伍 松，吳小龍，魏晟弘

（1.廣西科技大學(xué)機械與交通工程學(xué)院，廣西 柳州 545006；2.廣西汽車零部件與整車技術(shù)重點實驗室（廣西科技大學(xué)），廣西 柳州 545006）

1 引言

壓縮感知的核心思想是能夠減少測量點數(shù)并可以精確或者近似精確的恢復(fù)出原始信號［1-2］。Rice大學(xué)依據(jù)壓縮感知理論提出的單像素相機系統(tǒng)有一個很明顯的特點就是多光譜波段成像，這是由壓縮感知理論和數(shù)字微鏡器件（Digital Micromirror Decive，DMD）以及光電探測器的硬件特性而來的。單像素相機系統(tǒng)是壓縮感知理論的一個重要應(yīng)用，它通過DMD接收光信號，最后通過光電轉(zhuǎn)換把信號輸入電腦重構(gòu)出圖像。它不僅打破了奈奎斯特采樣定理采樣過多的局限，也打破了傳統(tǒng)的成像系統(tǒng)中只能在局部波段進(jìn)行成像的限制。此外，該系統(tǒng)的出現(xiàn)為此前壓縮感知中常用的測量矩陣，如：高斯矩陣、伯努利矩陣和哈達(dá)瑪矩陣等難以硬件實現(xiàn)的問題提供了解決方法。DMD相當(dāng)于壓縮感知中的測量矩陣，可以設(shè)定成不同的序列，對應(yīng)的測量矩陣也不一樣，在DMD中測量矩陣的元素均為0或者1，1表示接收信號，0表示不接收信號。測量矩陣大致可以分為三類，第一類是隨機矩陣［3］，第二類是部分正交矩陣［4］，第三類是確定型矩陣［5］。高斯隨機矩陣、哈達(dá)瑪矩陣和伯努利矩陣等都屬于壓縮感知中常用的測量矩陣，能夠很好的滿足壓縮感知對測量矩陣的要求，但這些矩陣多為稠密矩陣，元素所需的儲存空間大，而且由于其非結(jié)構(gòu)化的本質(zhì)導(dǎo)致其計算復(fù)雜，不利于硬件實現(xiàn)。其中，確定型矩陣中的0-1循環(huán)矩陣是最容易硬件實現(xiàn)的測量矩陣。

對于離散余弦變換（Discrete Cosine Transform，DCT）［6-7］矩陣和離散小波變換（Discrete Wavelet Transformation，DWT）［8-9］矩陣的研究已經(jīng)較為豐富，但對于基于這兩種稀疏基與單像素相機矩陣構(gòu)成的重構(gòu)矩陣以及優(yōu)化后得到的優(yōu)化矩陣研究較少。將基于0-1循環(huán)矩陣與這兩種稀疏基組合得到的重構(gòu)矩陣和由重構(gòu)矩陣優(yōu)化后得到的優(yōu)化矩陣分別對信號進(jìn)行重構(gòu)，對比分析基于這兩種稀疏基得到的重構(gòu)矩陣和優(yōu)化矩陣對信號的重構(gòu)效果，基于離散小波變換矩陣得到的重構(gòu)矩陣以及優(yōu)化矩陣對信號的重構(gòu)效果更好。

2 壓縮感知理論與單像素相機矩陣

由參考文獻(xiàn)［10-11］可知，壓縮感知中，可壓縮信號模型如下：

式中：y—測量信號，y∈RM；Φ—測量矩陣，Φ∈RM×N，Ψ—稀疏基，Ψ∈RN×N；x—可壓縮信號，x∈RN；α—x的稀疏變換域系數(shù)，α∈RN；A—重構(gòu)矩陣；M—測量矩陣的行數(shù)；N—測量矩陣的列數(shù)。壓縮感知的核心過程為數(shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)重構(gòu)。在測量階段，通過測量矩陣Φ采集到測量數(shù)據(jù)y；在重構(gòu)階段，通過式（1）解算得到變換域系數(shù)α，再由式（2）求得信號x。

單像素相機的實物圖，如圖1所示。光束打到物體上，經(jīng)過透鏡1打到DMD上，再由DMD反射到透鏡2，由單點探測器接收光信號，最后經(jīng)過光電轉(zhuǎn)換將光信號轉(zhuǎn)換為電信號，由采集卡進(jìn)行采集。其中的核心部件為DMD，其表面由多個小鏡子組成，鏡面翻轉(zhuǎn)+12°表示接收光信號，在矩陣中用1來表示；鏡面翻轉(zhuǎn)-12°表示不接收光信號，在矩陣中用0來表示。所以使用單像素相機矩陣可以更容易將測量矩陣硬件實現(xiàn)。

圖1 單像素相機實物圖Fig.1 Physical Image of A Single-Pixel Camera

3 基于不同稀疏基的重構(gòu)矩陣優(yōu)化前后的性能分析

對基于0-1循環(huán)矩陣和DCT矩陣組成的重構(gòu)矩陣（簡稱余弦重構(gòu)矩陣）以及由0-1循環(huán)和DWT矩陣組成的重構(gòu)矩陣（簡稱小波重構(gòu)矩陣）分別做行正交化和列單位化的優(yōu)化運算（在圖2～圖5中運算100次），由余弦重構(gòu)矩陣優(yōu)化得到的優(yōu)化矩陣簡稱為余弦優(yōu)化矩陣，由小波重構(gòu)矩陣優(yōu)化得到的優(yōu)化矩陣簡稱為小波優(yōu)化矩陣。主要研究余弦重構(gòu)矩陣與小波重構(gòu)矩陣在優(yōu)化過程中的各自重構(gòu)矩陣的性質(zhì)變化，分別從行模極值、相關(guān)系數(shù)絕對值最大值、服從高斯分布的行列數(shù)以及列模來展示，如圖2～圖5所示。0-1循環(huán)矩陣的維度設(shè)置為（128×256），初始行放置128個隨機分布的1，每一行由上一行向右移動2位得到。

圖2 基于余弦重構(gòu)矩陣和小波重構(gòu)矩陣的優(yōu)化矩陣行模極值與迭代次數(shù)的關(guān)系圖Fig.2 The Relationship Between the Extreme Value of the Row Mode of the Optimized Matrix and the Number of Iterations Based on the Cosine Reconstruction Matrix and the Wavelet Reconstruction Matrix

基于余弦重構(gòu)矩陣和小波重構(gòu)矩陣在優(yōu)化過程中，得到的優(yōu)化矩陣行模的極值與迭代次數(shù)的關(guān)系圖，如圖2所示。從圖中可知，當(dāng)?shù)螖?shù)為20時，余弦重構(gòu)矩陣的行模最大值逐漸收斂于1.421，當(dāng)?shù)螖?shù)為95 時，余弦重構(gòu)矩陣的行模最小值收斂于1.379；當(dāng)?shù)螖?shù)為10時，小波重構(gòu)矩陣的行模最大值與最小值均收斂于1.414。小波重構(gòu)矩陣在迭代過程中行模的收斂性要好于余弦重構(gòu)矩陣在迭代過程中的行模收斂性。

基于余弦重構(gòu)矩陣和小波重構(gòu)矩陣在優(yōu)化過程中，得到的優(yōu)化矩陣的行和列相關(guān)系數(shù)的絕對值最大值與迭代次數(shù)的關(guān)系圖，如圖3所示。從圖中可知，余弦重構(gòu)矩陣的列相關(guān)系數(shù)的最大值在迭代過程中均接近于1，余弦重構(gòu)矩陣的行相關(guān)系數(shù)的最大值在第10次迭代后收斂于0；當(dāng)?shù)螖?shù)為5時，小波重構(gòu)矩陣的列相關(guān)系數(shù)的最大值收斂于0.281，行相關(guān)系數(shù)的最大值收斂于0。小波重構(gòu)矩陣在優(yōu)化后得到的小波優(yōu)化矩陣的列不相關(guān)性明顯好于離散優(yōu)化矩陣的列不相關(guān)性。

圖3 基于余弦重構(gòu)矩陣和小波重構(gòu)矩陣的優(yōu)化矩陣相關(guān)系數(shù)絕對值最大值與迭代次數(shù)的關(guān)系圖Fig.3 The Relationship Between the Maximum Absolute Value of the Correlation Coefficient of the Optimized Matrix Based on the Cosine Reconstruction Matrix and the Wavelet Reconstruction Matrix and the Number of Iterations

基于余弦重構(gòu)矩陣和小波重構(gòu)矩陣在優(yōu)化過程中，得到的優(yōu)化矩陣服從高斯分布的行列數(shù)與迭代次數(shù)的關(guān)系圖，如圖4 所示。從圖中可知，余弦重構(gòu)矩陣服從高斯分布的列數(shù)在第2次迭代后迅速收斂為0，服從高斯分布的行數(shù)在第2次迭代后也迅速收斂于0；小波重構(gòu)矩陣的服從高斯分布的列數(shù)在第90次迭代后收斂于246，服從高斯分布的行數(shù)在第90次迭代后收斂于123?？梢钥闯觯〔ㄖ貥?gòu)矩陣在迭代過程中行和列服從高斯分布的情況明顯好于余弦重構(gòu)矩陣在迭代過程中行和列服從高斯分布的情況。

圖4 基于余弦重構(gòu)矩陣和小波重構(gòu)矩陣的優(yōu)化矩陣服從高斯分布的行列數(shù)與迭代次數(shù)的關(guān)系圖Fig.4 The Relationship Between the Number of Rows and Columns and the Number of Iterations of the Optimized Matrix Based on the Cosine Reconstruction Matrix and the Wavelet Reconstruction Matrix that Obey the Gaussian Distribution

基于余弦重構(gòu)矩陣和小波重構(gòu)矩陣在優(yōu)化過程中，得到的優(yōu)化矩陣的行模極值與迭代次數(shù)的關(guān)系圖，如圖5所示。從圖中可知，余弦重構(gòu)矩陣在迭代中的列模最大值與最小值和小波重構(gòu)矩陣在迭代過程中的列模最大值與最小值均在第2次迭代后收斂于1。從圖2～圖5可見，由小波重構(gòu)矩陣迭代得到的小波優(yōu)化矩陣的性能要明顯好于由余弦重構(gòu)矩陣迭代得到的余弦優(yōu)化矩陣的性能。

圖5 基于余弦重構(gòu)矩陣和小波重構(gòu)矩陣的優(yōu)化矩陣行模極值與迭代次數(shù)的關(guān)系圖Fig.5 The Relationship Between the Extreme Value of the Row Mode of the Optimized Matrix and the Number of Iterations Based on the Cosine Reconstruction Matrix and the Wavelet Reconstruction Matrix

4 實驗結(jié)果對比分析

為進(jìn)一步驗證余弦重構(gòu)矩陣與小波重構(gòu)矩陣，余弦優(yōu)化矩陣與小波優(yōu)化矩陣性能的優(yōu)異。分別用這四種矩陣對高斯稀疏信號進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)算法采用正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）［12］算法。每個稀疏度的信號重復(fù)實驗500次，計算重構(gòu)概率，如圖6所示。計算軟件為Matlab2015b。

圖6 四種矩陣重構(gòu)信號的概率與信號稀疏度的關(guān)系圖Fig.6 The Relationship Between the Probability of the Four Matrix Reconstruction Signals and the Signal Sparsity

由圖6可知，小波重構(gòu)矩陣和小波優(yōu)化矩陣對信號的重構(gòu)能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于余弦重構(gòu)矩陣和余弦重構(gòu)優(yōu)化矩陣對信號的重構(gòu)能力。且當(dāng)信號稀疏度小于40時，小波優(yōu)化矩陣對信號的重構(gòu)概率均為1。

由于0-1循環(huán)矩陣是確定性矩陣，該矩陣每一行元素都是由上一行元素移動一定位數(shù)得到的，結(jié)構(gòu)相似并且已經(jīng)確定。0-1循環(huán)矩陣為確定性矩陣，而對0-1循環(huán)矩陣做離散余弦變換，相當(dāng)于對測量矩陣各行做離散余弦變換，各列的元素都在相同的頻域，因此余弦重構(gòu)矩陣各列就會非常相似，失去了隨機性。即使對重構(gòu)矩陣做優(yōu)化也不能提高其隨機性，導(dǎo)致各列依然高度相關(guān)。對0-1循環(huán)矩陣做離散小波變換，是將矩陣中的元素進(jìn)行多層分解，各列的元素沒有處在相同的頻域，所以對小波重構(gòu)矩陣做優(yōu)化可以使列不相關(guān)性變好。

5 結(jié)論

通過分析基于不同稀疏基的重構(gòu)矩陣在優(yōu)化過程中的性質(zhì)變化以及分析不同的重構(gòu)矩陣和優(yōu)化矩陣重構(gòu)信號的能力，確定了小波重構(gòu)矩陣的重構(gòu)能力要好于余弦重構(gòu)矩陣的重構(gòu)能力，小波優(yōu)化矩陣的重構(gòu)能力要好于余弦優(yōu)化矩陣的重構(gòu)能力。這為單像素相機中重構(gòu)矩陣以及優(yōu)化矩陣的選取提供了堅實的技術(shù)支撐。