楊鴻宇，周克亮，唐 超，柯浩雄

（武漢理工大學(xué)自動化學(xué)院，湖北武漢 430070）

0 引言

可編程交流電源需生成各種頻率和波形的周期性電壓波形，用于多種工業(yè)產(chǎn)品的設(shè)計測試等[1-5]。眾所周知，重復(fù)控制（Repetitive Control，RC）可對頻率已知的周期信號實施零誤差補償，為可編程交流電源提供了一種精準(zhǔn)的輸出電壓控制方法[6-13]。然而，當(dāng)應(yīng)用于電力電子功率變換時，重復(fù)控制器目前僅用于處理單個基波頻率的周期性信號。對于需要生成含有多個基波頻率的多周期電壓波形的情形，例如含有諧波與間諧波的電力線路擾動，可采用將多個重復(fù)控制器并聯(lián)在一起所構(gòu)成多周期重復(fù)方案[8-14]。

然而，由于重復(fù)控制器中需包含整數(shù)階Ni的延遲單元z-Ni，才能對相應(yīng)周期為Ni的周期性信號實現(xiàn)零誤差補償[13]，其中Ni=fs/fi，fi和fs分別為相應(yīng)周期信號的基頻和系統(tǒng)采樣頻率。受限于內(nèi)置z-Ni，重復(fù)控制器的動態(tài)響應(yīng)通常較慢。另外，無論采樣系統(tǒng)頻率fs是固定的還是可變的，由于多周期信號中的任意2 個基頻之間的比值是非整數(shù)，最多只會有1 個基波頻率信號的周期Ni為整數(shù)，其余的基波頻率信號的周期Nj皆為分?jǐn)?shù)。由于無法直接實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階的延遲單元，常規(guī)的重復(fù)控制器只能準(zhǔn)確補償周期Ni為整數(shù)的周期性信號，于是多重復(fù)控制器將無法精確補償多周期信號。

本文為可編程交流電源提出一種由多重復(fù)控制器與狀態(tài)反饋控制器優(yōu)勢互補組合而成的多重復(fù)控制（Multi-Repetitive Control，MRC）方案及其分析與設(shè)計方法，其中多重復(fù)控制器為多周期信號提供精確補償，而反饋控制器則提供快速動態(tài)響應(yīng)和良好的魯棒性。為克服常規(guī)多重復(fù)控制器無法精準(zhǔn)調(diào)節(jié)多周期信號的不足，提出了將多重復(fù)控制器分?jǐn)?shù)階化的解決方案[14-22]。作為應(yīng)用實例，搭建了一個3 kVA 單相脈沖寬度調(diào)制（Pulse Width Modulation，PWM）逆變器，實驗驗證了分?jǐn)?shù)階多重復(fù)控制方案的有效性。

1 分?jǐn)?shù)階多重復(fù)控制策略

1.1 MRC方案

圖1 給出了一個插入式數(shù)字MRC 系統(tǒng)，其中GM(z)表示多重復(fù)控制器，Gc(z)表示常規(guī)反饋控制器，Gp(z)表示被控對象，r(z)為參考輸入信號，y(z)為輸出信號，e(z)為跟蹤誤差，d(z)為干擾信號。

圖1 插入式MRC系統(tǒng)Fig.1 Plug-in MRC system

從參考輸入r(z)和擾動d(z)到輸出y(z)的傳遞函數(shù)為：

式中：H(z)為不含GM(z)的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)從r(z)到y(tǒng)(z)的傳遞函數(shù)。

圖1 所示的插入式多重復(fù)控制方案由多重復(fù)控制器與狀態(tài)反饋控制器優(yōu)勢互補組合而成，其中多重復(fù)控制器為多周期信號提供精確補償，而反饋控制器則提供快速動態(tài)響應(yīng)和良好的魯棒性。

由式（1）和式（2）可以得出，若滿足以下2 個條件，則多重復(fù)控制系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的：（1）1+Gc(z)GP(z)=0 的根在單位圓內(nèi)，即H(z)是漸近穩(wěn)定的；（2）1+GM(z)H(z)=0 的根在單位圓內(nèi)。

多周期重復(fù)GM(z)由多個重復(fù)控制器并聯(lián)而成，可以寫為：

式中：m為并聯(lián)的重復(fù)控制器的數(shù)目；Gi(z)為第i個基頻信號的重復(fù)控制器；ki為控制增益；Fi(z)為相位超前補償器；Q(z)為低通濾波器。

在Q(z)帶寬范圍內(nèi)，即 |Q(z)|≈1，GM(z)可以對多周期信號實現(xiàn)零誤差跟蹤。由式（3）可知，多周期重復(fù)控制器的設(shè)計需要確定增益ki和補償器Fi(z)，而所有周期Ni（無量綱）都是已知的。

1.2 多重復(fù)控制器的設(shè)計

式（2）中反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可改寫為：

式中：c為已知的延遲步長；A(z)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，A(z)=0 的所有根都在單位圓內(nèi)；B-(z)為包括B(z)在單位圓上、圓外的根；B+(z)為包括B(z)在單位圓內(nèi)的根。

為了簡化重復(fù)控制器設(shè)計過程，補償器Fi(z)可選作：

式中：b為常數(shù)，b≥max|B-(z)|2，于是：

式（6）中補償器Fi(z)實現(xiàn)了對H（z）零相位補償。

由式（1）—式（7）可知，當(dāng)滿足以下2 個條件時，圖1 所示的數(shù)字MRC 系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的[22-25]，一是H(z)漸近穩(wěn)定；二是控制增益ki≥0，且增益總和K滿足

給出設(shè)計如圖1 所示的MRC 系統(tǒng)的增益穩(wěn)定性判據(jù)，與現(xiàn)有的各種重復(fù)控制器[26-27]的增益穩(wěn)定性判據(jù)完全兼容。

需要指出的是，在實際中可以用線性相位超前補償器Fi=zp代替式（6）中的零相位補償器，zp為實際補償拍數(shù)，來補償各種系統(tǒng)延遲（包括建模的延遲元件z-c和其他未建模的延遲）[28-30]。由于未建模的延遲（如采樣延遲、計算延遲等）事先是未知的，步長p需要通過實際實驗來確定。

眾所周知，重復(fù)控制器Gi(z)采用較大的增益ki將產(chǎn)生更快的動態(tài)響應(yīng)。然而，若ki選取不當(dāng)，多重復(fù)控制器GM(z)將不能獲得快速的整體動態(tài)響應(yīng)。為保證GM(z)獲取快速的整體動態(tài)響應(yīng)，可遵循增益整定規(guī)則選取增益ki。

多周期信號γ(t)可寫為：

式中：ωi為第i個基頻信號的角頻率；γi為在第i基頻角頻率ω=ωi處的幅值。

依據(jù)式（8）將ω=ωi處的信號占總信號的比例定義為：

式中：pi為n次諧波占總諧波的比例。

在給定多重復(fù)控制器增益總和K的情況下，各控制增益取

則GM(z)在各基波頻率處的誤差收斂速度將保持一致。于是GM(z)的整體動態(tài)響應(yīng)速度將與K成正比例，即K越大，整體動態(tài)響應(yīng)速度越快。需要指出的是，由于實際中無法準(zhǔn)確實現(xiàn)式（6）中的零相位補償，K或ki的穩(wěn)定上限往往明顯小于2[29-30]；此外，過大的K或ki可能會導(dǎo)致阻尼不足，易導(dǎo)致過沖振蕩響應(yīng)[30]。

1.3 分?jǐn)?shù)階多重復(fù)控制器

無論采樣頻率fs是固定的還是可變的，由于多周期信號中的任意2 個基頻信號的周期比值（j為階數(shù)，j≠i）均為非整數(shù)，最多只會有1 個基波頻率信號的周期可為整數(shù)，其余的皆為分?jǐn)?shù)。當(dāng)Ni為非整數(shù)時，延遲環(huán)節(jié)，其中[Ni]是Ni的整數(shù)部分，Di=Ni-[Ni](0 ≤Di<1)是Ni的小數(shù)部分。由于分?jǐn)?shù)延遲環(huán)節(jié)z-Di無法實現(xiàn)，整數(shù)階重復(fù)控制器Gi(z)將無法準(zhǔn)確補償周期為非整數(shù)Ni的周期性信號，導(dǎo)致多重復(fù)控制器GM(z)將無法精確補償多周期信號。為此可以采用拉格朗日插值多項式有限沖激響應(yīng)（Finite Impulse Response，F(xiàn)IR）濾波器來逼近替代z-Di[14]：

式中：α為整數(shù)多項式階數(shù)；Ai,q為多項式系數(shù)；q為階數(shù)，q≠j。

一般而言，更高的多項式階數(shù)α可使FIR 濾波器在更大帶寬內(nèi)更精確地逼近分?jǐn)?shù)階延遲z-Di[14]，但其實時實現(xiàn)的復(fù)雜性和計算耗時更高。在多數(shù)情況下，取α=3 通常就能使得式（11）在逼近精度和實現(xiàn)復(fù)雜性之間取得良好平衡。

將式（11）代入式（3）可得通用的分?jǐn)?shù)階多重復(fù)控制器為：

式（12）所示的分?jǐn)?shù)階多重復(fù)控制器提供了一種通用的重復(fù)控制方法來精確補償周期性信號，譬如多周期或頻率變化的信號[26]。

2 應(yīng)用實例

2.1 單相PWM逆變器建模

可編程交流電源通常采用單相逆變器作為基本功能模塊構(gòu)件用于將電能由直流變換為交流。圖2 為用于可編程交流電源的單相PWM 逆變器。

圖2 中vdc為直流母線電壓，vin為逆變橋后的輸入電壓，vo為輸出電壓，iL為電感電流，io為輸出電流，L為輸出濾波電感，C為濾波電容，R為電阻負(fù)載。圖2 所示的逆變器的數(shù)學(xué)模型可表示為：

其中vin（t)=u(t)vdc(t)，而u(t) 為控制器輸出到PWM 環(huán)節(jié)的控制量。

當(dāng)采樣周期為Ts，將式（13）離散化，在k采樣周期可得：

2.2 分?jǐn)?shù)階MRC方案

逆變器控制目標(biāo)是精確地生成測試所需的各種周期性交流電壓。為此，本文設(shè)計開發(fā)了如圖3所示的由狀態(tài)反饋控制器與分?jǐn)?shù)階多重復(fù)控制器組合而成分?jǐn)?shù)階MRC 方案用于逆變器的控制。

圖3 分?jǐn)?shù)階MRC方案Fig.3 Fractional-order MRC scheme

圖3 中vref(k)為參考電壓，u(k)為控制器輸出量。根據(jù)式（14）所給出的逆變器的數(shù)學(xué)模型，可設(shè)計狀態(tài)反饋控制器為：

式中：λ1,λ2,λ3為狀態(tài)反饋控制器的系數(shù)。

當(dāng)狀態(tài)反饋控制器系數(shù)取值如下：

則vo(k+1)=vref，即只需一個采樣周期延遲，輸出電壓vo可以跟蹤參考電壓vref，式（15）中的狀態(tài)反饋控制器變成了無差拍控制器。無差拍控制器具備非?？斓膭討B(tài)響應(yīng)，但對模型及其參數(shù)的變化敏感，因此需要加入分?jǐn)?shù)階多重復(fù)控制器以精確跟蹤參考信號。

2.3 實驗驗證

本文搭建了1 個3 kVA 功率的單相PWM 逆變器開展所提控制方案的實驗驗證工作。實驗平臺的系統(tǒng)參數(shù)如表1 所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)Table 1 System parameters

為了測試所提出的控制方案的有效性，特選取一組含有50 Hz 工頻、次同步30 Hz 和超同步70 Hz的多周期參考信號vref(t)如下：

圖4 顯示了帶有單無差拍控制器的逆變器的輸出響應(yīng)。

圖4 單無差拍方案下實驗數(shù)據(jù)Fig.4 Experimental results under deadbeat controller

圖4 中波形電壓vo為100 V/格、電流io為5 A/格，t為40 ms/格。其中輸出電壓vo由幅值為34.41 V的30 Hz 信號，幅值為131.76 V 的50 Hz 信號，幅值為14.15 V 的70 Hz 信號，幅值為2.04 V 的150 Hz信號，幅值為0.82 V 的250 Hz 信號，幅值為0.4 V的350 Hz 信號的多分量組成。輸出電壓跟蹤誤差e=vref-vo的峰值約為±40 V。150 Hz，250 Hz，350 Hz諧波分量分別是50 Hz 信號的3 次，5 次以及7 次諧波，是由單相PWM 逆變器產(chǎn)生的特征奇次諧波[31]。結(jié)果表明，僅用無差拍控制器不能讓逆變器精確地產(chǎn)生指定的多周期電壓。

根據(jù)圖4 所示的輸出電壓vo的頻譜特性，在無差拍控制回路中加入分?jǐn)?shù)階MRC 后GM(z)為：

其中，低通濾波器Q(z)=0.1z+0.8+0.1z-1。

為了實現(xiàn)快速的動態(tài)響應(yīng)，選擇增益總和K=0.9，控制增益ki都遵循式（8）—式（10）所提供的增益整定規(guī)則來設(shè)計。采用線性相位超前補償器Fi(z)=zp來補償，其中步長p=5 由實驗測得。GM(z)的參數(shù)如表2 所列。其中，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3分別為頻率為30 Hz，50 Hz 和70 Hz 對應(yīng)的補償器，[Ni+0.5]取其最接近的整數(shù)。

表2 控制器GM(z)的參數(shù)Table 2 Parameters of controller GM(z)

圖5 給出了加入了分?jǐn)?shù)階MRC 的控制方案下的實驗數(shù)據(jù)。圖5 所示的實驗結(jié)果表明，輸出電壓vo近乎完美地跟蹤了多周期參考信號，同時從去除了不需要的3 次、5 次以及7 次諧波。結(jié)果表明，所提出的分?jǐn)?shù)階MRC 方案，能夠準(zhǔn)確地生成期望的多周期輸出電壓。

圖5 分?jǐn)?shù)階MRC方案下實驗數(shù)據(jù)Fig.5 Experimental results under fractional-order MRC

為了進(jìn)一步驗證分?jǐn)?shù)階MRC 方案，圖6 給出了整數(shù)階MRC 方案下的實驗結(jié)果，如表2 所示，由于[Ni+0.5]和Ni之間存在一定的差值，整數(shù)階MRC 方案不能精確產(chǎn)生所期望的多頻信號，特別是在30 Hz和50 Hz 及其諧波，跟蹤誤差峰值約為±5.2 V。

圖6 整數(shù)階MRC方案下實驗數(shù)據(jù)Fig.6 Experimental results under integer-order MRC

圖7 顯示了在空載和50 Ω 電阻負(fù)載之間的來回切換下，輸出電壓vo幾乎沒有發(fā)生顯著變化。這意味著，在插入式分?jǐn)?shù)階MRC 方案下的逆變器對負(fù)載突變具有魯棒性，并具有快速的動態(tài)響應(yīng)。

圖7 突然阻性負(fù)載切換下的輸出響應(yīng)Fig.7 Output response under sudden load changes

如圖8 所示，在無差拍控制器中加入分?jǐn)?shù)階MRC 方案的逆變器，其跟蹤誤差的峰峰值從±40 V下降到±3.3 V，所需時間約為0.3 s，表明所提出的控制策略不僅能大大提高跟著精度，而且具有快速的響應(yīng)速度。

圖8 加入分?jǐn)?shù)階MRC的輸出電壓跟蹤誤差Fig.8 Output voltage tracking error with plug-in MRC

圖4—圖8 的實驗結(jié)果表明，依據(jù)所提出的設(shè)計方法和增益調(diào)整規(guī)則設(shè)計并應(yīng)用插入式分?jǐn)?shù)階MRC 方案的可編程交流電源能夠取得更精確、快速和穩(wěn)定的控制性能。

3 結(jié)論

本文提出了一種分?jǐn)?shù)階MRC 方案及其分析與設(shè)計方法，用于快、準(zhǔn)、穩(wěn)地補償任意的周期性信號，尤其是含多各基波頻率的多周期信號。所提控制方案由分?jǐn)?shù)階多重復(fù)控制器與狀態(tài)反饋控制器優(yōu)勢互補組合而成，其中分?jǐn)?shù)階數(shù)字多重復(fù)控制器可為多周期信號提供穩(wěn)態(tài)無差的精確補償，而反饋控制器則提供快速動態(tài)響應(yīng)和良好的魯棒性。最后作為應(yīng)用案例研究，本文將所提出的分?jǐn)?shù)階MRC方案應(yīng)用于可編程交流電源的單相PWM 逆變器。實驗結(jié)果表明，所提出的分?jǐn)?shù)階MRC 方案能夠使可編程交流電源精確地產(chǎn)生所需的多周期電壓，具有精度高以及響應(yīng)快速等優(yōu)點。