韓宗旺，張 偉，程 祥，鄭宏宇

（山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255000）

1 引言

根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，直線度誤差定義為被測實(shí)際直線相對于理想直線的變動(dòng)量，并且根據(jù)不同的要求，直線度公差帶的形狀可以分為給定平面內(nèi)的直線度誤差、給定方向上的直線度誤差、任意方上的直線度誤差［1］。這里所測量的軸線輪廓直線度屬于給定平面內(nèi)的直線度誤差。平面內(nèi)直線度誤差評(píng)定方法有：最小包容區(qū)域法、最小二乘法、兩端點(diǎn)連線法等［2］。其中后兩種方法得到近似值，最小包容區(qū)域法評(píng)定精度最高，但《GB/T 11336-2004直線度誤差檢測》［3］中沒有清晰地給出最小包容區(qū)域法的實(shí)現(xiàn)方法。

基于機(jī)器視覺檢測零件直線度，多采用最小二乘法與兩端點(diǎn)法［4-6］，當(dāng)零件變形較大時(shí)，線性關(guān)系降低，兩種方法就不適用。為快速、精確的對軸類零件直線度誤差進(jìn)行評(píng)定，利用機(jī)器視覺檢測平臺(tái)采集了多張軸零件的圖片，以提取的軸的素線坐標(biāo)為依據(jù)，分別用兩端點(diǎn)法，最小二乘法，以及所提出的約束旋轉(zhuǎn)逼近法、包容線搜索算法和多變異位自適應(yīng)遺傳算法進(jìn)行直線度評(píng)定，比較各評(píng)定方法精度和優(yōu)缺點(diǎn)。為了進(jìn)一步驗(yàn)證三種方法的準(zhǔn)確性，利用該三種方法對其它文獻(xiàn)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)定，并與文獻(xiàn)中的結(jié)果進(jìn)行比較。

2 直線度評(píng)定方法

2.1 兩端點(diǎn)法

兩端點(diǎn)法是將首尾兩個(gè)端點(diǎn)連接成一條直線，然后此連線作為評(píng)定基準(zhǔn)直線，找出采樣點(diǎn)與直線距離的最大值hmax和最小值hmin，建立直角坐標(biāo)系xoy，則直線度誤差為d1=hmax-hmin，如圖1所示。

圖1 兩端點(diǎn)法原理圖Fig.1 Schematic Diagram of Two-Point Method

2.2 最小二乘法

最小二乘法［7］是將采樣點(diǎn)先進(jìn)行最小二乘擬合出直線作為評(píng)定基準(zhǔn)直線，找出采樣點(diǎn)與基準(zhǔn)直線L2距離的最大值hmax和最小值hmin，則直線度誤差為：d2=hmax-hmin。其原理圖，如圖2所示。

圖2 最小二乘法原理圖Fig.2 Schematic Diagram of Least Square Method

2.3 約束旋轉(zhuǎn)逼近法

約束旋轉(zhuǎn)逼近法是通過算法對搜索范圍進(jìn)行約束，其原理與實(shí)現(xiàn)方法如下：

首先將采樣點(diǎn)進(jìn)行最小二乘擬合，得到基點(diǎn)P，計(jì)算全部采樣點(diǎn)到最小二乘直線的距離，假設(shè)得到最大值點(diǎn)M1與最小值點(diǎn)M2位置，如圖3所示。將這兩個(gè)點(diǎn)分別與P點(diǎn)相連，兩直線夾角β即為搜索范圍，如式（1）所示。

圖3 約束旋轉(zhuǎn)逼近法原理圖Fig.3 Schematic Diagram of Constrained Rotation Approximation Method

由搜索次數(shù)得到斜率變化量μ，如式（2）所示。

式中：e—搜索次數(shù)。進(jìn)而得到分割基線方程為：

初始最小二乘直線繞P點(diǎn)在搜索范圍內(nèi)逆時(shí)針和順時(shí)針分別旋轉(zhuǎn)角度，計(jì)算每一條分割直線對應(yīng)于所設(shè)角度的直線度誤差值，假設(shè)L4位置的時(shí)候直線度誤差值最小，計(jì)算采樣點(diǎn)到該直線距離的最大值hmax和最小值hmin，則直線度誤差d3=hmax-hmin。

2.4 多變異位自適應(yīng)遺傳算法

最小區(qū)域法［8-9］實(shí)際上是尋找包容被測輪廓的兩平行直線之間距離的最小值。包容被測輪廓的兩平行直線存在無數(shù)對，但只有一對距離最小。換言之，一對理想包容參考直線其斜率值可以有無數(shù)個(gè)，但要符合最小條件使兩平行包容線之間距離最小，只有一個(gè)斜率是最佳的。因此，可以用多變異位自適應(yīng)遺傳算法來解決這個(gè)最優(yōu)化問題［10］。

本方法在最小包容區(qū)域法思想上，結(jié)合自適應(yīng)改變交叉概率與變異概率以及多變異位方式的遺傳算法的優(yōu)點(diǎn)，尋找兩條最小包容平行直線的最佳斜率k，求斜率為k的包絡(luò)所有點(diǎn)的兩條直線截距，進(jìn)一步計(jì)算出直線度誤差，具體過程如下：

（1）根據(jù)被測點(diǎn)坐標(biāo)，用最小二乘法擬合出參考直線，得到直線斜率k。

（2）確定種群規(guī)模N、交叉概率Pc1、Pc2，變異概率Pm1、Pm2和最大進(jìn)化代數(shù)M。

（3）編碼構(gòu)成初始種群A0（t）。由于最優(yōu)解與最小二乘解的斜率偏差很小，所以選擇解搜索區(qū)間為（k-1～k+1）并對斜率進(jìn)行二進(jìn)制編碼構(gòu)成初始種群。

（4）計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度fi。目標(biāo)函數(shù)為N個(gè)個(gè)體所對應(yīng)的直線度誤差：

式中：D—直線度誤差，即兩條最小包容平行直線之間的距離；dmax、dmin—兩條最小包容平行直線所對應(yīng)的截距；k—平行包容直線斜率。

由于目標(biāo)函數(shù)的變化方向和適應(yīng)度相反，將目標(biāo)函數(shù)取倒數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)，其映射關(guān)系為：

（5）選擇操作，采用輪盤賭選擇法，經(jīng)過選擇后得到N個(gè)新個(gè)體A1（t）。

（6）交叉操作。首先引入交叉概率和變異概率調(diào)整函數(shù)，使得交叉概率和變異概率隨著個(gè)體適應(yīng)度的大小和群體的分布程度自動(dòng)調(diào)整［11］：

式中：fmax、favg—計(jì)算群體中最大適應(yīng)度值和平均適應(yīng)度值；f'—待交叉的兩個(gè)體中適應(yīng)度較大的一個(gè)；f—待變異個(gè)體的適應(yīng)度值。

從新個(gè)體中以相同概率獨(dú)立的選擇兩個(gè)個(gè)體，產(chǎn)生一個(gè)［0，1］的隨機(jī)數(shù)，如果該隨機(jī)數(shù)小于交叉概率，則個(gè)體1和個(gè)體2進(jìn)行交叉操作，產(chǎn)生兩個(gè)新個(gè)體；否則保留原個(gè)體，不進(jìn)行交叉操作，重復(fù)此過程，直到形成過渡種群A2（t）。其交叉示意圖，如圖4所示。

圖4 二進(jìn)制編碼交叉操作Fig.4 Binary Code Crossover Operation

（7）變異操作。計(jì)算種群中適應(yīng)度的最大值與最小值是否相等，如果相等，根據(jù)變異概率，隨機(jī)產(chǎn)生過渡種群中個(gè)體的一個(gè)變異位；如果不相等，則計(jì)算最大適應(yīng)度值與個(gè)體適應(yīng)度值之差，最大適應(yīng)度值與最小適應(yīng)度值之差，若兩者比值大于MM，則隨機(jī)產(chǎn)生過渡種群中個(gè)體的三個(gè)變異位，若比值大于1小于MM，則隨機(jī)產(chǎn)生過渡種群中個(gè)體的兩個(gè)變異位。這樣便形成新一代的種群A3（t），然后計(jì)算新一代適應(yīng)度值。

（8）檢查進(jìn)化代數(shù)是否達(dá)到預(yù)設(shè)值。

（9）保存適應(yīng)度最大的個(gè)體其所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值即為最終的直線度誤差值。

2.5 包容線搜索算法

針對已有符合最小包容區(qū)域法定義方法在計(jì)算直線度誤差迭代速度慢、計(jì)算復(fù)雜的缺點(diǎn)，提出根據(jù)最小包容區(qū)域原則的包容線搜索算法來評(píng)定直線度誤差方法。

首先利用最小二乘法得出擬合基線L3，如圖5所示。設(shè)其直線方程為：

圖5 包容線搜索算法原理圖Fig.5 Schematic Diagram of Envelope Search Method

以基線為界將采樣點(diǎn)分為高點(diǎn)和低點(diǎn)，尋找離擬合線距離最遠(yuǎn)高點(diǎn)P1，以P1點(diǎn)為基點(diǎn)，以最小二乘擬合直線斜率k1做一條直線L4，通過改變直線L4的斜率使采樣點(diǎn)均位于直線下方或直線上，確定臨界點(diǎn)P2。

若最小二乘擬合直線斜率大于0，則直線L4應(yīng)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，a取負(fù)值；如果斜率小于0，則直線L4應(yīng)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，a取正值，然后根據(jù)斜率ki變化計(jì)算出相應(yīng)的截距，其公式為：

將除P1外的其它測點(diǎn)坐標(biāo)帶入式（11）中，ki每變化一次，對采樣點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，理論上當(dāng)W=0時(shí)得到臨界點(diǎn)P2，但實(shí)際上由于步長a大小的設(shè)置，會(huì)出現(xiàn)臨界點(diǎn)P2處于兩次掃描直線之間的情況，此時(shí)需滿足：

根據(jù)P1、P2點(diǎn)確定相對應(yīng)的上包容線y=kx+m1，然后過最遠(yuǎn)采樣點(diǎn)P3作與直線平行的下包容線y=kx+m2，此時(shí)P1、P2、P3，三個(gè)點(diǎn)滿足最小區(qū)域的“高低高”準(zhǔn)則。計(jì)算兩包容線之間的距離即為直線度誤差。

以同樣的方法先找下包容線，尋找滿足最小區(qū)域的“低高低”準(zhǔn)則的三點(diǎn)，然后按上述步驟計(jì)算后也會(huì)求得一對包容線的距離，將兩次計(jì)算得到的距離最小值作為所求直線度誤差。

3 直線度誤差評(píng)定實(shí)驗(yàn)

3.1 軸的素線直線度檢測

為比較各種直線度誤差評(píng)定算法的精度，利用基于機(jī)器視覺的軸類零件直線度誤差測量的平臺(tái)，采用CMOS 相機(jī)（型號(hào)：MER-2000-19U3C）作為檢測相機(jī)，測量100×φ20mm 軸的素線直線度誤差，采集了若干張軸的圖像，如圖6所示。經(jīng)圖像濾波、閾值分割、形態(tài)學(xué)操作等，提取軸的邊緣圖像，如圖7所示。

圖6 機(jī)器視覺采集被測軸圖像Fig.6 Machine Vision Acquisition of the Measured Axis Image

圖7 軸的上下邊緣檢測圖Fig.7 Upper and Lower Edge Detection Graph of Shaft

對CMOS相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定，提取圖像素線輪廓坐標(biāo)數(shù)據(jù)，共有2776個(gè)像素?cái)?shù)據(jù)。為了便于計(jì)算和數(shù)據(jù)顯示，將圖像坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行平移，采用兩端點(diǎn)評(píng)定方法得到的直線度，如圖8所示。采用最小二乘法評(píng)定方法得到直線度誤差，如圖9所示。

圖8 兩端點(diǎn)法直線度評(píng)定Fig.8 Straightness Evaluation by Two end Point Method

圖9 最小二乘法直線度評(píng)定Fig.9 Straightness Evaluation by Least Square Method

采用約束旋轉(zhuǎn)逼近法時(shí)，根據(jù)搜索區(qū)域確定β角度約為1°，順時(shí)針逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度各為0.5°，根據(jù)式（1）～式（3），選擇搜索次數(shù)e=400次，則μ=4.36×10-5。結(jié)果，如圖10所示。采用包容線搜索算法時(shí)，a為一個(gè)數(shù)值很小的步長，a太小會(huì)影響計(jì)算速度，太大則會(huì)影響計(jì)算結(jié)果，這里a取值為10-5，結(jié)果，如圖11所示。

圖11 包容線搜索直線度評(píng)定Fig.11 Straightness Evaluation of Envelope Search

采用多變異位自適應(yīng)遺傳算法時(shí)，選取種群規(guī)模為N=300，交叉概率Pc1=0.6、Pc2=0.9，變異概率Pm1=0.01、Pm2=0.04，最大進(jìn)化代數(shù)M=300，結(jié)果，如圖12所示。

圖12 多變異位自適應(yīng)遺傳算法的直線度評(píng)定Fig.12 Straightness Svaluation of Multivariate Heterotopic Adaptive Genetic Algorithm

4 結(jié)果分析

經(jīng)過多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，其運(yùn)算結(jié)果表明，兩端點(diǎn)法和最小二乘法評(píng)定結(jié)果與其它方法評(píng)定結(jié)果相差較大；采用包容線搜索算法、約束旋轉(zhuǎn)逼近法和多變異位自適應(yīng)遺傳算法評(píng)定結(jié)果相差較小，較前兩種方法精度均有提高，其中多變異位自適應(yīng)遺傳算法的評(píng)定精度最高，但運(yùn)行時(shí)間最長，而包容線搜索算法、約束旋轉(zhuǎn)逼近法運(yùn)行時(shí)間比較短。各算法直線度評(píng)定結(jié)果，如表1所示。

表1 各算法評(píng)定結(jié)果Tab.1 Calculation Results of Each Algorithm

5 結(jié)果比較

文獻(xiàn)［12］中分別用傳統(tǒng)遺傳算法、粒子群算法對16個(gè)數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行直線度評(píng)定，數(shù)據(jù)，如表2所示。為驗(yàn)證這里算法的準(zhǔn)確性，利用文獻(xiàn)數(shù)據(jù)對這里的三種評(píng)定方法進(jìn)行驗(yàn)證，并繪制出評(píng)定數(shù)據(jù)處理后的曲線圖，如圖13～圖15所示。

表2 文獻(xiàn)［12］評(píng)定數(shù)據(jù)Tab.2 Evaluation Data of Literature［12］

圖13 包容線搜索算法評(píng)定Fig.13 Evaluation of Envelope Search Algorithm

圖14 約束旋轉(zhuǎn)逼近法直線度評(píng)定Fig.14 Straightness Evaluation of Constrained Rotation Approximation Method

圖15 多變異位自適應(yīng)遺傳算法的直線度評(píng)定Fig.15 Straightness Evaluation of Multivariate Heterotopic Adaptive Genetic Algorithm

表2數(shù)據(jù)采用文獻(xiàn)［12］中的評(píng)定方法評(píng)定結(jié)果，如表3所示。采用包容線搜索算法、約束旋轉(zhuǎn)逼近法和多變異位自適應(yīng)遺傳算法評(píng)定結(jié)果，如表4所示。

表3 文獻(xiàn)［12］中的評(píng)定結(jié)果Tab.3 Evaluation Results in Literature［12］

表4 數(shù)據(jù)評(píng)定結(jié)果Tab.4 Data Evaluation Results

通過比較表3、表4的結(jié)果得到：利用提出的包容線搜索算法和約束旋轉(zhuǎn)逼近法得到的直線度誤差與文獻(xiàn)［12］中的傳統(tǒng)遺傳算法、粒子群法得到的直線度誤差基本相同，多變異位自適應(yīng)遺傳算法的檢測結(jié)果（0.011804）比文獻(xiàn)［12］中遺傳算法（0.011958）結(jié)果誤差更??；且與文獻(xiàn)［12］中粒子群算法結(jié)果基本一致，但這里的方法收斂速度更快。

6 結(jié)論

機(jī)器視覺檢測軸類零件素線直線度常用最小二乘法與兩端點(diǎn)法進(jìn)行評(píng)定，為進(jìn)一步提高檢測精度，提出約束旋轉(zhuǎn)逼近法、多變異位自適應(yīng)遺傳算法和包容線搜索算法三種直線度評(píng)定方法，對視覺檢測所提取的軸素線坐標(biāo)直線度誤差進(jìn)行了評(píng)定。結(jié)果表明：約束旋轉(zhuǎn)逼近法、包容線搜索算法和多變異位自適應(yīng)遺傳算法的評(píng)定精度高于兩端點(diǎn)法和最小二乘法。約束旋轉(zhuǎn)逼近法和包容線搜索算法運(yùn)行時(shí)間基本相同，多變異位自適應(yīng)遺傳算法運(yùn)行時(shí)間最長。最后采用此三種方法對文獻(xiàn)數(shù)據(jù)評(píng)定與結(jié)果比較，結(jié)果表明這三種方法和文獻(xiàn)的評(píng)定結(jié)果基本一致。因此，約束旋轉(zhuǎn)逼近法、多變異位自適應(yīng)遺傳算法以及包容線搜索算法都能夠很好滿足精確的檢測與評(píng)定需求，在視覺檢測零件直線度中可以根據(jù)檢測時(shí)間和精度進(jìn)行選擇。