李安東,劉 升,茍茹茹

(1.上海工程技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院,上海 201620;2.河北大學(xué)網(wǎng)絡(luò)空間安全與計(jì)算機(jī)學(xué)院,河北 保定 071002)

1 引言

平衡優(yōu)化器EO(Equilibrium Optimizer)是Faramarzi等人[1]于2020年提出的一種新型智能算法,用于描述控制體積內(nèi)質(zhì)量動(dòng)態(tài)平衡的過(guò)程。設(shè)定濃度平衡池,各濃度朝平衡池動(dòng)態(tài)平衡的過(guò)程就是種群收斂于全局最優(yōu)解的過(guò)程。與遺傳優(yōu)化算法和鯨魚(yú)優(yōu)化算法等利用多種機(jī)制進(jìn)行位置更新的群智能算法相比,EO算法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、靈活性高的特點(diǎn)。已被學(xué)者進(jìn)一步地應(yīng)用于調(diào)度優(yōu)化等工程問(wèn)題中,再次證明了EO算法卓越的尋優(yōu)性能。但是,EO算法的整個(gè)迭代過(guò)程只依賴于一個(gè)質(zhì)量平衡公式更新濃度,種群極易陷入局部最優(yōu)解;前期平衡池內(nèi)部濃度差異較大,會(huì)影響種群的收斂速度。針對(duì)上述算法的不足,Naik等人[2]通過(guò)添加小逃跑概率機(jī)制并結(jié)合反向?qū)W習(xí)策略進(jìn)行全方位探索,提出反向平衡優(yōu)化器OEO(Opposition Equilibrium Optimizer)算法,測(cè)試結(jié)果表明OEO具有較好的尋優(yōu)性能;Tang等人[3]提出了一種多種群體混合平衡優(yōu)化器MHEO(Multiple Population Hybrid Equilibrium)算法,該算法將種群依次分為探索、開(kāi)發(fā)和平衡3個(gè)子種群,分別執(zhí)行不同的搜索機(jī)制幫助種群跳出局部最優(yōu),CEC2017測(cè)試函數(shù)結(jié)果顯示,改進(jìn)算法尋優(yōu)性能有較大提升;Wunnava等人[4]提出一種自適應(yīng)均衡優(yōu)化器AEO(Adaptive Equilibrium Optimizer)算法,通過(guò)粒子適應(yīng)度值和全體粒子平均適應(yīng)度值的比較,隨機(jī)更新當(dāng)前粒子濃度。上述改進(jìn)算法雖然提高了EO算法的性能,但是收斂精度還可進(jìn)一步提高。

為此,本文根據(jù)迭代過(guò)程的不同特點(diǎn),從平衡池、質(zhì)量平衡方程和全體粒子擾動(dòng)3方面,分別利用雙曲正切算子、鄰域拓?fù)渌阉鳈C(jī)制和動(dòng)態(tài)對(duì)稱反向?qū)W習(xí)策略進(jìn)行改進(jìn),提出一種結(jié)合鄰域拓?fù)渌阉鞲倪M(jìn)的反向平衡優(yōu)化器IOLEONS(Improved Opposition-based Learning Equilibrium Optimizer algorithm based on Neighborhood Searching)算法?；鶞?zhǔn)函數(shù)和工程優(yōu)化問(wèn)題的模擬測(cè)試結(jié)果表明,IOLEONS算法具有較高的收斂精度和收斂速度。

2 標(biāo)準(zhǔn)EO算法

2.1 種群初始化

平衡優(yōu)化器算法的濃度初始化過(guò)程表述如式(1)所示[1]：

Ci,j=Cmin,j+rand*(Cmax,j-Cmin,j)

(1)

其中,Ci,j表示粒子i在第j維的濃度值,Cmin,j表示第j維所有粒子濃度的最小值(下限),Cmax,j表示第j維所有粒子濃度的最大值(上限),rand為[0,1]的隨機(jī)數(shù)。

2.2 建立平衡池和設(shè)置候選解

EO算法達(dá)到的最優(yōu)狀態(tài)即濃度平衡狀態(tài),其中平衡池是由適應(yīng)度值較高的前4個(gè)粒子及其中心粒子組成,這5個(gè)粒子即為下一次迭代的目標(biāo)候選解。平衡池的濃度表示如式(2)所示[1]：

Ceq,pool={Ceq(1),Ceq(2),Ceq(3),Ceq(4),Ceq(ave)}

(2)

(3)

其中,Ceq,pool表示濃度平衡池,Ceq(i),i=1,2,3,4分別為依適應(yīng)度值逆序排列的候選解,Ceq(ave)表示平衡池的平均候選解。

2.3 濃度更新

建立平衡池后,EO算法開(kāi)發(fā)和探索階段的轉(zhuǎn)換主要依靠指數(shù)項(xiàng)(F)指導(dǎo)。指數(shù)項(xiàng)(F)是一個(gè)隨迭代次數(shù)變化的時(shí)變控制變量,具體表示如式(4)所示[1]：

F=e-λ(t-t0)

(4)

(5)

(6)

其中,λ各維分量均為[0,1]的隨機(jī)數(shù),t與迭代次數(shù)有關(guān),iter為當(dāng)前迭代次數(shù),max_iter為最大迭代次數(shù),通常取a2為1,a1為2,sign(·)為符號(hào)函數(shù),r各分量為[0,1]的隨機(jī)數(shù)。

式(4)與式(6)聯(lián)合得指數(shù)項(xiàng)F如式(7)所示:

F=a1sign(r-0.5)[e-λt-1]

(7)

此外,為進(jìn)一步增強(qiáng)算法開(kāi)發(fā)能力,標(biāo)準(zhǔn)EO算法引入生成率(G)提升可行解的精度,如式(8)所示[1]：

G=G0e-λ(t-t0)

(8)

G0=GCP(Ceq-λC)

(9)

(10)

其中,r1和r2均為[0,1]的隨機(jī)數(shù);G0表示初始生成率;GP表示生成概率,通常取常數(shù)0.5;Ceq表示從平衡池中隨機(jī)選擇的候選解;GCP的各分量GCPl由式(10)得出。

綜上所述,標(biāo)準(zhǔn)平衡優(yōu)化器算法的每個(gè)個(gè)體的濃度C迭代更新公式如式(11)所示:

C=Ceq+(C-Ceq)*F+(G/(λV))(1-F)

(11)

其中,V表示單位體積。

標(biāo)準(zhǔn)EO算法偽代碼如算法1所示,其中N表示種群規(guī)模。

算法1標(biāo)準(zhǔn)EO算法

設(shè)置參數(shù);

初始化粒子種群;

Whileiter

Fori=1:N

計(jì)算全體粒子適應(yīng)度值并選出最優(yōu)粒子;

Endfor

依據(jù)式(2)和式(3)建立平衡池;

Fork=1:N

從平衡池中隨機(jī)選擇候選解;

隨機(jī)生成λ和r;

依據(jù)式(4)～式(7)計(jì)算F;

依據(jù)式(8)～式(10)計(jì)算G;

依據(jù)式(11)更新濃度值;

Endfor

t=t+1;

Endwhile

3 改進(jìn)策略

為了解決標(biāo)準(zhǔn)EO算法存在的性能缺陷問(wèn)題,本文依次從平衡池、質(zhì)量平衡方程和粒子自適應(yīng)擾動(dòng)等方面進(jìn)行改進(jìn),具體改進(jìn)方法如下所述。

3.1 雙曲正切自適應(yīng)算子

標(biāo)準(zhǔn)EO算法的一個(gè)顯著特點(diǎn)就是設(shè)置平衡池,并從中隨機(jī)選擇粒子作為平衡濃度(候選解),以此平衡探索和開(kāi)發(fā)。但是,由于種群空間分布的不確定性,迭代前期種群較為分散,降低了種群收斂速度;迭代中期種群分布較為集中,極易引導(dǎo)種群陷入局部最優(yōu)解;迭代后期使用算數(shù)平均計(jì)算出的平均濃度中最優(yōu)粒子濃度所占的比重較低,進(jìn)而降低了收斂精度。為此文獻(xiàn)[5]通過(guò)柯西分布修改角頻率并利用正弦函數(shù)改進(jìn)平衡池。正弦池策略著重于平均濃度前的系數(shù)的改進(jìn),然而這易使新的平均候選解跳出原平衡池的邊界約束,降低迭代前期的收斂速度。為避免以上問(wèn)題,本文對(duì)平均候選解的改進(jìn)如式(12)和式(13)所示:

(12)

(13)

其中,ht為雙曲正切算子,abs()為求絕對(duì)值運(yùn)算,tanh(·)為雙曲正切函數(shù)。

由圖1可知,迭代前期平均候選解中最優(yōu)濃度值占比較大,且占比緩慢降低,加快了前期的收斂速度;迭代中期,較低的占比保證了全局的充分探索,可降低陷入局部最優(yōu)解的風(fēng)險(xiǎn);迭代后期,較高的占比和緩慢的增長(zhǎng)速度,提高了種群對(duì)于目標(biāo)區(qū)域的開(kāi)發(fā)能力,從而提高收斂精度。

Figure 1 Hyperbolic tangent diagram

3.2 鄰域搜索機(jī)制

EO算法中最重要的部分當(dāng)屬濃度更新方式。分析式(10)可知,在r2

C=Ceq+(C-Ceq)*F*r1+

(G/(λV))(1-F)+(1-r1)*

(local_leader_pos(i)-Ceq)

(14)

其中,r1為隨機(jī)向量,各分量為[0,1]的隨機(jī)數(shù);local_leader_pos(i)是與粒子i相鄰的m個(gè)粒子中適應(yīng)度值最高的粒子,設(shè)置距離計(jì)算方式為歐氏距離,其空間示意圖如圖2所示。

Figure 2 Diagram of neighborhood searching

圖2所示為m=5時(shí)確定的鄰域范圍,以粒子所在位置為中心計(jì)算其與其他粒子的歐氏距離,從而選定鄰域領(lǐng)導(dǎo)者。從圖2中粒子運(yùn)動(dòng)的2個(gè)方向不難看出,通過(guò)引入鄰域領(lǐng)導(dǎo)者粒子,引導(dǎo)粒子朝向所在鄰域內(nèi)的領(lǐng)導(dǎo)者移動(dòng),降低粒子逼近于均衡濃度的速度,加強(qiáng)對(duì)于鄰域的探索,提高了種群的局部開(kāi)發(fā)能力。

3.3 動(dòng)態(tài)對(duì)稱反向?qū)W習(xí)

元啟發(fā)式優(yōu)化算法是一種模擬自然智慧而建立的隨機(jī)優(yōu)化算法,常見(jiàn)的有遺傳優(yōu)化算法、蟻群算法等。因該類算法中個(gè)體進(jìn)化方向具有不確定性,從而使得算法具有更多的求解機(jī)會(huì)。盡管進(jìn)化規(guī)則略有不同,但是迭代后期種群一般呈現(xiàn)出聚集性高的局面,這便加劇了種群陷入局部最優(yōu)解的風(fēng)險(xiǎn)。

EO算法迭代至后期時(shí),由于平衡池濃度差較小,種群則聚集于平衡池附近,種群呈現(xiàn)出分散度差的局面,為提高種群多樣性,需采取一定的擾動(dòng)策略。文獻(xiàn)[7]利用反向?qū)W習(xí)策略改進(jìn)鯨魚(yú)優(yōu)化算法來(lái)提高種群多樣性。然而,基本的反向?qū)W習(xí)策略仍存在搜索能力不足和種群多樣性差的缺點(diǎn)[8],仍需進(jìn)一步改進(jìn)。本文通過(guò)引入Chebyshev映射增強(qiáng)粒子的空間遍歷性,提高種群的分散程度;利用隨機(jī)權(quán)重融合動(dòng)態(tài)邊界和固定邊界改進(jìn)反向?qū)W習(xí)策略,提升種群對(duì)于開(kāi)發(fā)區(qū)域的專注度。映射公式表示如式(15)～式(17)所示:

x(n)∈[-1,1]

(15)

Da(i)=(1-r3)*min(Ci)+r3*lb

(16)

Db(i)=(1-r3)*max(Ci)+r3*ub

(17)

其中,r3表示[0,1]的隨機(jī)數(shù),x(n)表示第n次映射值,lb和ub分別表示下界和上界,min(Ci)和max(Ci)分別表示取當(dāng)前粒子Ci各維分量的最小值和最大值。式(16)和式(17)表示結(jié)合動(dòng)態(tài)邊界以后重建的新邊界。

如圖3所示,該方法通過(guò)計(jì)算單一粒子在各維度上的邊界極值,對(duì)稱建立新邊界以降低維間干擾。改進(jìn)后的反向?qū)W習(xí)策略如式(18)所示:

Figure 3 Dynamic random boundary(2-dimensional)

C_op(i)=(Da(i)+Db(i))-x(n)*C(i,:)

(18)

如圖4所示,切比雪夫映射值在[0,1]內(nèi)來(lái)回跳躍,實(shí)現(xiàn)粒子的自我擾動(dòng);其次,據(jù)圖3可知,通過(guò)分解粒子(Ci)各維度信息生成虛擬對(duì)稱粒子(CS_i),隨后利用隨機(jī)數(shù)建立隨機(jī)邊界,以此降低各維度之間的互相干擾。

Figure 4 Chebyshev mapping

3.4 IOLEONS算法流程

綜上所述,IOLEONS算法的步驟如下所示:

Step1設(shè)置初始參數(shù),初始化種群。

Step2計(jì)算適應(yīng)度值并依據(jù)式(12)和式(13)計(jì)算雙曲正切算子,設(shè)定平衡池。

Step3依據(jù)式(15)計(jì)算Chebyshev混沌映射值。

Step4計(jì)算粒子之間的歐氏距離,選擇鄰域內(nèi)適應(yīng)度值最高的粒子作為局部領(lǐng)導(dǎo)者粒子。

Step5依據(jù)式(14)更新各粒子濃度并依據(jù)式(16)和式(17)計(jì)算此時(shí)種群的動(dòng)態(tài)邊界。

Step6依據(jù)式(18)計(jì)算反向解,并進(jìn)行越界處理和利用貪婪策略保留較優(yōu)解。

Step7返回執(zhí)行步驟5和步驟6,直到達(dá)到最大迭代次數(shù),輸出最優(yōu)解,算法終止。

3.5 收斂性分析

3.5.1 隨機(jī)優(yōu)化算法的收斂性準(zhǔn)則

本文所提的IOLEONS算法屬于隨機(jī)優(yōu)化算法,因而可利用概率測(cè)度法,根據(jù)隨機(jī)算法的收斂準(zhǔn)則進(jìn)行收斂性分析[9]。

條件1若f(D(z,ξ))≤f(z),ξ∈S,則f(D(z,ξ))≤f(ξ),針對(duì)于最小化目標(biāo)函數(shù)f(·),S為約束空間RD的子集,z為子集S中的一點(diǎn),ξ為隨機(jī)可行解,該條件假定算法所求新解要優(yōu)于當(dāng)前解。

條件2對(duì)于S中的任一Borel子集A,若其測(cè)度v[A]>0,則:

(19)

其中,測(cè)度v[A]定義為A的閉包,μt[A]為測(cè)度μt[]達(dá)到A的概率值,該條件假定連續(xù)搜索未尋找到A中點(diǎn)的概率為0。

3.5.2IOLEONS算法的全局收斂性分析

證明由式(14)可得:

C(t+1,j)=Y(j)*C(t,j)+(1-Y(j))

Ceq(j)+E(j)

(20)

E=(G/(λV))(1-F)+(1-r1)*

(local_leader_pos(i)-Ceq)

(21)

其中,C(t,j)表示(任意)粒子C在第t次迭代時(shí)的第j維分量,Y=F*r1,當(dāng)Ceq和E固定時(shí),式(20)為差分方程,其解如式(22)所示:

C(t,j)=k+(C(0,j)-k)*(Y(j))

(22)

(23)

其中,k表示衰減常數(shù)。

□

引理1IOLEONS算法滿足條件1。

證明在IOLEONS算法中,解序列為{C(t)},Pt為迭代t次時(shí)全局最優(yōu)解,對(duì)IOLEONS算法定義函數(shù)D(·)為:

由貪婪策略不難看出,改進(jìn)算法滿足條件1。

□

引理2IOLEONS算法滿足條件2。

Mi,t,j=Y(j)*Ci(t,j)+

(1-Y(j))*Ceq(j)+E(j)

(24)

□

3.6 時(shí)間復(fù)雜度分析

時(shí)間復(fù)雜度作為判斷算法運(yùn)行效率高低的一個(gè)重要指標(biāo),在算法分析中占據(jù)重要地位。時(shí)間復(fù)雜度大小與算法輸入端和算法的運(yùn)算邏輯有密切關(guān)系,主要影響因素有種群規(guī)模(N)、迭代次數(shù)(max_iter)、評(píng)估函數(shù)值(f)、問(wèn)題維度(D)。由文獻(xiàn)[10]可知EO算法的時(shí)間復(fù)雜度值如式(25)所示:

O(EO)=O(N·D+max_iter·f·N+

max_iter·N+max_iter·N·D)=

O(max_iter·f·N+max_iter·N·D)

(25)

本文中的IOLEONS算法主要從3個(gè)方面改進(jìn):首先,利用雙曲正切算子改進(jìn)平衡池中平均濃度值的方法相較于算術(shù)平均方法增加的時(shí)間復(fù)雜度為O(max_iter);改進(jìn)領(lǐng)域搜索機(jī)制增加的時(shí)間復(fù)雜度為O(max_iter·N);改進(jìn)反向?qū)W習(xí)策略增加的復(fù)雜度為O(max_iter·N),因此改進(jìn)算法的綜合時(shí)間復(fù)雜度如式(26)所示:

O(IOLEONS)=O(N·D+max_iter·f·N+

max_iter·N+max_iter·N·D)+

O(max_iter+max_iter·N+max_iter·N)=

O(max_iter·f·N+max_iter·N·D)

(26)

綜上所述,IOLEONS算法雖增加了運(yùn)算量,但是與標(biāo)準(zhǔn)EO算法的時(shí)間復(fù)雜度保持量級(jí)一致。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)據(jù)分析

4.1 基準(zhǔn)函數(shù)與算法參數(shù)敏感性分析

本文在表1所示的8個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)[7]上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),其中,F1～F4為單模態(tài)函數(shù),F5～F7為多模態(tài)函數(shù),F8為固定維度函數(shù),部分基準(zhǔn)函數(shù)的詳細(xì)介紹可參考文獻(xiàn)[7]。

Table 1 Benchmark functions

因IOLEONS算法中混合3種策略,其中涉及的參數(shù)主要為切比雪夫映射的初始值x(1)及鄰域范圍值m,因而需要進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)設(shè)定最優(yōu)輸入?yún)?shù)。設(shè)定實(shí)驗(yàn)次數(shù)為30,維度為30,迭代為500次,模擬出的參數(shù)敏感性熱力圖如圖5和圖6所示,圖中的數(shù)值是適應(yīng)度值(fit)轉(zhuǎn)換后的數(shù)值,以方便比較。圖中橫軸表示x(1)初始值的變化范圍,縱軸表示m值的變化范圍。經(jīng)反復(fù)實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)對(duì)于F6和F7外的基準(zhǔn)函數(shù),參數(shù)的變化對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果無(wú)明顯影響。對(duì)于多模態(tài)函數(shù)F6和F7,由于m值的大小決定了計(jì)算鄰域范圍時(shí)的工作量,故取較小m值為宜。因F6和F7函數(shù)極為相似,故取兩測(cè)試函數(shù)在同一變量下的均值作為衡量標(biāo)準(zhǔn)。經(jīng)上述規(guī)則界定后,選定m值為5,x(1)為0.3時(shí)最優(yōu),此時(shí)均值(Value)最小,為1.50。

Figure 5 Hotpot of F6

Figure 6 Hotpot of F7

4.2 算法對(duì)比分析

4.2.1 智能優(yōu)化算法對(duì)比

為驗(yàn)證改進(jìn)算法的效果,本文選取部分優(yōu)化算法進(jìn)行對(duì)比,其中包括經(jīng)典優(yōu)化算法:粒子群優(yōu)化算法PSO(Particle Swarm Optimization)、鯨魚(yú)優(yōu)化算法WOA(Whale Optimization Algorithm)[11]、灰狼優(yōu)化算法GWO(Grey Wolf Optimizer)、標(biāo)準(zhǔn)EO算法及EO算法的改進(jìn)型(自適應(yīng)平衡器優(yōu)化算法AEO(Adaptive Equilibrium Optimizer)[4]和聯(lián)合均衡優(yōu)化器算法UEO(United Equilibrium Optimizer)[12])。對(duì)比算法的參數(shù)設(shè)定如表2所示,表中參數(shù)的含義參見(jiàn)相應(yīng)的文獻(xiàn)。為避免實(shí)驗(yàn)結(jié)果的偶發(fā)性,進(jìn)行30次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn),設(shè)定迭代次數(shù)為500次,維度為30維,測(cè)試平均值(Ave)和標(biāo)準(zhǔn)差(std),實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示,表中每個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)2行數(shù)字,第1行數(shù)字表示測(cè)試平均值,第2行數(shù)字表示標(biāo)準(zhǔn)差。

Table 2 Parameter settings

Table 3 Benchmark test results of intelligent optimization algorithms

4.2.2 其他改進(jìn)智能優(yōu)化算法對(duì)比

為進(jìn)一步驗(yàn)證IOLEONS算法的性能優(yōu)勢(shì),選取近幾年來(lái)的改進(jìn)智能優(yōu)化算法進(jìn)行對(duì)比:具有速度輔助全局搜索機(jī)制的增強(qiáng)型灰狼優(yōu)化器VAGWO(Velocity-Aided Grey Wolf Optimizer)[13]、半?yún)?shù)自適應(yīng)混合CMA-ES的LSHADE算法(LSHADE-SPACMA)[14]、精英反向?qū)W習(xí)的黃金正弦鯨魚(yú)優(yōu)化算法EGolden-SWOA(Elite opposition-based Golden-Sine Whale Optimization Algorithm)[7]、利用自適應(yīng)策略的改進(jìn)型粒子群算法MPSO(Modified PSO using adaptive strategy)[15]、雙適配粒子群算法DFPSO(Dual Fitness Particle Swarm Optimizer)[16]、多選擇反向灰狼優(yōu)化算法SOGWO(Selective Opposition based Grey Wolf Optimization)[17]、融合螺旋策略的分片混沌振蕩搜索算法DCSOA-S(Divided Chaotic Swarm Oscillation Algorithm merged with Spiral strategy)[18]。對(duì)比算法的參數(shù)設(shè)定如表2所示。依舊采用上述測(cè)試集進(jìn)行同等次數(shù)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn),結(jié)果如表4所示。

Table 4 Benchmark test results of improved algorithms

4.3 基準(zhǔn)函數(shù)測(cè)試分析

圖7～圖14是IOLEONS算法與對(duì)比算法的收斂曲線圖。

Figure 7 Convergence curves of F1 using intelligent optimization algorithms

從表3中可看出,IOLEONS算法在單模態(tài)測(cè)試函數(shù)上均取得最優(yōu)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差,這表明改進(jìn)EO算法具有優(yōu)越的局部開(kāi)發(fā)能力,并且由圖7和圖8的收斂圖可以看出,IOLEONS算法的收斂速度更快、精度更高,這是因?yàn)殡p曲正切算子在迭代過(guò)程中的自適應(yīng)變化與算法全程優(yōu)化的一般規(guī)律相吻合,提高了算法在前期的收斂速度;通過(guò)在多模態(tài)基準(zhǔn)函數(shù)F5～F7上的運(yùn)行結(jié)果不難看出,改進(jìn)算法具有較好的穩(wěn)定性和較高的收斂精度,并且從圖9的收斂曲線可看出,在迭代過(guò)程中,改進(jìn)算法的收斂速度更快、精度更高,這是因?yàn)閷?duì)于多模態(tài)基準(zhǔn)函數(shù)來(lái)講,鄰域機(jī)制的引入降低了算法在優(yōu)化全過(guò)程中陷入局部最優(yōu)解的風(fēng)險(xiǎn),并且由于動(dòng)態(tài)對(duì)稱反向?qū)W習(xí)機(jī)制的引入,進(jìn)一步改善了在迭代后期種群多樣性差的局面;對(duì)于固定維度的測(cè)試結(jié)果依舊領(lǐng)先于其他算法,證明了IOLEONS算法的優(yōu)越性。

Figure 8 Convergence curves of F3 using intelligent optimization algorithms

Figure 9 Convergence curves of F6 using intelligent optimization algorithms

Figure 10 Convergence curves of F8 using intelligent optimization algorithms

從表4中可看出,與其他改進(jìn)智能優(yōu)化算法相比,IOLEONS算法在單模態(tài)、多模態(tài)和固定維度函數(shù)上均有不俗的表現(xiàn),從圖11～圖14的收斂圖也可以看出,IOLEONS算法收斂速度更快,進(jìn)一步展示了改進(jìn)算法的優(yōu)勢(shì)。

Figure 11 Convergence curves of F1 using improved intelligent optimization algorithms

Figure 12 Convergence curves of F3 using improved intelligent optimization algorithms

Figure 13 Convergence curves of F6 using improved intelligent optimization algorithms

Figure 14 Convergence curves of F8 using improved intelligent optimization algorithms

4.4 算子貢獻(xiàn)度分析

為驗(yàn)證多算子混合改進(jìn)策略的有效性,本節(jié)將各算子逐步添加到標(biāo)準(zhǔn)EO算法中,并各自在30維基準(zhǔn)函數(shù)上進(jìn)行30次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn),設(shè)定迭代次數(shù)為500次。將EO算法融合雙曲正切算子后的算法定義為EO_1算法;將EO算法融合雙曲正切算子和添加鄰域搜索機(jī)制的算法定義為EO_2算法,測(cè)試結(jié)果如表5所示。

Table 5 Test results on benchmark functions

由表5可知,對(duì)于EO_1算法,在單模態(tài)基準(zhǔn)函數(shù)F1～F4上的收斂精度和穩(wěn)定性均有很大幅度的提升,證明了EO_1算法的局部開(kāi)發(fā)能力有了較大的提升,但是從F6和F7多模態(tài)基準(zhǔn)函數(shù)來(lái)看,其性能反而下降,說(shuō)明在增強(qiáng)局部開(kāi)發(fā)能力的同時(shí)破壞了開(kāi)發(fā)和探索之間的平衡,降低了算法的探索功能;從EO_2的運(yùn)行結(jié)果來(lái)看,在基本保持單模態(tài)基準(zhǔn)函數(shù)精度不變的情況之下,F6函數(shù)的穩(wěn)定性和精度有了極大的改善,但是從F7的結(jié)果來(lái)看,探索能力仍需進(jìn)一步加強(qiáng)。IOLEONS算法通過(guò)動(dòng)態(tài)對(duì)稱反向?qū)W習(xí)策略的加入,進(jìn)一步增強(qiáng)了算法的全局探索能力,并且在單模態(tài)基準(zhǔn)函數(shù)之上更是取得了理論最優(yōu)解,進(jìn)一步證明了混合策略融合的有效性。

4.5 統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)

僅依靠均值和標(biāo)準(zhǔn)差值就判斷算法性能優(yōu)劣的做法不能充分利用全體數(shù)據(jù),為了深入比較算法之間的差異,需用一定的統(tǒng)計(jì)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。為此本文選取Wilcoxon秩和檢驗(yàn)和Friedman秩檢驗(yàn)對(duì)30次實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證,設(shè)定顯著性水平均為5%。當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果p值低于5%時(shí),便認(rèn)為2種算法之間存在顯著差異;反之,則認(rèn)為2個(gè)樣本數(shù)據(jù)(算法運(yùn)行結(jié)果)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上無(wú)顯著差異。各對(duì)比算法與IOLEONS算法之間的計(jì)算結(jié)果如表6所示,數(shù)值為1則認(rèn)為兩者數(shù)據(jù)完全相同。表7中最后2行數(shù)據(jù)則為秩檢驗(yàn)中不同算法的秩均值排名,其中IOLEONS算法得分最小,展現(xiàn)了算法的優(yōu)越性。

Table 6 Results of Wilcoxon signed rank test

Table 7 Results of Friedman rank test

結(jié)合表3和表4可知,表6中所示72個(gè)數(shù)值中僅有2處數(shù)值高于5%,且未達(dá)到理論最優(yōu)值;另有2處數(shù)值為1且均達(dá)到理論最優(yōu)值。結(jié)合表3認(rèn)為IOLEONS算法與對(duì)比算法在尋優(yōu)性能上有顯著差異且改進(jìn)算法尋優(yōu)性能有較大提升。

5 工程優(yōu)化案例分析

壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題PVD(Pressure Vessel Design)[19]作為一種經(jīng)典的工程優(yōu)化問(wèn)題,其優(yōu)化的主要目標(biāo)是降低所設(shè)計(jì)容器帶來(lái)的生產(chǎn)成本,涉及頭部半徑(R1)、柱體長(zhǎng)度(L)、罐體厚度(Ts)和封頭厚度(Th)4種變量,如圖15所示,其數(shù)學(xué)模型如式(27)所示:

Figure 15 PVD sketch map

s.t. -x1+0.0193x3≤0,

-x2+0.00954x3≤0,

(27)

為驗(yàn)證IOLEONS算法在PVD問(wèn)題上的表現(xiàn),本文選取EO算法作為基準(zhǔn)對(duì)比算法,并對(duì)比PSO、AEO算法與本文改進(jìn)算法EO_1、EO_2算法,設(shè)置IOLEONS算法的實(shí)驗(yàn)參數(shù)為k1=0(對(duì)應(yīng)EO_1),k2=1(對(duì)應(yīng)EO_2),其余參數(shù)不變,并進(jìn)行30次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表8所示,對(duì)應(yīng)的收斂迭代圖如圖16所示。

Table 8 Comparison results of PVD

Figure 16 Convergence curve of IOLEONS for solving PVD

從表8中可以看出,對(duì)比算法之間均取得相同的最優(yōu)解,但是在均值和標(biāo)準(zhǔn)差方面表現(xiàn)不一,其中以IOLEONS算法的性能表現(xiàn)最佳。并且從圖10的收斂曲線可以看出,改進(jìn)算法具有更快的收斂速度,進(jìn)一步表明改進(jìn)算法在優(yōu)化PVD工程問(wèn)題上具有卓越性能優(yōu)勢(shì)。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)EO算法的不足從多方面進(jìn)行改進(jìn):利用雙曲正切算子修改平衡池以匹配算法進(jìn)化過(guò)程;其次引入鄰域機(jī)制提高算法的局部開(kāi)發(fā)能力;針對(duì)算法后期種群分散度差的局面,利用動(dòng)態(tài)對(duì)稱和映射的技巧來(lái)改進(jìn)反向?qū)W習(xí)策略。對(duì)于收斂特性,本文用理論對(duì)改進(jìn)算法的收斂性進(jìn)行了證明,并用實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了改進(jìn)算法的優(yōu)越尋優(yōu)性。最后利用工程算例進(jìn)一步表明了改進(jìn)算法在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用價(jià)值。下一步,將繼續(xù)對(duì)EO算法進(jìn)行改進(jìn),充分挖掘標(biāo)準(zhǔn)EO算法的優(yōu)勢(shì)。