梅 杰 宋 鋼 李立杰 陳定方 李 楊

武漢理工大學交通與物流工程學院 武漢 430063

0 引言

壓電材料因其獨特的壓電效應可以將機械能轉(zhuǎn)換為電能，在能量收集裝置和傳感器等智能結構中得到廣泛應用。由于壓電材料的脆性以及在制備過程中的孔洞、夾雜、微裂紋等缺陷的產(chǎn)生，常導致基于壓電材料的智能結構在實際應用中喪失所期望的性能，甚至產(chǎn)生破壞從而影響整個系統(tǒng)的功能[1-5]，這迫使必須研究出壓電材料斷裂的力學機制，從而為壓電材料的可靠性分析提供理論基礎。其中，I 型裂紋是導致結構斷裂的主要原因，也是多年來實驗和理論研究的主體，大量數(shù)據(jù)表明，壓電材料裂紋一般從中心產(chǎn)生然后擴展至斷裂[6，7]，故本文將壓電平面I 型中心裂紋作為研究的重點。

1 壓電材料平面I 型裂紋解析解

1.1 壓電材料平面問題基礎控制方程

描述壓電材料的基本控制方程包括平衡方程、幾何方程和本構方程。本文討論的壓電材料是橫觀各向同性材料，假設研究對象區(qū)域為Ω，z軸為極化軸，在壓電材料內(nèi)部坐標系如圖1 所示，圖中z軸正方向表示壓電材料的極化方向。壓電材料中常用1、2、3 代替坐標系xyz表示。

圖1 壓電材料內(nèi)部坐標系

目前研究的壓電智能結構大多采用機械夾持電學短路的邊界條件，其相對應的第2 類壓電本構方程采用應變和電場強度作為自變量，對于橫觀各向同性的壓電材料板的平面應變問題，應變分量s22=s12=s23=0、電場分量E2=0，為了方便計算表達，記x→x1，z→x3，可得第2 類本構關系為

梯度方程為

式中：σij為應力，cij為彈性常數(shù)，sij為應變，eij為壓電常數(shù)，εij為介電常數(shù)，Di和Ei分別為電位移和電場，u、w為位移分量，φ為電勢。

1.2 壓電材料平面中心裂紋問題

據(jù)研究表明，壓電材料中裂紋一般在中心產(chǎn)生然后擴展發(fā)生斷裂，假設一個含有中心裂紋的二維壓電材料板，板位于xoz平面，極化方向沿z軸正方形，裂紋長度為2a，在無窮遠處作用有沿z方向的應力σ和電位移D，建立如圖2 所示的力學模型。

圖2 壓電材料中心裂紋問題力學模型

整理求解得到應變分量和電勢分量表達式

其中

由梯度方程（3）中消去u、w、φ可得變形協(xié)調(diào)方程

引入勢函數(shù)U=U(x1，x3)和φ=φ(x1，x3)使得

將式（6）代入式（4）中，得到勢函數(shù)表示的應變和電勢分量后代入式（5）中，消去φ(x1，x3)=得到關于U(x1，x3)的偏微分方程組為

設勢函數(shù)U(z)=U(x1+λx3)，將U(x1+λx3)代入式（7）中可得特征方程為

式（8）的特征根賦值后可求得特征根，設特征根為

式中：α2、β1、β2為常數(shù)。

由復變函數(shù)知識，設方程（7）的實值解為

其中

式中：aj、bj為系數(shù)，j=（1，2，3）。

由式（5）和式（6）可得用U表示的函數(shù)φ

將式（10）代入（11）中得

其中

將式（10）和式（12）代入式（6）中得到裂紋尖端的應力場和電位移場為

對于所假設的平面壓電材料板中心裂紋問題，不考慮裂紋閉合的情況，采用絕緣裂紋邊界條件比較合適，得到問題邊界條件為；當

考慮到壓電材料板的對稱性，選取函數(shù)為

當 |x1|＜a、x3=0 時可得

當x1→∞、x3→∞時即有

將式（14）到式（17）代入邊界條件中，可得方程組為

求解式（21）得到系數(shù)a1、a2、a3、b1、b2、b3的值為

將得到的系數(shù)a1、a2、a3、b1、b2、b3代入式（13）～式（17）中即可得到壓電材料裂紋尖端的應力場和電位移場。其中σ33和D3為

對于平面壓電材料中心裂紋問題，Ⅰ型裂紋應力強度應力因子和電位移強度因子可定義為

將式（22）和式（23）代入式（24）中求得

電位移D由壓電材料本構方程知可用應力和電場表示為

式中：E為施加的電場載荷。

根據(jù)Kuna M[8]的相關研究發(fā)現(xiàn)，應力強度因子與應變能釋放率之間的關系為

式中，cT、cL、cA、e、κ為壓電材料參數(shù)。

對于Ⅰ型裂紋，表示為

于是，其中的機械應變能釋放率和電勢能應變能釋放率可得：

電勢應變能釋放率為

機械應變能釋放率解析解為

2 有限元模擬數(shù)值分析

2.1 虛擬閉合裂紋法

為了使分析計算更加簡化，文獻[9]提出了對于平面問題只需要一步分析的虛擬裂紋閉合法。虛擬裂紋閉合法假設實際裂紋尖端與虛擬裂紋尖端處的張開位移近似相等，虛擬裂紋閉合法數(shù)值計算原理如圖3 所示。

圖3 虛擬閉合法數(shù)值計算原理

虛擬閉合裂紋法計算三維8 節(jié)點單元壓電材料應變能釋放率的公式為

總應變能釋放率中去除掉電學部分得到機械應變能釋放率表達式為

對于二維4 節(jié)點單元，平面 型裂紋的機械應變能釋放率

2.2 壓電材料板中心裂紋有限元建模

采用虛擬裂紋閉合法和Abaqus 有限元軟件來計算壓電材料平面中心裂紋（Ⅰ型裂紋）擴展問題的機械應變能釋放率，將計算結果與解析解相對比，驗證計算結果的精確性。假設一塊50 mm×50 mm 的壓電材料板，板中心含有0.24 mm 的細小初始裂紋，如圖4 所示。壓電材料選擇PZT-5H，材料參數(shù)如表1 所示。

表1 壓電材料PZT-5H 參數(shù)

圖4 壓電材料含中心裂紋板及簡化計算模型

選擇壓電材料等參平面為x-z平面，極化方向沿y軸方向。由于對稱性，在Abaqus 中可只取一半模型進行分析，選取右半平面進行分析。采用Debond 方法進行裂紋模擬時，需事先定義裂紋及裂紋表面，因此將右半平面分為右上和右下平面兩部分進行建模，在2 部分交界處定義裂紋及裂紋平面。

Abaqus 軟件中的Debond 方法設置了4 種不同的斷裂判據(jù)，本文選擇其中的臨界應力準則又稱應力失效準則，其定義為

式中：σn為垂直于裂紋面的法向應力分量，τ1，τ2為裂紋面剪切應力分量；σf，τ1f，τ2f為法向和切向臨界應力。

當f≥1 時，節(jié)點開裂。

對于平面Ⅰ型裂紋，法向應力是主要影響因素

在確定Debone 方法的斷裂判據(jù)之后，軟件中模型建立的操作步驟為：

1）建立部件 對于平面問題在部件類型上選取殼類型，建立右上和右下2 個部件，尺寸為25 mm×25 mm，在兩部件接觸面上采用定義出長為0.12 mm 的線段作為初始裂紋，再定義一部分長度作為裂紋擴展長度。

2）定義材料與截面屬性 定義壓電材料時，需要定義材料的彈性、壓電及介電參數(shù)；截面選擇實體、均質(zhì)，同時需要定義材料截面方向。值得注意的是，由于實際材料與Abaqus 軟件中設置材料的等參平面和極化方向不同，在軟件中輸入?yún)?shù)時需要對參數(shù)進行坐標轉(zhuǎn)換

3）裝配和接觸屬性 在裝配時選擇獨立類型；定義接觸時裂紋表面設置一般接觸，上下表面分別設置為主接觸面和從接觸面，在不會分開的非裂紋面設置Tie接觸，放置一般接觸面過大導致裂紋擴展時出現(xiàn)單元扭曲；最后定義主從表面接觸屬性。

4）網(wǎng)格劃分 為了提高裂紋尖端的計算精度，對裂紋尖端的網(wǎng)格進行加密處理，遠離尖端的網(wǎng)格稀疏劃分節(jié)省計算成本，模型網(wǎng)格劃分如圖5 所示。

圖5 模型網(wǎng)格劃分

5）載荷和邊界條件 載荷可以分2步施加，在步驟1）中施加電壓，步驟2）中施加機械載荷，機械載荷為計算模型的臨界載荷。由于對稱性，模型左端x方向位移固定為零。

6）定義Debond 方法關鍵字 Debond 方法通過關鍵字定義在Abaqus 中實現(xiàn)，主要分為定義初始狀態(tài)和激活裂紋拓展2 部分。

①定義初始狀態(tài) 定義初始狀態(tài)（Initial Condition）用以識別裂紋綁定部分。通過可以定義接觸從面（Slave Surface）、接觸主面（Master Surface）、以及用來識別從面初始粘接節(jié)點的加點集合，在這些節(jié)點上為粘接接觸，其他部分為常規(guī)接觸面。定義后初始接觸狀態(tài)將被用于指定的節(jié)點集合，定義接觸點的語句為

*INITIAL CONDITIONS，TYPE=CONTACT

upper-1.master，bottom-1.slave，bondnodes

其中upper-1.slave 和 bottom-1.master 為相互作用中設置的Slave 和Master 表面，Bondnodes 為選取的需要debond 的裂紋部分節(jié)點

②激活裂紋擴展 裂紋擴展的能力需要在分析步*Step 中被激活，通過定義后才會在定義好的方向上產(chǎn)生裂紋的擴展，此時需要定義接觸粘接的面，關鍵字為

其中，關鍵字Critical Stress 為斷裂準則，Distance為需要采集的應力與裂紋尖端的距離，1e6 為拉伸應力值，后面的2 個0 分別是2 個切應力。

模型建立好后提交計算，對于不同的工況分析，僅在載荷施加步驟改變載荷數(shù)值即可，其余步驟相同。計算完后Abaqus 的后處理界面提取出裂紋尖端節(jié)點力及節(jié)點載荷，然后結合虛擬裂紋閉合法得到機械應變能釋放率。

2.3 數(shù)值結果分析

通過Abaqus 軟件和虛擬裂紋閉合法得到機械應變能釋放率與解析解相比較。首先研究僅作用力載荷作用的情況，當作用1 MPa 拉應力時，不同裂紋長度時的應力云圖如圖6 所示。

圖6 裂紋擴展至不同長度時應力云圖

由圖6 可知，在裂紋擴展時裂紋尖端的應力值始終為最大值，這是由于裂紋尖端存在應力集中的情況，和實際結論相符合。通過Abaqus 軟件對有限元模型進行模擬仿真，在后處理模塊中提取對應的節(jié)點力和節(jié)點位移，將節(jié)點力與節(jié)點位移值代入式（33）中，得到力加載下數(shù)值模擬計算數(shù)值解與解析解對比結果如圖7所示。

圖7 應力σ=1 MPa 加載下機械應變能釋放率數(shù)值解與解析解

由圖7 可看出，在僅有應力加載下，機械應變能釋放率隨著裂紋擴展呈線性增加，裂紋長度越長機械應變能釋放率越大，說明裂紋長度越長結構越容易發(fā)生裂紋擴展。數(shù)值模擬計算結果和解析解吻合很好，說明Abaqus 軟件有限元仿結合虛擬裂紋閉合法求解壓電材料斷裂問題具有可行性。

為討論壓電材料裂紋在不同力加載情況下的擴展情況，分別在同一裂紋長度a=0.12 mm 下施加1 MPa、2 MPa、3 MPa、4 MPa、5 MPa 的應力，得到的數(shù)值解與解析解對比如圖8 所示。

圖8 不同力加載下機械應變能釋放率數(shù)值解與解析解

從圖8 中可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)值解與解析解吻合程度依舊良好，機械應變能釋放率隨著施加應力的增加而變大，且隨著力加載的變大，機械應變能釋放率變大的速率在增加，說明應力越大，裂紋不僅越容易擴展，且抵抗擴展的能力在下降。

同樣地，為分析壓電材料裂紋在不同電加載情況下的擴展情況，分別在同一裂紋長度a=0.12 mm 同一力加載情況下施加E=10 000 V/m、50 000 V/m、100 000 V/m的正電場和E=-10 000 V/m、-50 000 V/m、-100 000 V/m 的負電場作用，得到結果如圖9 和圖10 所示。

圖9 同一力載荷加載下機械應變能釋放率與解析解

圖10 不同電場加載下機械應變能釋放率數(shù)值解與解析解

從圖9 可以看出，當電場強度增加到E=-100 000 V/m 時，計算得到的機械應變能釋放率變?yōu)樨撝担@是因為在強負電場作用下，裂紋上下表面互相擠壓并沒有出現(xiàn)開裂導致計算結果出現(xiàn)負值。

從圖10 中可看出，同一裂紋長度、機械載荷不變時，正電場的增加導致機械應變能釋放率增加，負電場強度的增加機械應變能釋放率減小，且基本處于一個線性變化的趨勢，說明正電場對裂紋的擴展起促進作用，負電場對裂紋的擴展起抑制作用。

3 結語

1）數(shù)值算例的數(shù)值解與解析解良好吻合說明了有限元模擬與虛擬裂紋閉合法結合應用到壓電材料斷裂問題分析的可行性。

2）機械應變能釋放率隨著外加力載荷的增加而增加，且變大的速率也隨之增加，說明施加的應力越大，材料抵抗裂紋擴展的能力變得越弱。

3）當強負電場作用下時，機械應變能釋放率會因為裂紋面互相擠壓變成負值，一般電場下，正電場對裂紋擴展起促進作用，負電場則抑制裂紋的擴展。