■河南省南樂一中 吉曉波

一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。)

1.若{a,b,c}構成空間的一個基底,則下列向量可以構成空間基底的是( )。

A.a+b,a-b,a

B.a+b,a-b,b

C.a+b,a-b,b+c

D.a+b,a+b+c,c

2.已知空間向量a=(1,2,-2),b=(3,λ,μ-1),若a//b,則λ+μ=( )。

A.1 B.-1 C.2 D.-2

3.已知向量a=(1,3,0),b=(2,1,1),則向量a在向量b上的投影向量c=( )。

4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為2,底面ABC是邊長為2 的正三角形,∠A1AB=∠A1AC=60°,若B1C和BC1相交于點M,則=( )。

5.已知直線l的方向向量為e=(2,-1,2),平面α的法向量為n=(-2,a-b,a+b)(a,b∈R)。若l⊥α,則a+3b的值為( )。

A.-5 B.-2 C.1 D.4

6.如圖1,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,|PA|=|AB|=|BC|=|AD|=1,BC//AD,已知Q是棱PD上靠近點P的四等分點,則CQ與平面PAB所成角的正弦值為( )。

圖1

8.在Rt△ABC中,|AB|=2,|AC|=,D為斜邊AC上異于A,C的動點,若將△ABC沿折痕BD翻折,使點A折至A1處,且二面角A1-BD-C的大小為,則|A1C|的最小值為( )。

二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得5 分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。)

9.如圖2,已知點O為正六邊形ABCDEF的中心,下列結論中正確的是( )。

10.“十字貫穿體”是學習素描時常用的幾何體實物模型,圖3是某同學繪制“十字貫穿體”的素描作品?！笆重灤w”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構成的多面體,其中一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱,兩個四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點,另外兩條相對的側(cè)棱交于一點(該點為所在棱的中點)。若該同學繪制的“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2,高為4的正四棱柱構成,在其直觀圖中建立如圖4 所示的空間直角坐標系,則( )。

圖3

圖4

A.|GE|=2

B.點C的 坐 標 為(-2,2,2)

C.O,E,F,A四點共面

D.直線CE與直線DG所成角的余弦值為

11.平面α,β,γ兩兩互相垂直且有一個公共點O,α∩β=l1,β∩γ=l2,α∩γ=l3,直線l過點O,則下列結論正確的是( )。

A.若l與l2,l3所成的角均為60°,則l與平面γ所成的角為45°

B.若l與平面α,β,γ所成的角相等,則這樣的直線l有且僅有1條

C.若l與平面α,β所成的角分別為30°,45°,則l與平面γ所成的角為60°

D.若點P在l上,且在l1,l2,l3的投影分別為P1,P2,P3,則2|OP|2=|P1P2|2+|P2P3|2+|P1P3|2

12.在棱長為2 的正方體ABCDA1B1C1D1中,E為AD的中點,點F在正方體的面CC1D1D內(nèi)(含邊界)移動,點P為線段D1B上的動點,設|D1P|=λ|D1B|,則( )。

A.當λ=時,DP//平面AB1C

B.VB-AB1F為定值

C.|PA|+|PC|的最小值為2

D.當直線B1F//平面A1BD時,點F的軌跡被以A為球心,為半徑的球截得的長度為1

三、填空題(本大題共4 小題,每小題5分,共20分。)

13.在空間直角坐標系中,A(1,-1,3),B(-2,1,4),O為坐標原點,直線AB上有一點M,且OM⊥AB,則點M的坐標為____。

14.如圖5,某正方體的頂點A在平面α內(nèi),三條棱AB,AC,AD都在平面α的同側(cè)。若頂點B,C,D到平面α的距離分別為,2,則該正方體的表面積為____。

圖5

15.如圖6,三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為是2,側(cè)棱BB1與底面ABC所成的角為60°,側(cè) 面BCC1B1⊥底面ABC,點P在線段A1C1上,且平面B1CP⊥平面ACC1A1,則

16.如圖7,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分別為AC1,A1B1的中點,點T在正方體的表面上運動,滿足PT⊥BQ。

圖7

給出下列四個結論:

①點T可以是棱DD1的中點;

②線段PT長度的最小值為;

④點T的軌跡圍成的多邊形的面積為。

③點T的軌跡是矩形;

其中所有正確結論的序號是____。

四、解答題(本大題共6 小題,共70 分,請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.(本小題10 分)如 圖8 所 示,在 棱 長

圖8

(2)求直線FG與平面ACD所成角的正弦值。

18.(本小題12分)如圖9,三棱柱ABCA1B1C1中,平 面ABC⊥平面AA1C1C,AB⊥AC,|AA1|=|AB|=|AC|=2,∠A1AC= 60°。 過AA1的平面交線段B1C1于點E(不與端點重合),交線段BC于點F。

圖9

(1)求證:四邊形AA1EF為平行四邊形;

(2)若|BF|=3|FC|,求直線A1C1與平面AFC1所成角的正弦值。

19.(本小題12分)如圖10,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD⊥CD,AB//CD,|AB|=2,|AD|=|CD|=1,PC⊥底面ABCD,E是AC的中點,

圖10

(1)證明:平面PBC⊥平面ACF。

(2)若直線PE與平面PAB所成角的正弦值為,且|PC|＞|CD|,求平面ACF與平面PAB夾角的余弦值。

20.(本 小 題12 分)如圖11,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,|PA|=2,|AB|=|AC|=1,將△PAB繞著PA逆時針旋轉(zhuǎn)到△PAD的位置,得到如圖所示的組合體,M為PD的中點。

(1)當∠BAC為何值時,該組合體的體積最大? 并求出其最大值。

(2)當PC//平面MAB時,求直線PC與平面PBD所成角的正弦值。

21.(本小題12分)如圖12,已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形,點P在以AD為直徑的半圓弧上,點E為BC的中點?，F(xiàn)將半圓沿AD折起,如圖13,使異面直線PD與BC所成的角為45°,此時|BP|=。

圖12

圖13

(1)證 明AB⊥平面PAD,并求點P到平面ABCD的距離;

(2)若平面PAB∩平面PDE=l,Q∈l,當平面QAB與平面QCD所成角的余弦值時,求|PQ|的值。

22.(本小題12 分)如圖14,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是邊長為2 的等邊三角形,|CC1|=2,D,E分別是線段AC,CC1的中點,C1在平面ABC內(nèi)的射影為D。

(1)求證:A1C⊥平面BDE;

(2)若點F為棱B1C1的中點,求點F到平面BDE的距離;

(3)若點F為線段B1C1上的動點(不包括端點),求銳二面角F-BD-E的余弦值的取值范圍。