(xiàn)出長呈相關性的多重分形關系,在大波動時存在反持續(xù)性的多重分形特征,而在上漲趨勢時,具有時變波動的多重分形特性。

3 方法對比

為檢驗EMD-MF-DCCA方法的優(yōu)越性,本文將其與傳統(tǒng)MF-ADCCA進行對比分析。以深圳綜指的漲跌趨勢為例分析兩指數(shù)間的多重分形關系,從表3可知,在上漲趨勢時,EMD-MF-DCCA法得到的值H(q)和均值都比MF-ADCCA法的大,說明MF-ADCCA法低估了上漲趨勢下的多重分形強度;在下跌趨勢時,EMD-MF-DCCA法得到的H(q)值和均值都比MF-ADCCA法的小,說明MF-ADCCA法高估了下跌趨勢下的多重分形強度。

表3 兩種不同方法下滬深指數(shù)間交叉關系的Hurst指數(shù)

為進一步證實上述現(xiàn)象的普遍性,將總體樣本區(qū)間分成三個樣本區(qū)間進行分析,樣本區(qū)間段為:2010年1月至2013年12月,2014年1月至2017年12月,2018年1月至2020年3月。

從表4的結果可知,在不同時間樣本區(qū)間內,MF-ADCCA法低估了上漲趨勢下的多重分形強度。類似的分析下跌趨勢,可得到同表3一樣的結論。這是因為MF-ADCCA方法在研究分形特征時,忽略了序列外部噪聲的影響,且只考慮了市場具有上漲和下跌兩種趨勢,這導致在使用MF-ADCCA法研究市場特征時,會出現(xiàn)對上漲時期信息捕捉不足、對下跌時期給予過多信息的現(xiàn)象,從而出現(xiàn)低估上漲時期分形強度和高估下跌時期分形強度的情況。

表4 上漲趨勢下不同時間段內交叉關系的Hurst指數(shù)

4 結論

本文運用高低頻索引值的EMD法對序列進行重構,并基于重構序列提出EMD-MF-DCCA方法,從整體、上漲、振蕩、下跌三種趨勢下分析序列間的非對稱多重分形關系。且運用該方法對滬深股市進行了實證分析,并通過與傳統(tǒng)方法對比證實了EMD-MF-DCCA方法的優(yōu)越性。雖然本文只對滬深股票市場進行了實證檢驗,但是該模型理論上能適用于任何一個具有分形特征的市場。

與經典的MF-ADCCA法[10-12]相比,本文所提出的EMD-MF-DCCA方法首次提出從上漲、振蕩、下跌三種趨勢下來分析市場的分形特征。另外,在刻畫市場的非對稱多重分形關系時,同時考慮了市場在大小不同波動時的非對稱性特征。從實證部分的結果也可以看見,MF-ADCCA法低估了上漲趨勢下的多重分形強度,高估了下跌趨勢下的多重分形強度,而EMD-MF-DCCA的提出能彌補MF-ADCCA法的不足。除此外,EMD-MF-DCCA法還能夠提供更多不同趨勢下的分形參數(shù),而這些分形參數(shù)是刻畫市場間關系的重要工具,因此該方法的提出具有重要的意義,能為深入研究市場間復雜的非線性依賴關系提供合理的建議。