鞏亞楠 魏德旺 劉俊良 李淑晴 呂海燕

(臨沂大學 山東臨沂 276000)

1 “信號與系統”課程地位

“信號與系統”作為信息、電子、自控、通信等專業(yè)的專業(yè)基礎課，是為后續(xù)數字信號處理、數字圖像處理、通信原理、自動控制等課程的學習打下基礎，“信號與系統分析”被認為是一門理解困難、計算繁雜、偏理論模型的課程。課程知識本身的復雜性、抽象性等特點，使學生在學習過程遇到很多的困難，主要表現在以下兩個方面：（1）課程體系龐大、分支眾多、知識抽象，在學習過程中往往難以找到各個知識相互間的聯系，難以把握重點，使對基礎知識理解不透徹導致核心知識理解困難；（2）課程主要在“時間域”及“頻率域”下研究時間函數x(t)及離散序列x(n)，其中涉及了極其復雜、繁瑣的數學推導。本科階段，該課程涵蓋了連續(xù)系統在時域內的分析方法、在頻域內的分析方法、在s域內的分析方法，以及離散系統在時域內的分析方法、在z域內的分析方法。在通信和控制領域，系統描述方法具有多樣化的特點，而穩(wěn)定性是系統正常工作的前提條件[1]，隨著科學的發(fā)展，對不同形式的系統穩(wěn)定的判斷方法也歷經很多人的完善，形成了豐富的理論。本文就分析各種系統穩(wěn)定方法的研究，從深層次上理解各方法之間的內在聯系和區(qū)別。

從教育心理學的角度而言，圖形、畫面是人腦海中第一呈現的東西，而不是文字，形象記憶和形象思維，不僅在基礎教育，而且在高等教育階段，也是一種更輕松、更容易被學生接受的。思維導圖（The Mind Map）作為一種典型的圖片，是由圖像、文字、分類等構成的，是一種高效、簡單、直觀地表達思維的工具。目前，思維導圖多在中小學教學中應用，將其應用在知識容量和結構體系復雜的大學教學中，尤其是抽象的工科教學中對這方面的探討的報道相對較少，總結起來主要集中在教師的“教”和學生的“學”兩方面。在教師的“教”方面，引入思維導圖創(chuàng)新教學模式，提出了在基于問題的學習（PBL）教學模式中引入思維導圖[2]，在智慧學習環(huán)境下，講授結合思維導圖的教學模式的引入[3]，混合式教學中引入思維導圖[4]，思維導圖與空間課堂的聯合教學法的嘗試[2]，在柯氏模型中引入思維導圖等[5]。利用思維導圖更新教學理念，由完全的講授法，引入圖形的直觀觀察法，引申到問題提出和解決上。將思維導圖納入整個的教學過程中，課前引導預習、課堂教學實施、課后知識鞏固復習。在學生的“學”方面，復合學習的三維學習層面，在知識目標維度上，引入思維導圖，做到以點概面，便于掌握知識的重難點和知識結構的要點，達到記憶理解內容，構建學生的知識體系，優(yōu)化知識架構。在能力目標維度上，繪制思維導圖的過程中，增強團隊協作能力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力、歸納總結能力和發(fā)散思維能力，促進高級思維發(fā)展。在情感目標維度上，增強學生自主學習積極性、鍛煉獨立思考能力，及時地進行課堂反思，達到降低知識學習的難度。因此，本研究采用此教學的有效輔助工具思維導圖的分析方法，來呈現對各種系統穩(wěn)定性分析方法的總結，并討論各方法之間的關系，最后歸納出系統穩(wěn)定性的判據。

2 系統穩(wěn)定性分析主要方法與關系

對系統穩(wěn)定性的研究借助圖1的思維導圖從連續(xù)性系統和離散系統兩方面分析，并單獨梳理了系統穩(wěn)定性的判斷方法[6]。

圖1 “信號與系統”中系統穩(wěn)定性及其判據思維導圖

2.1 連續(xù)時間系統穩(wěn)定性分析

連續(xù)時間系統：某系統的輸入信號和輸出信號都是連續(xù)的，且其內部也未變換為離散時間信號，一般用微分方程描述。如果任意有界的激勵信號，經系統處理后都可以得到任意有界的零狀態(tài)響應，則稱該系統為有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定的系統，簡稱穩(wěn)定系統。對于眾多的連續(xù)時間系統的穩(wěn)定性分析方法，在此處，總結了3種比較常見的方法[7-8]。

2.1.1 時域分析法

通過求解代數微分方程，給出系統沖激響應h（t），若沖激響應滿足絕對可積條件，則系統是穩(wěn)定的，即存在常數M，使得

2.1.2 變換域分析法

利用拉普拉斯變換求解微分方程，得出系統函數H（s），沖激響應h（t）與系統函數H（s）構成變換對，h（t）和H（s）分別從時域和s域表征了系統的特性。求出系統極零點分布，從而分析系統穩(wěn)定性，因果性，若h（t）的全部極點位于s平面的左半平面（不包括虛軸），則系統是穩(wěn)定的。

2.1.3 羅斯-霍維茨準則

求得系數An（n=0,1,…），系統要穩(wěn)定就需要實部都小于零，即系數An均同號且都不為零。若An符號一旦發(fā)生改變，則系統不穩(wěn)定，并且系數符號變化的次數就是實部大于零的根個數。An的求解方法如下：判斷系統函數的最高階次，若最高次為k，則需要求解A0,A1,…，Ak，共k+1 個系數。依次將這些系數從Ak開始依次豎向排列，再將各項均按降冪排列的系統函數中的Sn（n=0,1,…，k）前的系數，從第二列開始按照只排兩行從上往下、從左往右依次排列，第二列的數字即對應的An，當然還要算出其他An，第三列的系數即Bn，第四列為Cn，第五列為Dn。其中的關系表示為

通過這些表達式，可以計算出所有的行列式系數An，從而判斷系統的穩(wěn)定性。

2.2 離散時間系統穩(wěn)定性分析

離散時間系統：若系統的各個物理量隨時間的變化關系，只是在離散的時刻給出瞬時值，這種系統稱為離散時間系統。和連續(xù)時間系統不同的是，連續(xù)時間系統的系統分析方法一般用微分方程描述，而離散時間系統通常用差分方程如下所示：

式（4）中，e（k）為輸入激勵，y（k）為輸出響應[9-10]。

對于離散時間系統，穩(wěn)定性判定也發(fā)展了3 種方法。

2.2.1 時域分析法

利用時域上的差分方程進行直接求解，得出單位抽樣響應h（n），離散系統穩(wěn)定的充要條件：單位樣值響應絕對可和，即

2.2.2 變換域分析法

利用z變換，在變換域內求解差分方程，得出系統函數H（z）表達式及其極零點分布情況，判斷系統穩(wěn)定性。H（z）和h（n）是一對z變換，若H（z）的全部極點應落在單位圓之內，即收斂域應包括單位圓在內，則系統是穩(wěn)定的。下面舉例說明，由差分方程求H（z）和h（n），并判定其穩(wěn)定性。

2.2.3 朱里準則

設A(z) =anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0，則可以判斷方程A(z) =0的根是否位于z平面的單位圓內，由下面的朱里準則，首先寫出陣列：

陣列中第一行為A(z)的系數，第二行也是A(z)的系數但按反序排列，第三行按下列各式計算

第四行是將第三行的各系數反序排列，由第三、四兩行再利用上述相同方法可求得第五、六兩行，其公式如下：

這樣求得的兩行比前兩行少一項，以此類推，直到第2n-3行。準則指出，A(z)的所有根都在單位圓內的充分必要條件是：

上式中關于系數的條件是，各奇數行的第一個系數必大于最后一個系數的絕對值。

2.3 穩(wěn)定性判別方法

系統穩(wěn)定性的判據可以分別從線性代數和求解微分方程的這兩種異曲同工的代數方法和幅角技術的幾何方法等方面進行考慮[11-12]。

2.3.1 勞斯穩(wěn)定性判據（Routh-Hurwitz stability criterion）

勞斯穩(wěn)定性判據是一種代數矩陣判據方法。它首先求解出的系統矩陣特征方程式的特征根，通過判斷特征根在s平面的位置，從而決定系統的穩(wěn)定與否。判斷方法：特征方程的各項系數都不等于0；并且特征方程各項系數符號相同；勞斯表的第一列是否均大于零。

2.3.2 奈奎斯特穩(wěn)定性判據（Nyquist stability criterion）

奈奎斯特穩(wěn)定判據的內容表明，如果系統開環(huán)傳遞函數G(s)在s復數平面的虛軸jω上既不存在極點又不存在零點，那么系統正實部極點數Z，為

式（10）中：P為開環(huán)傳遞函數在右半s平面上的極點數，N為當角頻率由ω=0增加到ω為正無窮時的軌跡沿逆時針方向繞著實軸上點（-1，j0）的旋轉次數。如果Z=0，則閉環(huán)控制系統是一穩(wěn)定系統；若Z≠0，則閉環(huán)控制系統是一不穩(wěn)定系統。分別從幅度和相位角度判定系統的穩(wěn)定程度和系統的穩(wěn)定條件就成為了這種判斷方法的特點。

2.3.3 根軌跡法

不同于直接求解特征方程的方法，EVANS W R提出用作圖的方法描述特征方程的根與系統某一參數的全部數值之間的對應關系。當這一參數取特定值時，從上述關系圖就可以讀取對應的特征根。系統的根軌跡法既可以給出結構和參數已知的閉環(huán)系統的穩(wěn)定性和系統的瞬態(tài)響應特性分析方法，又可評估參數改變對系統性能的影響。由此，設計線性控制系統時，不僅可以根據對系統性能指標的規(guī)定求解可調整參數，而且可以求解系統開環(huán)零極點的坐標，即根軌跡法可以在系統的分析與綜合設計中發(fā)揮作用。

2.3.4 李雅普諾夫穩(wěn)定性方法（Lyapunov stability criterion）

李雅普諾夫第一法是首先通過求解系統微分方程，隨后根據解的性質來評判系統的穩(wěn)定性；李雅普諾夫第二法是根據能量參數進行穩(wěn)定性分析，當一個系統獲得激勵信號后，其儲存的能量是與時間密切相關的，隨著時間的逝去，儲能將逐漸削弱，當達到平衡狀態(tài)時，能量將隨之達到最小值。只有清晰地了解了各種穩(wěn)定性判據的概念，才能靈活運用各種方法判斷系統的穩(wěn)定性。

3 結語

經過上述分析與總結，對于系統穩(wěn)定性分析有了清晰的思路。就連續(xù)時間系統與離散時間系統穩(wěn)定性分析時用到的方法進行歸納總結，以及它們之間的內在關聯和穩(wěn)定性判別的4 種方法進行細致闡述，將碎片化、離散化的知識有機結合，利于學生更直觀地掌握“信號與系統”這門課程的知識架構，針對不同的系統環(huán)境，可以根據具體的實際應用靈活選擇合理、便捷的穩(wěn)定性分析方法。