李東峰，李冬梅，張 嶸，賀曉霞

（清華大學(xué) 精密儀器系，北京 100084）

慣性儀器的性能對(duì)溫度變化十分敏感。真空懸浮金屬球轉(zhuǎn)子作為一種高精度導(dǎo)航儀器的核心部件，從室溫狀態(tài)啟動(dòng)后必須要與支承電極碗實(shí)現(xiàn)溫度平衡后，方可進(jìn)入工作狀態(tài)[1]。由于懸浮轉(zhuǎn)子與外部腔體無機(jī)械接觸，僅依靠輻射傳熱實(shí)現(xiàn)熱平衡所需時(shí)間較長，文獻(xiàn)[2]的研究指出轉(zhuǎn)子熱平衡過程的時(shí)間常數(shù)約為6.6 小時(shí)，平衡過程歷時(shí)20 小時(shí)以上，極大地制約了測試系統(tǒng)的啟動(dòng)效率。目前國內(nèi)外尚無相關(guān)研究對(duì)轉(zhuǎn)子升溫平衡過程進(jìn)行主動(dòng)加熱控制。

針對(duì)金屬球轉(zhuǎn)子在交變磁場中的不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，文獻(xiàn)[3-5]對(duì)金屬球上產(chǎn)生的電渦流及熱效應(yīng)進(jìn)行了研究，為尋找主動(dòng)磁感應(yīng)加熱方式提供了思路。文獻(xiàn)[6]在優(yōu)化線圈結(jié)構(gòu)的研究中完善了旋轉(zhuǎn)磁場的加轉(zhuǎn)模型，文獻(xiàn)[7]進(jìn)一步在改進(jìn)模型中發(fā)現(xiàn)：可以在不改變現(xiàn)有結(jié)構(gòu)條件下，調(diào)節(jié)兩路線圈中加載控制信號(hào)的相位差，產(chǎn)生一種特殊旋轉(zhuǎn)橢圓磁場，對(duì)高速旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子進(jìn)行非接觸式感應(yīng)加熱，在不引入額外轉(zhuǎn)矩改變轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的條件下顯著提升轉(zhuǎn)子溫升速率。文獻(xiàn)[7]的研究從仿真計(jì)算證明了零施矩感應(yīng)加熱方案的可行性，但未進(jìn)行相關(guān)控制方案設(shè)計(jì)與工程化應(yīng)用。

因此，為了解決金屬球轉(zhuǎn)子進(jìn)入高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)后升溫緩慢問題，本文以文獻(xiàn)[7]提出的感應(yīng)加熱方法為手段，引入模糊控制方式調(diào)整兩路線圈中的控制信號(hào)相位差，利用數(shù)字控制技術(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行主動(dòng)加熱控制。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，借助模糊控制方法，可以在維持轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速條件下，實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)子的持續(xù)穩(wěn)定加熱，有效縮短熱平衡時(shí)間至5 小時(shí)以內(nèi)，極大地提升儀器測試系統(tǒng)整體啟動(dòng)效率。

1 旋轉(zhuǎn)橢圓磁場

1.1 轉(zhuǎn)子-線圈加轉(zhuǎn)模型

轉(zhuǎn)子加轉(zhuǎn)啟動(dòng)過程類似于交流異步電機(jī)，利用了交流旋轉(zhuǎn)磁場產(chǎn)生加轉(zhuǎn)力矩的原理，其空間結(jié)構(gòu)如圖1 所示。在加轉(zhuǎn)平面XY 內(nèi)，由外部四個(gè)完全相同的線圈做定子，內(nèi)部懸浮金屬球做轉(zhuǎn)子，其中對(duì)向線圈分為A1A2、B1B2兩組，在加轉(zhuǎn)平面內(nèi)呈正交分布[8]。

圖1 轉(zhuǎn)子-線圈結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structural model of rotor and coils

加轉(zhuǎn)狀態(tài)下，同一組對(duì)向線圈的抽頭N 相連，另外兩個(gè)抽頭分別做信號(hào)接入端P 和接地端GND。當(dāng)在同一組線圈P 端通以一定形式的電信號(hào)，產(chǎn)生的磁場方向也相同。當(dāng)向兩組線圈分別施加具有90°相位差的同頻等幅正弦交流信號(hào)，線圈中磁感應(yīng)強(qiáng)度隨加載信號(hào)同頻變化，合磁場為交流旋轉(zhuǎn)圓形磁場Bm，對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生垂直于加轉(zhuǎn)平面的旋轉(zhuǎn)力矩T 帶動(dòng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)。

1.2 旋轉(zhuǎn)橢圓磁場

加轉(zhuǎn)線圈中產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度與控制信號(hào)電壓幅值成正比，通過調(diào)整控制信號(hào)產(chǎn)生單一空間指向的交變磁場B，從磁矢量勢的泊松方程出發(fā)[9-10]，推導(dǎo)轉(zhuǎn)子在外磁場中受力矩T為公式[9]：

式(1)中A為磁矢量勢，τ為轉(zhuǎn)子金屬導(dǎo)體電阻率，r 為徑向單位矢量，r為金屬球轉(zhuǎn)子半徑，根據(jù)磁矢量勢和磁感應(yīng)強(qiáng)度有關(guān)系式[9]：

忽略高階小量，磁矢量勢簡化有近似微分方程[9]：

式(3)中μ為相對(duì)磁導(dǎo)率。文獻(xiàn)[9]采用分段求解，在一個(gè)交變磁場周期內(nèi)做平均后，可以給出轉(zhuǎn)子在某一軸方向上受加轉(zhuǎn)力矩。文獻(xiàn)[7]在此基礎(chǔ)上，針對(duì)本文轉(zhuǎn)子-線圈空間結(jié)構(gòu)模型，當(dāng)兩路正弦控制信號(hào)在正交方向分別產(chǎn)生磁場強(qiáng)度Bi、Bj，相位差90°，也即合磁場B=Bisinωmti +Bjcosωmtj 作用下，給出轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)軸Z 方向受到的加轉(zhuǎn)力矩表達(dá)式[7]：

式(4)中ωm為加轉(zhuǎn)控制信號(hào)角頻率，ω為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角頻率，r為轉(zhuǎn)子半徑，ζ為金屬球轉(zhuǎn)子表面電阻率。式中Bi、Bj為任意非零值時(shí)，將在空間形成旋轉(zhuǎn)橢圓磁場。特別地，當(dāng)Bi=Bj時(shí)，在空間產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)圓形磁場。

1.3 零施矩條件

轉(zhuǎn)子與外部線圈溫度升高將引起加轉(zhuǎn)力矩顯著下降，因此必須要采取冷啟動(dòng)方式，即在較低溫度下加轉(zhuǎn)至額定轉(zhuǎn)速，隨后經(jīng)過較長熱平衡過程等待轉(zhuǎn)子溫度升至與外部電極碗腔體一致[1]。因此要考慮在完成加轉(zhuǎn)過程后對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行加熱控制。

在對(duì)旋轉(zhuǎn)橢圓磁場理論的研究中，文獻(xiàn)[7]發(fā)現(xiàn)存在一種特殊的磁場條件使得Tz=0，即加轉(zhuǎn)過程不施加轉(zhuǎn)矩，此時(shí)確定磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足關(guān)系式[7]：

式(5)中κ為與轉(zhuǎn)子表面電阻率、轉(zhuǎn)子半徑、加轉(zhuǎn)控制信號(hào)角頻率和轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角頻率有關(guān)的系數(shù)，滿足公式[7]：

此條件下作用于金屬球轉(zhuǎn)子的電磁場能全部轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)子內(nèi)能，引起轉(zhuǎn)子溫度快速升高，這一特殊橢圓磁場稱為零施矩磁場。這一過程本質(zhì)上是利用感應(yīng)渦流生熱，是一種特殊的加轉(zhuǎn)過程。在轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)條件下，僅調(diào)節(jié)線圈中兩路正弦信號(hào)的相對(duì)幅值大小，即可獲得這一特殊零施矩磁場。實(shí)際上，如果保持兩路控制信號(hào)幅值相等，僅調(diào)節(jié)兩路信號(hào)的相位差，兩組對(duì)向線圈中產(chǎn)生的合磁場也是旋轉(zhuǎn)橢圓磁場。

進(jìn)一步地，要使調(diào)相實(shí)現(xiàn)的旋轉(zhuǎn)橢圓磁場也實(shí)現(xiàn)零施矩條件，此時(shí)相位角Φh應(yīng)滿足條件：

在式(7)條件下，采用調(diào)相方式可以獲得等效零施矩磁場，對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行感應(yīng)加熱。零施矩條件下，參數(shù)κ的表達(dá)式(6)中，轉(zhuǎn)子表面電阻率ζ隨轉(zhuǎn)子溫度升高變化會(huì)改變零施矩磁場條件，即零施矩相位角也會(huì)移動(dòng)。因?yàn)檎{(diào)相方式只涉及相位差一個(gè)控制變量，且不受控制信號(hào)幅值限制，所以本文考慮采用調(diào)相方式實(shí)現(xiàn)零施矩感應(yīng)加熱。

2 模糊控制

2.1 模糊控制

零施矩感應(yīng)加熱條件下，考慮當(dāng)兩路控制信號(hào)相位差偏離零施矩條件，轉(zhuǎn)子表面受額外非零力矩，轉(zhuǎn)速會(huì)偏離額定值nm，所以可以建立以轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為反饋的閉環(huán)控制過程，以實(shí)現(xiàn)零施矩相位角的動(dòng)態(tài)調(diào)整。采用調(diào)相方式控制轉(zhuǎn)速恒定是一個(gè)非線性過程，模糊控制方法較為適合本文設(shè)計(jì)。

模糊控制理論的核心在于建立模糊控制規(guī)則，是一種基于人類思維模式的主觀控制方法。它擺脫了對(duì)被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型的限制，較為適合難以掌握被控對(duì)象內(nèi)部結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜系統(tǒng)控制過程，尤其是對(duì)存在非線性、時(shí)變和滯后等問題的控制過程，具有較好的魯棒性和適應(yīng)性[11]。

2.2 基于模糊控制的算法設(shè)計(jì)

采用模糊控制實(shí)現(xiàn)零施矩感應(yīng)加熱過程的調(diào)相恒速控制，具體實(shí)現(xiàn)包含以下幾個(gè)步驟：

1)確定控制器結(jié)構(gòu)

以實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)速與額定轉(zhuǎn)速的差值en和轉(zhuǎn)速差變化率ecn作為輸入量設(shè)計(jì)二維模糊控制器，控制器直接輸出量為相位差Φh變化量ΔΦh。模糊控制器系統(tǒng)設(shè)計(jì)框圖如圖2 所示，控制器輸出量為零施矩相位角調(diào)整增量ΔΦh，改變作用于轉(zhuǎn)子的加轉(zhuǎn)力矩Tz，控制轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速n，Jζ為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，1Jζs代表了控制過程被控對(duì)象，虛線框內(nèi)為模糊控制器，表征了控制器內(nèi)部進(jìn)行的基本控制過程：二維輸入變量經(jīng)過隸屬度函數(shù)庫μF進(jìn)行清晰值模糊化（D F），對(duì)模糊變量在包含模糊運(yùn)算規(guī)則的知識(shí)庫R中進(jìn)行模糊運(yùn)算過程（A*?R），得到輸出變量的模糊量，最后由清晰化方法庫fd進(jìn)行模糊量清晰化（F D）過程。

圖2 模糊控制器框圖Fig.2 Block diagram of fuzzy controller

2)模糊化輸入、輸出量

根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲取加轉(zhuǎn)特性變化數(shù)據(jù)，確定轉(zhuǎn)速差en的模糊量SE，模糊子集簡記為{NL(負(fù)低)，L(低)，ML(零低)，MH(零高)，H(高)，PH(正高)}；轉(zhuǎn)速差變化率ecn的模糊量SEC，模糊子集為{ DNL(負(fù)低)，DL(低)，DML(零低)，DMH(零高)，DH(高)，DPH(正高)}；相位角變化量ΔΦh的模糊量U，模糊子集為{NB(負(fù)大)，NM(負(fù)中)，NS(負(fù)小)，PS(正小)，PM(正中)，PB(正大)}。

隸屬函數(shù)庫μF中存儲(chǔ)了用以將數(shù)字清晰量轉(zhuǎn)換為模糊量的隸屬度函數(shù)。各變量論域上的模糊子集分布是不均勻的，尤其在平衡零點(diǎn)附近采用斜率較大的三角形隸屬度函數(shù)，既提高平衡零點(diǎn)附近的轉(zhuǎn)速控制精度，又可以在偏差較大時(shí)使系統(tǒng)從遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)處迅速趨向平衡點(diǎn)附近[12]。

3) 建立模糊規(guī)則

模糊規(guī)則的建立依賴于實(shí)驗(yàn)操作經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)獲取零施矩相位角Φh附近相位角變化量與加轉(zhuǎn)力矩的變化關(guān)系，實(shí)際中加轉(zhuǎn)力矩的變化可由轉(zhuǎn)速差與轉(zhuǎn)速差變化率表征。根據(jù)調(diào)試經(jīng)驗(yàn)，形成模糊控制知識(shí)庫R，建立模糊控制規(guī)則表以進(jìn)行模糊運(yùn)算。

4) 近似推理

模糊推理采用Mamdani 型推理，定義uen、uecn、分別為轉(zhuǎn)速差、轉(zhuǎn)速差變化率和輸出相位角變化量的隸屬度，∩為Mamdani 推理中的取小算子，則輸出相位角變化量的隸屬度有表達(dá)式：

5) 輸出量清晰化

輸出模糊量清晰化采用方法庫fd中的最大隸屬度平均值法，即確定最大隸屬度對(duì)應(yīng)的所有輸出量值點(diǎn)取其平均值，得到輸出相位角變化量清晰值。

3 實(shí)驗(yàn)測試

3.1 橢圓磁場加轉(zhuǎn)特性

本文選取400 r/s 額定轉(zhuǎn)速條件進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，實(shí)驗(yàn)硬件條件是基于DSP 的數(shù)字控制電路，設(shè)計(jì)了以DDS芯片AD9958為核心的雙通道正弦信號(hào)發(fā)生器模塊，通過DSP 內(nèi)部SPI 通信指令控制AD9958 產(chǎn)生兩路24 V 幅值，1000 Hz 頻率正弦加轉(zhuǎn)信號(hào)，在400 r/s 轉(zhuǎn)速條件下實(shí)現(xiàn)零施矩感應(yīng)加熱。室溫下啟動(dòng)轉(zhuǎn)子至額定轉(zhuǎn)速，由于初始溫度與加轉(zhuǎn)過程熱效應(yīng)的差異，進(jìn)入零施矩感應(yīng)加熱條件的初始相位角Φh一般在55 °附近，此時(shí)圍繞Φh附近以一定幅度調(diào)整兩路信號(hào)相位差，得到轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化率如表1 所示。

表1 相位角調(diào)節(jié)與轉(zhuǎn)速差變化率關(guān)系Tab.1 Relationship between phase difference adjustment and speed change rate

據(jù)表1 總結(jié)出以下調(diào)試經(jīng)驗(yàn)：輸出相位角調(diào)整值ΔΦh越大，引起轉(zhuǎn)速偏差ecn變化越快；轉(zhuǎn)速偏差變化率的符號(hào)由相位角調(diào)整方向決定。

3.2 模糊控制器設(shè)計(jì)

二維模糊控制器設(shè)計(jì)中，根據(jù)手動(dòng)調(diào)試經(jīng)驗(yàn)，以轉(zhuǎn)速差為例，選取轉(zhuǎn)速差en的模糊量SE 論域?yàn)閇-2 r/s,2 r/s]，其模糊子集對(duì)應(yīng)隸屬度函數(shù)如圖3 所示。轉(zhuǎn)速差變化率、相位角調(diào)整量采用了相似的隸屬度函數(shù)，模糊子集分布有所差異而有調(diào)整，以提升控制器動(dòng)態(tài)控制性能。

圖3 隸屬度函數(shù)Fig.3 Membership functions

根據(jù)手動(dòng)調(diào)試經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步形成模糊控制知識(shí)庫，建立模糊控制規(guī)則表，如表2 所示。模糊推理過程采用Mamdani 型推理方法，清晰化過程以最大隸屬度平均值法得到零施矩相位角調(diào)整量輸出清晰值，以實(shí)現(xiàn)感應(yīng)加熱過程的恒速控制。

表2 模糊規(guī)則控制表Tab.2 Fuzzy rule control table

3.3 感應(yīng)加熱功率調(diào)整

利用模糊控制，在400 r/s 轉(zhuǎn)速附近進(jìn)入調(diào)相恒速控制狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)零施矩感應(yīng)加熱過程。設(shè)置控制信號(hào)幅值24 V，頻率1000 Hz，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速與零施矩相位角變化情況如圖4 所示，穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速控制精度優(yōu)于0.02 r/s。

圖4 感應(yīng)加熱過程轉(zhuǎn)速與零施矩相位角變化情況Fig.4 Variation of speed and phase difference during heating

感應(yīng)加熱過程還需要對(duì)加熱功率進(jìn)行一定限制。實(shí)際中加熱功率不易直接測量，但轉(zhuǎn)子溫升速率與加熱功率成正比，加熱過程轉(zhuǎn)子溫度和電極碗溫度的相對(duì)變化引起熱脹冷縮，會(huì)通過支承間隙變化反映到支承電壓變化上，具體體現(xiàn)為公式：

式(9)中ΔTr、ΔTe分別為轉(zhuǎn)子和電極碗溫度變化，αr、αe分別為轉(zhuǎn)子和電極碗材料熱膨脹系數(shù)，K為間隙-控制電壓系數(shù)，ΔVz為支承軸Z 軸方向控制電壓變化量。忽略轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)引起的離心變形影響，將線性方程(9)兩端同除Δt，整理后得到轉(zhuǎn)子溫度變化速率估算式：

測試條件下式(10)中各參數(shù)與常量取值見表3。改變控制信號(hào)幅值依次為24 V、17 V、12 V，當(dāng)轉(zhuǎn)軸垂直于地面，對(duì)比多組測試加熱功率下Z 軸支承電壓變化情況并進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖5 所示。三組不同控制電壓條件下進(jìn)行加熱實(shí)驗(yàn)，得到Z 軸支承電壓變化速率依次為-284.7 mV/h、-125.2 mV/h、-40.7 mV/h。

表3 參數(shù)與常量取值Tab.3 Parameters and constants

圖5 不同加熱功率下Z 軸支承電壓變化情況Fig.5 Variation of Z-axis support voltage under different heating powers

加熱階段電極碗溫升速率由外部溫控系統(tǒng)調(diào)節(jié)，一般情況下碗溫升速率ΔTeΔt大約為30°C h，代入式(10)分別估算三組控制信號(hào)下轉(zhuǎn)子溫升速率為45.86°C h、31.86°C h、24.44°C h，得到實(shí)際測試感應(yīng)生熱功率與信號(hào)幅值基本滿足正比關(guān)系，這與控制信號(hào)頻率、幅值、金屬球形狀、運(yùn)動(dòng)方式、線圈結(jié)構(gòu)、線圈發(fā)熱情況等諸多因素有關(guān)。

對(duì)比相同條件下，自然熱平衡過程在穩(wěn)定熱輻射階段換熱效率與轉(zhuǎn)子和電極碗的溫度差有關(guān)，隨時(shí)間呈指數(shù)衰減，最高約為20°C h，可見利用控制信號(hào)進(jìn)行持續(xù)主動(dòng)感應(yīng)加熱，可以使轉(zhuǎn)子溫度更快速升高?？紤]到外部電極碗溫升速率限制，最終選取18 V 為一般情況下感應(yīng)加熱控制信號(hào)的幅值。

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

配合外部電極碗溫度控制與轉(zhuǎn)子間接測溫手段，對(duì)比自然輻射傳熱方式與18 V 控制電壓下感應(yīng)加熱方式，實(shí)現(xiàn)熱平衡過程轉(zhuǎn)子溫度的變化情況，如圖6所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，基于模糊控制方法實(shí)現(xiàn)感應(yīng)加熱控制，使轉(zhuǎn)子溫度快速從室溫升高至與電極碗溫度平衡，熱平衡時(shí)間縮短至5 小時(shí)以內(nèi)，相比自然輻射傳熱過程所需20 小時(shí)以上熱平衡時(shí)間，本文實(shí)現(xiàn)的主動(dòng)加熱方式使轉(zhuǎn)子熱啟動(dòng)效率提高75%以上，極大地提高了測試系統(tǒng)整體的啟動(dòng)效率。

圖6 轉(zhuǎn)子溫度在不同熱平衡條件下變化對(duì)比Fig.6 Variation of rotor’s temperature under different heating conditions

4 結(jié)論

針對(duì)真空懸浮金屬球轉(zhuǎn)子在加轉(zhuǎn)啟動(dòng)后升溫緩慢、熱平衡所需時(shí)間長問題，本文以文獻(xiàn)[7]提出的零施矩感應(yīng)加熱方法為基礎(chǔ)，提出了一種基于模糊控制的感應(yīng)加熱控制手段。在400 r/s 額定轉(zhuǎn)速下，本文實(shí)現(xiàn)了針對(duì)真空懸浮轉(zhuǎn)子的感應(yīng)加熱過程閉環(huán)控制，在保證恒速控制精度的條件下，可對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行長時(shí)間穩(wěn)定加熱，顯著縮短熱平衡時(shí)間，相比自然輻射傳熱過程，有效提高了測試系統(tǒng)的啟動(dòng)效率，為后續(xù)在設(shè)備實(shí)用化方面提供了應(yīng)用參考。