洛倫茲減搖穩(wěn)定平臺二自由度內(nèi)?？刂?/h1>
2023-09-21 03:53:06劉志國
機械設(shè)計與制造 2023年9期
劉 強，劉志國，李 衡
（北京石油化工學(xué)院精密電磁裝備與先進測量技術(shù)研究所，北京 102617）
1 引言
洛倫茲減搖穩(wěn)定平臺［1］采用無接觸摩擦的洛倫茲磁軸承［2-3］代替?zhèn)鹘y(tǒng)的兩軸伺服機構(gòu)，實現(xiàn)俯仰軸和橫滾軸兩自由度偏轉(zhuǎn)機動，對載荷的姿態(tài)晃動進行大角度減搖，在機載視頻監(jiān)控儀、艦載雷達天線、車載錄像設(shè)備等軍事及民用領(lǐng)域擁有廣闊的應(yīng)用前景。然而，洛倫茲減搖穩(wěn)定平臺雖通過洛倫茲磁軸承實現(xiàn)徑向懸浮偏轉(zhuǎn)，但其在軸向支撐上采用機械接觸的球面滾珠軸承和支撐體組件，仍存在一定摩擦力干擾，且由于滾珠軸承存在加工制造誤差、機械磨損、潤滑油泄漏和外界溫度變化，摩擦力存在非線性變化［4］。由于洛倫茲減搖穩(wěn)定平臺的工作特性，平臺徑向偏轉(zhuǎn)角速度經(jīng)常過零，在低速啟動時，摩擦力作為主要干擾，會引發(fā)平臺抖振現(xiàn)象。因此，基于摩擦干擾模型的精確建模和采用合理的控制策略是進一步提高平臺控制精度的關(guān)鍵。目前有關(guān)摩擦模型和干擾補償控制的研究較為廣泛，文獻［5］將Stribeck摩擦模型應(yīng)用于艦炮伺服系統(tǒng)，通過仿真實驗較好地描述出摩擦環(huán)節(jié)的影響。文獻［7］通過仿真深入分析對比了現(xiàn)有庫倫摩擦模型、Stribeck模型、LuGre模型［6］等主流摩擦模型，證明了LuGre模型具有更好的貼合性。文獻［8］將LuGre模型引入車輛輪胎原地轉(zhuǎn)向阻力矩的分析中，為重型車輛液壓助力轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的匹配設(shè)計奠定了理論基礎(chǔ)。
洛倫茲減搖穩(wěn)定平臺作為一種新型主動減搖裝置，相關(guān)的模型研究較少，因此，在平臺偏轉(zhuǎn)動力學(xué)建模中引入了LuGre摩擦模型。同時，考慮到二自由度內(nèi)?？刂品椒ň哂恤敯粜詮?、參數(shù)整定簡單、動態(tài)跟蹤和擾動抑制能力可獨立調(diào)節(jié)等優(yōu)點［9-10］，適用于解決繞組自感效應(yīng)引起系統(tǒng)時滯的問題，并滿足平臺自身快響應(yīng)、抗干擾的工作需求?；诙杂啥葍?nèi)?？刂扑枷?，設(shè)計了平臺偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)二自由度內(nèi)模控制器，并進行了MATLAB/Simulink仿真，基于仿真結(jié)果，分析驗證了該二自由度內(nèi)?？刂撇呗缘目尚行浴?/p>
2 洛倫茲減搖穩(wěn)定平臺動力學(xué)建模
洛倫茲減搖穩(wěn)定平臺結(jié)構(gòu)示意圖，如圖1所示。主要包括球形動子（承受載體載荷、執(zhí)行偏轉(zhuǎn)動作）、洛倫茲磁軸承（驅(qū)動動子偏轉(zhuǎn)）、角速率陀螺儀（測量動子偏轉(zhuǎn)角速率）和球面滾珠軸承（軸向支撐、輔助動子偏轉(zhuǎn)）。當(dāng)外界擾動引起載荷姿態(tài)晃動時，角速率陀螺通過角度零位對準(zhǔn)運算實時監(jiān)測平臺瞬時姿態(tài)角，并將位置信號傳遞至系統(tǒng)控制器?？刂破鞲鶕?jù)平臺目標(biāo)位置計算洛倫茲磁軸承繞組電流大小和方向，并將其加載至正交放置于靜態(tài)永磁磁場中的成對繞組內(nèi)，轉(zhuǎn)換成安培力Fi驅(qū)動動子沿x、y方向偏轉(zhuǎn)，實現(xiàn)載荷減搖。
圖1 洛倫茲減搖穩(wěn)定平臺結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic Diagram of the Structure of the Lorentz Anti-Roll Stabilized Platform
洛倫茲磁軸承產(chǎn)生電磁力依據(jù)安培力定律，磁軸承內(nèi)通電繞組產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)力矩可表示為：
式中：Mx、My—磁軸承在x、y方向的偏轉(zhuǎn)力矩；n—繞組匝數(shù)；B—氣隙磁感應(yīng)強度；L—單層單匝繞組線圈的有效長度；lm—轉(zhuǎn)動力臂長度；ix、iy—x、y方向繞組電流。
在考慮摩擦干擾的情況下，根據(jù)牛頓第二定律，平臺動子的轉(zhuǎn)動方程可表示為：
式中：α、β—動子繞x、y軸方向偏轉(zhuǎn)角度；
Jx、Jy—動子赤道轉(zhuǎn)動慣量。
對式（2）進行拉普拉斯變換可得：
式中：τ—控制系統(tǒng)延時；Tf—摩擦干擾力矩。
摩擦力矩Tf的LuGre模型，如式（4）所示。
式中：z—鬃毛形變量；θ—動子偏轉(zhuǎn)角度；σ0—鬃毛剛度系數(shù)，Tc和庫倫摩擦力矩；Ts—最大靜摩擦力矩；ws—臨界Stribeck 速度；σ1—鬃毛阻尼系數(shù)；σ2—粘性摩擦系數(shù)。其中，Tc、Ts、ws、σ2、σ0和σ1等參數(shù)均可通過摩擦力矩辨識試驗得到。
3 控制器設(shè)計
二自由度內(nèi)模控制器繼承了內(nèi)?？刂频膶ε挤€(wěn)定、理想控制器和零穩(wěn)態(tài)誤差等特性，同時相比傳統(tǒng)的單自由度內(nèi)模控制，具有兩個可調(diào)參數(shù)，可以通過調(diào)節(jié)兩個可調(diào)參數(shù)λ1和λ2，分別調(diào)整系統(tǒng)動態(tài)性能和抗干擾能力。設(shè)計的平臺偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)的二自由度內(nèi)?？刂破?，以x方向繞組為例，如圖2所示。
圖2 二自由度內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)及其等效變換圖Fig.2 Two-Degree-of-Freedom Internal Model Control System and its Equivalent Transformation Diagram
如圖2所示的二自由度內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)輸出Y（s）可表示為：
式中：Gp（s）—實際被控對象；Gm（s）—被控對象的數(shù)學(xué)模型；Q1（s）、
Q2（s）—二自由度的內(nèi)模控制器，且滿足下式關(guān)系：
式中：F1（s）、F2（s）—低通濾波器。
當(dāng)內(nèi)部模型精確時，式（5）可寫成：
可知當(dāng)內(nèi)部模型Gm（s）準(zhǔn)確描述被控對象Gp（s）時，則由Q1（s）決定系統(tǒng)輸入的跟隨性能，Q2（s）決定系統(tǒng)干擾的抑制性能。控制系統(tǒng)經(jīng)等效變換后有：
式中：C1（s）、C2（s）—設(shè)定值濾波器、控制器。
此時系統(tǒng)輸出可表示為：
以控制動子繞y軸偏轉(zhuǎn)的x方向線圈為例，對延時環(huán)節(jié)e-τs做一階帕德近似。
被控對象傳遞函數(shù)Gp（s）可表示為：
選取低通濾波器：
式中：λ1、λ2—可調(diào)濾波器時間常數(shù)。
聯(lián)立式（8）、式（9）、式（11）、式（12）可求出設(shè)定值濾波器C1（s）和控制器C2（s）：
同理，可求y方向線圈的二自由度內(nèi)?？刂破?。二自由度內(nèi)模控制系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置，如表1所示。
表1 偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Deflection System Parameters
4 仿真分析
4.1 摩擦干擾力矩仿真分析
基于MATLAB/SIMULINK平臺搭建LuGre模型仿真模塊，得到摩擦力矩曲線，如圖3所示。由摩擦力矩曲線可以看出，在摩擦干擾作用下，平臺內(nèi)部摩擦力矩隨偏轉(zhuǎn)角速度的增長，呈現(xiàn)先減小后增大的非線性走向。未補償摩擦干擾的角速度跟隨曲線，如圖4所示?？梢钥闯鲈谀Σ亮Ω蓴_作用下，平臺的偏轉(zhuǎn)角速度曲線在過零時存在0.2s的死區(qū)，與平臺啟動抖振等實際現(xiàn)象相符。
圖3 摩擦力矩曲線Fig.3 Curve of Friction Torque
圖4 未補償摩擦干擾的偏轉(zhuǎn)角速度曲線Fig.4 Curve of Deflection Angular Velocity Without Compensation of Friction
4.2 動態(tài)性能仿真分析
給定x方向洛倫茲磁軸承一個角度偏轉(zhuǎn)信號：在0.5s時刻，令動子從初始零位正向偏轉(zhuǎn)2°，3.5s時刻恢復(fù)至0°。二自由度內(nèi)?？刂普娼Y(jié)果，如圖5所示。其中，a、b、c曲線分別對應(yīng)設(shè)定值濾波器參數(shù)λ1為0.018、0.022和0.0105的情況（控制器參數(shù)λ2均設(shè)置為0.029）。圖5仿真結(jié)果表明，二自由度內(nèi)?？刂颇茌^好的滿足控制系統(tǒng)的動態(tài)性能需求，其中，b曲線響應(yīng)速度最快，但超調(diào)量較大，約為20%；c曲線無超調(diào)，但響應(yīng)時間較慢。相比b和c曲線，a曲線響應(yīng)速度較快僅為0.1s，且超調(diào)量較小，說明λ1取0.018時能更好地符合平臺控制需求。
圖5 響應(yīng)速度仿真圖Fig.5 Simulation Diagram of Response Speed
4.3 抗干擾能力仿真分析
對平臺控制系統(tǒng)施加一個頻率為1Hz的角度擾動：在2s時刻開始作用的2sin（2πt）°正弦信號。二自由度內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)的抗干擾能力，如圖6所示。其中，其中，a、d、e曲線分別對應(yīng)控制器參數(shù)λ2為0.029、0.035和0.04的情況（設(shè)定值濾波器參數(shù)λ1均設(shè)置為0.018）。由圖6仿真結(jié)果表明，在2sin（2πt）°的干擾信號作用下，a曲線將2°擾動量衰減為2×10-3°，干擾殘余量為原干擾的0.1%，約為d曲線（λ2為0.035）的71%和e曲線（λ2為0.04）的58%，具有更強的抗干擾能力。綜合上述二自由度內(nèi)?？刂品抡娼Y(jié)果可知，通過分別設(shè)置設(shè)定值濾波器參數(shù)λ1和控制器參數(shù)λ2，可實現(xiàn)平臺偏轉(zhuǎn)控制系統(tǒng)的動態(tài)性能和抗干擾能力獨立調(diào)節(jié)。
圖6 抗干擾能力仿真圖Fig.6 Simulation Diagram of Anti-Interference Ability
5 結(jié)論
（1）為準(zhǔn)確描述洛倫茲減搖穩(wěn)定平臺非線性摩擦特性，在建模過程中引入LuGre摩擦模型，為平臺的摩擦參數(shù)辨識和控制器設(shè)計奠定了基礎(chǔ)。（2）基于內(nèi)模控制思想，設(shè)計了平臺的二自由度內(nèi)?？刂品桨?。通過調(diào)整控制器參數(shù)λ1和λ2，可實現(xiàn)對控制系統(tǒng)動態(tài)性能和抗干擾能力的獨立調(diào)節(jié)。（3）這里提出的二自由度內(nèi)?？刂品桨?，經(jīng)參數(shù)整定后，控制系統(tǒng)響應(yīng)速度約為0.1s，擾動量衰減為原來的0.1%，能較好的滿足洛倫茲減搖穩(wěn)定平臺的控制需求，對實際工程應(yīng)用具有理論指導(dǎo)意義。
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洛倫茲減搖穩(wěn)定平臺作為一種新型主動減搖裝置，相關(guān)的模型研究較少，因此，在平臺偏轉(zhuǎn)動力學(xué)建模中引入了LuGre摩擦模型。同時，考慮到二自由度內(nèi)?？刂品椒ň哂恤敯粜詮?、參數(shù)整定簡單、動態(tài)跟蹤和擾動抑制能力可獨立調(diào)節(jié)等優(yōu)點［9-10］，適用于解決繞組自感效應(yīng)引起系統(tǒng)時滯的問題，并滿足平臺自身快響應(yīng)、抗干擾的工作需求?；诙杂啥葍?nèi)?？刂扑枷?，設(shè)計了平臺偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)二自由度內(nèi)模控制器，并進行了MATLAB/Simulink仿真，基于仿真結(jié)果，分析驗證了該二自由度內(nèi)?？刂撇呗缘目尚行浴?/p>
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圖1 洛倫茲減搖穩(wěn)定平臺結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic Diagram of the Structure of the Lorentz Anti-Roll Stabilized Platform
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式中：Mx、My—磁軸承在x、y方向的偏轉(zhuǎn)力矩；n—繞組匝數(shù)；B—氣隙磁感應(yīng)強度；L—單層單匝繞組線圈的有效長度；lm—轉(zhuǎn)動力臂長度；ix、iy—x、y方向繞組電流。
在考慮摩擦干擾的情況下，根據(jù)牛頓第二定律，平臺動子的轉(zhuǎn)動方程可表示為：
式中：α、β—動子繞x、y軸方向偏轉(zhuǎn)角度；
Jx、Jy—動子赤道轉(zhuǎn)動慣量。
對式（2）進行拉普拉斯變換可得：
式中：τ—控制系統(tǒng)延時；Tf—摩擦干擾力矩。
摩擦力矩Tf的LuGre模型，如式（4）所示。
式中：z—鬃毛形變量；θ—動子偏轉(zhuǎn)角度；σ0—鬃毛剛度系數(shù)，Tc和庫倫摩擦力矩；Ts—最大靜摩擦力矩；ws—臨界Stribeck 速度；σ1—鬃毛阻尼系數(shù)；σ2—粘性摩擦系數(shù)。其中，Tc、Ts、ws、σ2、σ0和σ1等參數(shù)均可通過摩擦力矩辨識試驗得到。
3 控制器設(shè)計
二自由度內(nèi)模控制器繼承了內(nèi)?？刂频膶ε挤€(wěn)定、理想控制器和零穩(wěn)態(tài)誤差等特性，同時相比傳統(tǒng)的單自由度內(nèi)模控制，具有兩個可調(diào)參數(shù)，可以通過調(diào)節(jié)兩個可調(diào)參數(shù)λ1和λ2，分別調(diào)整系統(tǒng)動態(tài)性能和抗干擾能力。設(shè)計的平臺偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)的二自由度內(nèi)?？刂破?，以x方向繞組為例，如圖2所示。
圖2 二自由度內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)及其等效變換圖Fig.2 Two-Degree-of-Freedom Internal Model Control System and its Equivalent Transformation Diagram
如圖2所示的二自由度內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)輸出Y（s）可表示為：
式中：Gp（s）—實際被控對象；Gm（s）—被控對象的數(shù)學(xué)模型；Q1（s）、
Q2（s）—二自由度的內(nèi)模控制器，且滿足下式關(guān)系：
式中：F1（s）、F2（s）—低通濾波器。
當(dāng)內(nèi)部模型精確時，式（5）可寫成：
可知當(dāng)內(nèi)部模型Gm（s）準(zhǔn)確描述被控對象Gp（s）時，則由Q1（s）決定系統(tǒng)輸入的跟隨性能，Q2（s）決定系統(tǒng)干擾的抑制性能。控制系統(tǒng)經(jīng)等效變換后有：
式中：C1（s）、C2（s）—設(shè)定值濾波器、控制器。
此時系統(tǒng)輸出可表示為：
以控制動子繞y軸偏轉(zhuǎn)的x方向線圈為例，對延時環(huán)節(jié)e-τs做一階帕德近似。
被控對象傳遞函數(shù)Gp（s）可表示為：
選取低通濾波器：
式中：λ1、λ2—可調(diào)濾波器時間常數(shù)。
聯(lián)立式（8）、式（9）、式（11）、式（12）可求出設(shè)定值濾波器C1（s）和控制器C2（s）：
同理，可求y方向線圈的二自由度內(nèi)?？刂破?。二自由度內(nèi)模控制系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置，如表1所示。
表1 偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Deflection System Parameters
4 仿真分析
4.1 摩擦干擾力矩仿真分析
基于MATLAB/SIMULINK平臺搭建LuGre模型仿真模塊，得到摩擦力矩曲線，如圖3所示。由摩擦力矩曲線可以看出，在摩擦干擾作用下，平臺內(nèi)部摩擦力矩隨偏轉(zhuǎn)角速度的增長，呈現(xiàn)先減小后增大的非線性走向。未補償摩擦干擾的角速度跟隨曲線，如圖4所示?？梢钥闯鲈谀Σ亮Ω蓴_作用下，平臺的偏轉(zhuǎn)角速度曲線在過零時存在0.2s的死區(qū)，與平臺啟動抖振等實際現(xiàn)象相符。
圖3 摩擦力矩曲線Fig.3 Curve of Friction Torque
圖4 未補償摩擦干擾的偏轉(zhuǎn)角速度曲線Fig.4 Curve of Deflection Angular Velocity Without Compensation of Friction
4.2 動態(tài)性能仿真分析
給定x方向洛倫茲磁軸承一個角度偏轉(zhuǎn)信號：在0.5s時刻，令動子從初始零位正向偏轉(zhuǎn)2°，3.5s時刻恢復(fù)至0°。二自由度內(nèi)?？刂普娼Y(jié)果，如圖5所示。其中，a、b、c曲線分別對應(yīng)設(shè)定值濾波器參數(shù)λ1為0.018、0.022和0.0105的情況（控制器參數(shù)λ2均設(shè)置為0.029）。圖5仿真結(jié)果表明，二自由度內(nèi)?？刂颇茌^好的滿足控制系統(tǒng)的動態(tài)性能需求，其中，b曲線響應(yīng)速度最快，但超調(diào)量較大，約為20%；c曲線無超調(diào)，但響應(yīng)時間較慢。相比b和c曲線，a曲線響應(yīng)速度較快僅為0.1s，且超調(diào)量較小，說明λ1取0.018時能更好地符合平臺控制需求。
圖5 響應(yīng)速度仿真圖Fig.5 Simulation Diagram of Response Speed
4.3 抗干擾能力仿真分析
對平臺控制系統(tǒng)施加一個頻率為1Hz的角度擾動：在2s時刻開始作用的2sin（2πt）°正弦信號。二自由度內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)的抗干擾能力，如圖6所示。其中，其中，a、d、e曲線分別對應(yīng)控制器參數(shù)λ2為0.029、0.035和0.04的情況（設(shè)定值濾波器參數(shù)λ1均設(shè)置為0.018）。由圖6仿真結(jié)果表明，在2sin（2πt）°的干擾信號作用下，a曲線將2°擾動量衰減為2×10-3°，干擾殘余量為原干擾的0.1%，約為d曲線（λ2為0.035）的71%和e曲線（λ2為0.04）的58%，具有更強的抗干擾能力。綜合上述二自由度內(nèi)?？刂品抡娼Y(jié)果可知，通過分別設(shè)置設(shè)定值濾波器參數(shù)λ1和控制器參數(shù)λ2，可實現(xiàn)平臺偏轉(zhuǎn)控制系統(tǒng)的動態(tài)性能和抗干擾能力獨立調(diào)節(jié)。
圖6 抗干擾能力仿真圖Fig.6 Simulation Diagram of Anti-Interference Ability
5 結(jié)論
（1）為準(zhǔn)確描述洛倫茲減搖穩(wěn)定平臺非線性摩擦特性，在建模過程中引入LuGre摩擦模型，為平臺的摩擦參數(shù)辨識和控制器設(shè)計奠定了基礎(chǔ)。（2）基于內(nèi)模控制思想，設(shè)計了平臺的二自由度內(nèi)?？刂品桨?。通過調(diào)整控制器參數(shù)λ1和λ2，可實現(xiàn)對控制系統(tǒng)動態(tài)性能和抗干擾能力的獨立調(diào)節(jié)。（3）這里提出的二自由度內(nèi)?？刂品桨?，經(jīng)參數(shù)整定后，控制系統(tǒng)響應(yīng)速度約為0.1s，擾動量衰減為原來的0.1%，能較好的滿足洛倫茲減搖穩(wěn)定平臺的控制需求，對實際工程應(yīng)用具有理論指導(dǎo)意義。
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