單海洋 李春林 郭 文 張兆健 沈自才

（1 北京空間機(jī)電研究所，北京 100094）

（2 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094）

0 引言

宇航材料光學(xué)元件，例如空間相機(jī)反射鏡，由于受航天材料尺寸和質(zhì)量的限制，材料有效口徑很大，光學(xué)元件邊緣留量很小，對(duì)于光學(xué)加工邊緣效應(yīng)更為突出。邊緣效應(yīng)在很多光學(xué)制造方法中非常普遍，其控制技術(shù)已成為最困難的加工技術(shù)因素之一［1-4］。邊緣效應(yīng)引起的光學(xué)元件面形誤差，很大程度上影響加工效率、精度和性能。

先進(jìn)的計(jì)算機(jī)控制光學(xué)表面成型技術(shù)（CCOS）［5-6］具有優(yōu)異的控制材料去除能力，基于數(shù)控技術(shù)，通過控制加工工具在工件表面的駐留時(shí)間達(dá)到目標(biāo)去除量，更改工具在工件表面的平移速度實(shí)現(xiàn)駐留時(shí)間函數(shù)的調(diào)整。在CCOS加工過程中往往設(shè)定一個(gè)恒定的加工工具去除函數(shù)［7-8］，利用面形誤差的去卷積函數(shù)計(jì)算加工駐留時(shí)間。但是當(dāng)加工工具壓力盤在工件表面邊緣時(shí)，去除函數(shù)將變得不穩(wěn)定，不再是一個(gè)恒定值。為了更好地研究加工工具在工件表面邊緣的去除函數(shù)發(fā)展了很多理論研究。JONES［9］在1986年形成一個(gè)線性壓力模型，然而這個(gè)線性模型不能非常吻合壓力分布，尤其在接近邊緣位置。LUNA-AGUILAR 等［10］和CORDERO-DAVILA等［11］提出皮膚模型，認(rèn)為存在兩個(gè)不同的壓力區(qū)域：在接觸面存在一個(gè)高壓區(qū)和低壓區(qū)。然而他們沒有通過實(shí)驗(yàn)證據(jù)證明報(bào)道模型的正確性。結(jié)合這兩個(gè)模型，HAN等［12］提出一種恒定線性模型，將接觸區(qū)域分為兩部分：恒定壓力區(qū)域和線性區(qū)域。KIM等［2］提出一種基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的參數(shù)模型，而不是將邊緣效應(yīng)歸為某一種壓力分析模型。LIU［3］、NAM［13］和WAN［14］等基于有限元分析軟件提出對(duì)于不同工具盤的壓力模型。這些模型中工具盤影響模型的計(jì)算非常耗時(shí)。在所有發(fā)展模型中，都將壓力作為一個(gè)基本參量，進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理，沒有根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行詳細(xì)計(jì)算，并且沒有考慮接觸面積磨削時(shí)間等加工實(shí)際參量。

本文根據(jù)Preston方程假設(shè)，將邊緣效應(yīng)與工具盤和工件接觸面積關(guān)聯(lián)，基于邊緣位置接觸面積不同引起的壓力明顯變化，求解加工工件各點(diǎn)磨削面積、磨削時(shí)間，分析磨削去量發(fā)生的明顯變化?；贑COS思想，研發(fā)數(shù)控單軸機(jī)床，提出母線點(diǎn)位去除函數(shù)模型，求解工件邊緣點(diǎn)位工具盤壓力和磨削時(shí)間。實(shí)驗(yàn)中，首先求解Preston方程比例系數(shù)k，然后根據(jù)k值，求解工件邊緣理論去除量，通過理論模擬與實(shí)際加工結(jié)果比對(duì)，驗(yàn)證模型準(zhǔn)確性。

1 數(shù)控單軸機(jī)構(gòu)造

小工具盤拋光是一種確定性的光學(xué)元件加工方法，在拋光過程中使用計(jì)算機(jī)數(shù)控技術(shù)對(duì)拋光工具的加工參數(shù)和駐留時(shí)間進(jìn)行精確控制。

進(jìn)行光學(xué)加工的工具盤一般采用平轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方式，帶有一定偏心圓形轉(zhuǎn)動(dòng)同時(shí)，在鏡面平動(dòng)。在加工鏡面邊緣時(shí)，由于壓力的存在，工具中心不能超出鏡面邊緣，否則工具就會(huì)掉到鏡子外面而且無法再回來。在速度快或者壓力大的情況下這個(gè)動(dòng)作還會(huì)造成鏡邊損壞，因此是十分危險(xiǎn)的?，F(xiàn)實(shí)中往往會(huì)保證工具中心不出鏡面邊緣而在加工路徑規(guī)劃時(shí)對(duì)邊緣保留一段距離，如圖1所示，不可避免地造成邊緣區(qū)域過少加工或者加工不到，造成“翹邊”現(xiàn)象。鏡面邊緣本身未能加工到，這就是所謂的“邊緣問題”［15］。

圖1 小工具盤加工軌跡設(shè)置Fig.1 The track setting of small tool disk processing

通過對(duì)傳統(tǒng)單軸機(jī)進(jìn)行改造，將擺動(dòng)工作臂設(shè)計(jì)成數(shù)控平移臂，如圖2所示。

圖2 數(shù)控單軸機(jī)構(gòu)造示意圖Fig.2 Schematic diagram of CNC single shaft machine

數(shù)控單軸機(jī)加工時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)和數(shù)控平移臂一維移動(dòng)，工具盤相對(duì)于工件軸向和徑向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)工具盤自轉(zhuǎn)。在這個(gè)過程中，工具盤露邊量調(diào)節(jié)度相對(duì)機(jī)械手偏心結(jié)構(gòu)工具盤更大，并且露邊工具盤壓力恒定。相對(duì)機(jī)械手研磨和拋光過程形成翹邊面形結(jié)構(gòu)，數(shù)控單軸機(jī)還可以形成面形塌邊結(jié)構(gòu)，更加有利于反射鏡工件邊緣的環(huán)帶誤差修正。

2 理論模型

根據(jù)Preston 理論，光學(xué)加工過程中，當(dāng)材料和環(huán)境一定時(shí)，去除量只跟接觸面上的壓強(qiáng)、工具盤相對(duì)工件鏡面的移動(dòng)速度和加工時(shí)間三者有關(guān)。因此在材料和環(huán)境不變以及壓強(qiáng)、相對(duì)速度一致的條件下，通過控制加工時(shí)間就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)去除量的控制，從而達(dá)到要求的加工面形精度。

2.1 工具盤露邊壓力計(jì)算

圖3 為工件與工具盤位置關(guān)系圖，為了便于觀察，適當(dāng)調(diào)整圖中工具盤相對(duì)工件的大小（下同），工具盤位于工件邊緣位置，用不同字母標(biāo)注距離、尺寸和位置大小關(guān)系，工具盤中心距離工件中心距離為xtc，工件半徑為a，工具盤半徑為b，工具盤邊緣與工件邊緣距離為露邊量d，在工件坐標(biāo)系中，工具盤邊緣與工件邊緣相交兩點(diǎn)中心坐標(biāo)為（x0，0），上部交點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），加工過程施加外力為F。定義工具盤和工件重疊部分為工具盤對(duì)工件作用面積，標(biāo)記為I，通過積分求解，工具盤作用面積I如下：

圖3 工件與工具盤位置關(guān)系圖Fig.3 Position diagram of workpiece and tool pad

積分得到：

工具盤與工件作用壓力P為：

以工件半徑a為150 mm，工具盤半徑b為20 mm，施加外力F為20 N作為實(shí)例，模擬壓力P與露邊量d關(guān)系，如圖4所示。發(fā)現(xiàn)隨著工具盤在工件邊緣露邊量增加，工具盤與工件間壓力呈指數(shù)級(jí)增長。這表明當(dāng)工具盤在工件徑向方向處于邊緣位置時(shí)，需要根據(jù)露邊量引起的壓力變化，調(diào)整去除函數(shù)數(shù)值。

圖4 壓力與露邊量關(guān)系圖Fig.4 Diagram of pressure and edge exposure

2.2 工具盤速度模擬計(jì)算

圖5 中ω1和ω2分別為工件和工具盤轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，O1和O2分別為工件和工具盤幾何中心，P為工件上任意一點(diǎn)，∠O1PO2=θ0，工件轉(zhuǎn)速V1和工具盤轉(zhuǎn)速V2之間夾角的補(bǔ)角為θ。

圖5 工件與工具盤速度矢量分析Fig.5 Velocity vector analysis of workpiece and tool pad

P點(diǎn)的相對(duì)速度V等于工件轉(zhuǎn)速V1和工具盤轉(zhuǎn)速V2之和，即

應(yīng)用余弦定理，P點(diǎn)的相對(duì)速度大小

繼續(xù)假設(shè)O1P=a，O1O2=b，PO2=c。

根據(jù)幾何關(guān)系圖中θ=π-θ0，所以cosθ=-cosθ0。

在△O1PO2中，應(yīng)用余弦定理，

將公式（9）、（10）帶入公式（8），得到P點(diǎn)的相對(duì)速度數(shù)值為：

由于P點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中a和b保持不變，c隨時(shí)變化，所以將c繼續(xù)分解。

設(shè)∠PO1O2=α，在△O1PO2中，應(yīng)用余弦定理，

將公式（11）帶入公式（10），得到P點(diǎn)的相對(duì)速度數(shù)值為：

將α=ω1t帶入公式（12），得到：

2.3 工具盤對(duì)應(yīng)工件磨削積分時(shí)間模擬計(jì)算

為了便于分析理解，首先求解工具盤中心點(diǎn)位置固定時(shí)，與工件磨削作用下，工件上單點(diǎn)磨削時(shí)間，然后求解工具盤中心點(diǎn)位置固定時(shí)，與工件磨削作用下，工件上多點(diǎn)磨削時(shí)間，最后求解工具盤中心點(diǎn)位置移動(dòng)時(shí)，即描述數(shù)控單軸機(jī)平移臂帶動(dòng)工具盤平移運(yùn)動(dòng)時(shí)，與工件磨削作用下，工件上多點(diǎn)磨削時(shí)間。

2.3.1 工具盤對(duì)應(yīng)工件上一點(diǎn)磨削積分時(shí)間模擬計(jì)算

圖6 為工件上P點(diǎn)磨削積分時(shí)間分析，工具盤中心點(diǎn)相對(duì)工件徑向距離不變，工具盤和工件繞各自幾何中心轉(zhuǎn)動(dòng)。假定圖6中x和y坐標(biāo)軸位置不變，工件和工具盤相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，ω1和ω2分別為工件和工具盤轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，考慮距O1點(diǎn)為a處一點(diǎn)P，與磨頭工具的相對(duì)作用距離為圓弧，O1P與x軸的夾角為α，O1P′與x軸的夾角為β，建立對(duì)稱坐標(biāo)系令α=β，所以在一個(gè)作用周期內(nèi)，工件上P點(diǎn)與工具盤的相對(duì)作用角度為2α。

圖6 P點(diǎn)磨削積分時(shí)間分析Fig.6 Grinding integral time analysis of P point

根據(jù)圖5速度矢量分析，容易得出P點(diǎn)與P′點(diǎn)速度數(shù)值相等。圖4在工具盤露邊量固定的情況下，壓力恒定。所以可以簡(jiǎn)化圖6 中P點(diǎn)磨削積分時(shí)間分析，減少程序數(shù)據(jù)處理量，只求P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在x坐標(biāo)軸以上部分的磨削時(shí)間對(duì)應(yīng)的積分時(shí)間，然后乘以二倍即可得到總的積分結(jié)果。

在△O1PO2中，假設(shè)O1P=a，O1O2=b，PO2=c，應(yīng)用余弦定理，P點(diǎn)磨削積分時(shí)間為：

2.3.2 工具盤對(duì)應(yīng)工件上三點(diǎn)磨削積分時(shí)間模擬計(jì)算

圖7為工件三點(diǎn)磨削積分時(shí)間分析，工具盤中心點(diǎn)相對(duì)工件徑向距離不變，工具盤和工件繞各自幾何中心轉(zhuǎn)動(dòng)。令工件上一點(diǎn)P與工具盤幾何中心O2位置重合，左右兩點(diǎn)M和N點(diǎn)，距離P點(diǎn)間隔距離為l。假設(shè)O1P=a，O1O2=b，工具盤半徑為c。

圖7 三點(diǎn)磨削積分時(shí)間分析Fig.7 Grinding integral time analysis of three points

按照?qǐng)D7積分時(shí)間計(jì)算分析，得到工件旋轉(zhuǎn)一圈過程中M、P、N三點(diǎn)與工具盤磨削積分時(shí)間tm10、tp10、tn10分別為：

工具盤幾何中心O2駐留P點(diǎn)位置T1時(shí)間內(nèi)，M、P、N三點(diǎn)磨削積分時(shí)間tm1、tp1、tn1分別為：

2.3.3 數(shù)控平移臂移動(dòng)時(shí)工具盤作用工件上三點(diǎn)磨削積分時(shí)間模擬計(jì)算

圖8 為數(shù)控單軸機(jī)平移臂移動(dòng)時(shí)三點(diǎn)磨削積分時(shí)間分析，工具盤中心點(diǎn)相對(duì)工件徑向距離變化，工具盤和工件繞各自幾何中心轉(zhuǎn)動(dòng)。實(shí)際加工時(shí)，單軸機(jī)數(shù)控平移臂逐點(diǎn)平移距離固定，可以看作在工件母線（徑向）方向固定距離點(diǎn)位移動(dòng)和磨削駐留。假設(shè)工具盤圓心O2按照等間距l(xiāng)移動(dòng)，從P點(diǎn)往左朝向工件圓心方向運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)。假設(shè)O1P=a，O1O2=b，工具盤半徑為c。

圖8 運(yùn)動(dòng)情況下三點(diǎn)磨削積分時(shí)間分析Fig.8 Grinding integral time analysis of three points under motion

按照?qǐng)D8積分時(shí)間計(jì)算分析，得到工件旋轉(zhuǎn)一圈過程中M、P、N三點(diǎn)磨削積分時(shí)間tm20、tp20、tn20分別為：

工具盤幾何中心O2駐留M 點(diǎn)位置T2時(shí)間內(nèi)，M、P、N三點(diǎn)磨削積分時(shí)間tm2、tp2、tn2分別為：

利用數(shù)控單軸機(jī)工具盤修磨工件邊緣時(shí)，工具盤點(diǎn)位移動(dòng)距離1～2 mm，點(diǎn)位間平移時(shí)間相對(duì)點(diǎn)位駐留時(shí)間很小，所以其平移磨削影響在此忽略不計(jì)。

在工具盤平移一次位置下，圖中M、P、N三點(diǎn)總的磨削積分時(shí)間分別為：

當(dāng)工具盤平移n點(diǎn)時(shí)，各點(diǎn)總磨削時(shí)間是工具盤在各個(gè)位置點(diǎn)積分時(shí)間的累加。

式中，i為積分時(shí)間次數(shù)，其中為計(jì)算結(jié)果整數(shù)部分，積分時(shí)間次數(shù)i，由幾何關(guān)系可以算出。

同樣道理，可求解工具盤在工件邊緣移動(dòng)超過三點(diǎn)位置時(shí)各點(diǎn)位的總磨削時(shí)間。工具盤在平移過程中，覆蓋工件面積不斷更新，不斷覆蓋工件內(nèi)圓表面點(diǎn)，工件外圓表面點(diǎn)不斷移出工具盤覆蓋面積。

求解出P、V以及積分時(shí)間t情況下，最后根據(jù)Preston 方程，如公式（34）所示，求出加工過程中工件上每點(diǎn)的磨削去量：

每點(diǎn)位置固定時(shí)，以M點(diǎn)為例，壓力P是已知的，v是時(shí)間t的函數(shù)，其磨削去量為：

加工過程中，數(shù)控平移臂移動(dòng)時(shí)，M點(diǎn)總的去除量累加為：

利用公式（38），編寫程序軟件算法，求解工件邊緣點(diǎn)的磨削去量，進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真預(yù)測(cè)，指導(dǎo)加工工藝參數(shù)調(diào)整。

3 某型號(hào)反射鏡數(shù)控單軸機(jī)修邊仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.1 非球面反射鏡技術(shù)參數(shù)

在某一型號(hào)反射鏡產(chǎn)品上開展實(shí)驗(yàn)，該反射鏡為二次曲面，曲面方程如下：

式中，r2=x2+y2；c=1/R，非球面頂點(diǎn)曲率半徑R為-1 601.02±1；二次非球面系數(shù)k為-0.976 8±0.000 3。

非球面反射鏡的材質(zhì)為ULE 玻璃，實(shí)際口徑為Φ666 mm。

以工件圓心為原點(diǎn)，根據(jù)如下弧長公式［16］，

計(jì)算出母線長度（反射鏡半徑弧長）為335.4 mm，略大于反射鏡半徑333 mm。

3.2 實(shí)驗(yàn)方法

實(shí)驗(yàn)前采用干涉儀測(cè)量拋光工件面形。加工工具盤口徑為Φ50 mm，在數(shù)控單軸機(jī)上從工件邊緣往工件圓心方向，沿工件母線方向（徑向方向）每隔2 mm 移動(dòng)一個(gè)點(diǎn)，共移動(dòng)9 個(gè)點(diǎn)，每點(diǎn)停留30 min，使用數(shù)控單軸機(jī)機(jī)床右側(cè)平移臂進(jìn)行修邊。數(shù)控單軸機(jī)機(jī)床主軸轉(zhuǎn)速為3.3 r/min，工具盤轉(zhuǎn)速為60 r/min，機(jī)床右側(cè)平移臂施加在工具盤上的外力為19.668 N。修邊后再次采用干涉儀進(jìn)行面形測(cè)量，比較實(shí)驗(yàn)前后面形結(jié)果，得到邊緣磨削去量。代入公式（38），得到Preston方程中k系數(shù)。

第二次實(shí)驗(yàn)采用兩個(gè)Φ50 mm 工具盤，繼續(xù)在數(shù)控單軸機(jī)上從工件邊緣往工件圓心方向，沿工件母線每隔2 mm 移動(dòng)一個(gè)點(diǎn)，共移動(dòng)9 個(gè)點(diǎn)，每點(diǎn)停留14 min，使用數(shù)控單軸機(jī)兩側(cè)平移臂同時(shí)修邊。數(shù)控單軸機(jī)機(jī)床主軸轉(zhuǎn)速為3.3 rpm，工具盤轉(zhuǎn)速為60 rpm，機(jī)床左右兩側(cè)平移臂施加在工具盤上的外力分別為80.756、56.527 N。邊緣加工實(shí)驗(yàn)如圖9 所示。修邊后采用干涉儀進(jìn)行面形測(cè)量，比較實(shí)驗(yàn)前后面形結(jié)果，得到邊緣磨削去量。兩次實(shí)驗(yàn)采用同一型號(hào)的氧化鈰磨料，為減小實(shí)驗(yàn)誤差，加工過程盡力保證磨料濃度一致。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與公式仿真去量結(jié)果比較，驗(yàn)證模型準(zhǔn)確性。

圖9 邊緣加工實(shí)驗(yàn)Fig.9 Edge machining experiment

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

圖10 為實(shí)驗(yàn)面形結(jié)果，圖11 為實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果。干涉儀觀測(cè)的平面口徑，與加工反射鏡弧面口徑存在差異，適當(dāng)簡(jiǎn)化定量分析過程，取面形波谷值變化進(jìn)行分析，求得k值，k=5.738 6×10-8。進(jìn)行模型仿真工件邊緣磨削去除量變化，如圖11（c）所示。模型曲線與實(shí)驗(yàn)去量變化量曲線趨勢(shì)吻合，呈現(xiàn)出指數(shù)型曲線形狀。

圖10 某型號(hào)反射鏡數(shù)控單軸機(jī)修邊實(shí)驗(yàn)面形結(jié)果Fig.10 Surface trimming experiment results of one mirror with the CNC single shaft machine

圖11 實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果Fig.11 Experiment and simulation results

第二次實(shí)驗(yàn)算法模擬中工件面形靠近邊緣面形波谷位置去除量為0.34λ，實(shí)際加工圖中面形波谷差值為0.37λ，理論模擬準(zhǔn)確度為91.9%。分析誤差來源，與理論模型的簡(jiǎn)化以及部分參數(shù)的近似取值有關(guān)，另外，實(shí)驗(yàn)過程中工具盤瀝青盤面與工件表面面形不吻合、加工環(huán)境溫濕度變化、氧化鈰拋光液濃度變化，以及工具盤定位不準(zhǔn)確等因素也將影響結(jié)果準(zhǔn)確性。

文中建立的數(shù)學(xué)模型，同樣適用于元件內(nèi)孔邊緣研磨拋光加工時(shí)的仿真處理與工藝指導(dǎo)，工件內(nèi)部均勻去除和環(huán)帶誤差修正，以及解決平轉(zhuǎn)動(dòng)工具盤在工件邊緣不同露邊情況下的去除函數(shù)不穩(wěn)定情況。

4 結(jié)論

研制數(shù)控單軸機(jī)，并基于Preston方程，通過理論推導(dǎo)，得出數(shù)控單軸機(jī)邊緣效應(yīng)下的點(diǎn)位移動(dòng)去除函數(shù)計(jì)算模型。加工過程，工具盤沿著工件徑向邊緣移動(dòng)時(shí)，工具盤露邊量變化引起工具盤與工件間壓強(qiáng)呈指數(shù)級(jí)變化；工件轉(zhuǎn)動(dòng)，工具盤在工件徑向距離不變時(shí)，工具盤與工件間壓力恒定，但是工件邊緣不同位置點(diǎn)磨削時(shí)間呈現(xiàn)出不同的規(guī)律變化，文章求出工件轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，工具盤沿工件母線移動(dòng)時(shí)，由磨削壓力和磨削時(shí)間共同作用的磨削去量公式。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該邊緣去除函數(shù)計(jì)算模型的數(shù)值絕對(duì)誤差在10%內(nèi)，邊緣去除函數(shù)模型與實(shí)際加工吻合很好。模型的建立為采用數(shù)控單軸機(jī)加工反射鏡內(nèi)外邊緣以及小工具盤平轉(zhuǎn)動(dòng)加工方式工藝參數(shù)調(diào)整提供了指導(dǎo)，對(duì)于邊緣效應(yīng)的控制更為有效，能更好地服務(wù)于宇航材料反射鏡高要求的邊緣效應(yīng)控制。