■成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校 杜海洋

空間中的垂直關(guān)系有:線線垂直、線面垂直、面面垂直。垂直關(guān)系始終是立體幾何考查的重點(diǎn),從近些年高考來(lái)看,以多面體為載體,重點(diǎn)考查空間垂直的位置關(guān)系一直是立體幾何命題的熱點(diǎn)。一般來(lái)講,線線垂直是主要的也是最基本的情況,在三者轉(zhuǎn)化的過(guò)程中穿針引線,無(wú)論是線面垂直還是面面垂直,都源于線與線的垂直,這種轉(zhuǎn)化為“低維”垂直的思想方法,在解題時(shí)非常重要,尤其涉及動(dòng)直線與定直線的垂直問(wèn)題,其思維聚焦點(diǎn)更顯特殊。下面,筆者通過(guò)一道高考真題來(lái)展示線線垂直的證明策略。

真題呈現(xiàn)(2021 年全國(guó)甲卷)如圖1,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,|AB|=|BC|=2,E,F分別為AC和CC1的 中 點(diǎn),D為棱A1B1上的點(diǎn),BF⊥A1B1。證明:BF⊥DE。

圖1

分析：通過(guò)已知條件,確定三條互相垂直的直線,可建立合適的空間直角坐標(biāo)系,借助空間向量證明線線垂直;由于本題涉及“動(dòng)”直線與“定”直線的垂直關(guān)系,解答的思維難度和靈活度較大。

證法1(補(bǔ)形法)

因?yàn)锽F⊥A1B1,A1B1//AB,所 以BF⊥AB。

因?yàn)锳B⊥BB1,BF∩BB1=B,所 以AB⊥平面BCC1B1。

|AB|=|BC|=2,構(gòu)造 正 方 體ABCGA1B1C1G1,如 圖2 所 示,過(guò)E作AB的平行線分別與AG,BC交于其中點(diǎn)M,N,連接A1M,B1N。

圖2

因?yàn)镋,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),所以N是BC的 中 點(diǎn),易 證Rt△BCF?Rt△B1BN,則∠CBF=∠BB1N。

又因?yàn)椤螧B1N+∠B1NB=90°,所以∠CBF+∠B1NB=90°,BF⊥B1N。

又因?yàn)锽F⊥A1B1,B1N∩A1B1=B1,所以BF⊥平面A1MNB1。

又因?yàn)镋D?平面A1MNB1,所以BF⊥DE。

點(diǎn)評(píng):要證線線垂直,可轉(zhuǎn)化證線面垂直。因?yàn)楸绢}DE為動(dòng)直線,所以解題目標(biāo)要將直線DE放在一個(gè)平面內(nèi),通過(guò)證BF垂直此平面從而獲得證明。

證法2(幾何法)

如圖3,取BC的中點(diǎn)N,連接EN,B1N,所以EN//AB,即EN//A1B1,則EN//DB1,即 四 邊 形ENB1D為平面四邊形。要 證BF⊥DE,即 證BF⊥平面ENB1D。

圖3

由證法1 可得BF⊥B1N,BF⊥AB,所 以BF⊥EN。

又因?yàn)镋N∩B1N=N,所以BF⊥平面ENB1D。

因?yàn)镋D?平面ENB1D,所以BF⊥DE。

點(diǎn)評(píng):此法的實(shí)質(zhì)與證法1一樣,依然構(gòu)造平面,先建立線面垂直,再推出線線垂直。證法1與證法2都是將動(dòng)直線DE放在一個(gè)平面內(nèi),通過(guò)證BF垂直此平面從而獲證。由于直線DE為動(dòng)直線,構(gòu)造三角形形成平面行不通,所以構(gòu)造一組對(duì)邊平行的四邊形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

證法3(坐標(biāo)法)

同證法1,易得BA,BC,BB1兩兩垂直。則以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BA,BC,BB1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖4。則B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1)。

圖4

由題意,設(shè)D(a,0,2)(0≤a≤2)。

點(diǎn)評(píng):由題意得出此幾何題屬于典型的“墻角模型”,即建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)目標(biāo)數(shù)量積為0,從而獲得證明。解答涉及“墻角模型”的立體幾何試題,建立坐標(biāo)系是較簡(jiǎn)便的解法。

證法4(基底法)

點(diǎn)評(píng):基底法的本質(zhì)是將所求向量運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為題中已知模長(zhǎng)、夾角的兩個(gè)向量運(yùn)算關(guān)系,核心是轉(zhuǎn)化思想,能用坐標(biāo)法就可以用基底法,坐標(biāo)是建立在特殊的基底之上的,所以由證法3 就應(yīng)該想到證法4。

總之,由于立體幾何中的很多問(wèn)題都可以通過(guò)“化空間為平面”的思想方法來(lái)解決,因此通過(guò)作圖轉(zhuǎn)化為平面幾何中證明線線垂直的方法最為常見(jiàn)。常用到的知識(shí)有:勾股定理,菱形或正方形的對(duì)角線互相垂直,等腰三角形的三線合一,直徑所對(duì)的圓周角是直角,三角形全等,過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于切線等等。所以在證明過(guò)程中尋找相應(yīng)的“點(diǎn)”進(jìn)行連線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。垂直問(wèn)題在立體幾何中占有重要的地位,是歷年高考命題的熱點(diǎn),空間中的垂直關(guān)系常轉(zhuǎn)化為證明線線垂直。因此,同學(xué)們一定要把證明線線垂直的方法研究透徹。