上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) (200070) 付慧玲

PBL(Problem-Based Learning)是以問題為導(dǎo)向的教學(xué)方法,即問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法. 問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法以問題為依據(jù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)過程,或者在教學(xué)中讓學(xué)生提出問題,以及學(xué)習(xí)中遇到的疑惑,或是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn),從而引領(lǐng)學(xué)生的探究方向,激發(fā)學(xué)生的探究動(dòng)力,學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)并自我建構(gòu).自主探究的教學(xué)模式是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力的一種重要教學(xué)模式,有助于學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)體系框架,有助于思維導(dǎo)圖的構(gòu)成,有助于學(xué)生將知識(shí)內(nèi)化,形成自身的認(rèn)識(shí).

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》在課程理念中提出: 實(shí)施促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的教學(xué)活動(dòng),有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一,學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者. PBL 問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法, 緊扣課程理念,關(guān)注學(xué)生的主體地位,設(shè)計(jì)自主探究活活動(dòng),想要最大程度的提高學(xué)生的參與度和自主性, 引導(dǎo)學(xué)生研究教學(xué)內(nèi)容,本文以專題:“邊. 邊. 角”能判定三角形全等嗎? 為例,淺談PBL 視域下引導(dǎo)學(xué)生自主探究的教學(xué)策略.

1 挖掘教材內(nèi)容,設(shè)計(jì)課堂活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生自主探究

“邊. 邊. 角”能判定三角形全等嗎? 是一節(jié)專題探究課,是上海教育出版社,九年義務(wù)教育七年級(jí)第二學(xué)期,第十四章章節(jié)末的一篇閱讀材料. 在第十四章,學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形的基本元素和有關(guān)線段,三角形的分類以及全等三角形的相關(guān)知識(shí)等;學(xué)生掌握了全等三角形的幾種判定方法,且知曉了這幾種判定方法的由來依據(jù). 但是第十四章教材學(xué)習(xí)的內(nèi)容并沒有包含所有的判定方法,而閱讀教材是對(duì)本章學(xué)習(xí)內(nèi)容的補(bǔ)充,從整個(gè)單元設(shè)計(jì)上來講,學(xué)習(xí)本節(jié)專題課能使得學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備更加完善和系統(tǒng),結(jié)合學(xué)生的學(xué)情和學(xué)校的教學(xué)設(shè)施(平板電腦),制定如下的教學(xué)目標(biāo).

1.1 制定適切的教學(xué)目標(biāo)

1. 運(yùn)用方法性類比,回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過的全等三角形判定方法的由來依據(jù). 通過畫圖操作,理解“邊. 邊. 角”不能作為全等三角形判定方法的道理;

2. 運(yùn)用平板電腦,借助現(xiàn)代化技術(shù). 通過利用GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)演示圓與射線的交點(diǎn)情況的過程, 自主探究“邊.邊. 角”在哪些特殊情況下能畫出形狀、大小唯一的三角形,在動(dòng)態(tài)變化的過程中探索變量的變化規(guī)律,體會(huì)、關(guān)注臨界位置;

3. 培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)思維能力,體會(huì)感知數(shù)學(xué)思想.在“邊. 邊. 角”全等三角形判定方法的探索中,完善三角形全等的判定方法,體會(huì)轉(zhuǎn)化及有序分類的思想.

1.2 張弛有度,把握教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)“邊. 邊. 角”在哪些特殊情況下能判定三角形全等的自主探究;

教學(xué)難點(diǎn)在動(dòng)態(tài)變化過程中,探求變量變化的規(guī)律,并關(guān)注臨界位置及進(jìn)行有序分類.

1.3 結(jié)合現(xiàn)代化數(shù)字手段,豐富課堂活動(dòng),預(yù)設(shè)與實(shí)踐相碰撞,全方位關(guān)注教學(xué)過程

1.3.1 復(fù)習(xí)引入之溫故知新

(1)合理設(shè)置練習(xí),進(jìn)行作業(yè)講評(píng)

操作1作圖

①畫ΔABC,使∠A=30°,AB=6cm,BC=3cm;

②畫ΔABC,使∠A=30°,AB=6cm,BC=5cm;

③畫ΔABC,使∠A=90°,AB=6cm,BC=10cm;

④畫ΔABC,使∠A=120°,AB=6cm,BC=8cm.

幾個(gè)練習(xí)中給定的條件均是“已知兩邊及其中一邊的對(duì)角”,而通過畫圖操作,有的畫出一個(gè)的三角形,有的畫出兩個(gè)三角形,而有的并沒有畫出三角形. 這里的練習(xí)設(shè)置,細(xì)心的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn),給定的三角形的內(nèi)角有銳角、直角和鈍角,這里也是為接下來的新課學(xué)習(xí)進(jìn)行鋪墊.

因?yàn)?通過畫三角形的操作實(shí)驗(yàn)已經(jīng)知道,一個(gè)三角形的形狀和大小可以由這個(gè)三角形中的兩邊及其夾角或兩角及其夾邊或兩角及其中一角的對(duì)邊或三邊,這樣的三個(gè)元素唯一確定;這也就是,若兩個(gè)三角形滿足以上所說的條件,那么它們就是全等三角形. 研究判定兩個(gè)三角形全等的方法,就是從研究根據(jù)適當(dāng)?shù)娜齻€(gè)條件畫三角形開始的. 所以根據(jù)之前的學(xué)習(xí)歷程,將“邊. 邊. 角”是否能判定兩個(gè)三角形全等的問題轉(zhuǎn)化為“邊. 邊. 角”是否能確定三角形的形狀和大小的問題來研究,這里就是利用了方法性類比將問題進(jìn)行了轉(zhuǎn)化.

(2)環(huán)環(huán)相扣,過渡自然,提出問題1

問題1“邊. 邊. 角”能判定三角形全等嗎?

由課前練習(xí)畫出的三角形的情況不唯一,可以回答問題1,得出結(jié)論:“邊. 邊. 角”不具有普適性,因此不能作為判定三角形全等的方法.

通過這一教學(xué)活動(dòng),學(xué)生能夠說明“邊. 邊. 角”不能作為判定三角形全等的方法的依據(jù),體會(huì)了將兩個(gè)三角形是否全等的問題轉(zhuǎn)化為能否確定三角形的形狀和大小的問題來研究.

1.3.2 設(shè)置教學(xué)活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生自主探究

順勢(shì)而為,乘勝追擊,提出問題2

問題2是否在某些特殊情況下,“邊. 邊. 角”能判定兩個(gè)三角形全等呢?

通過類比之前學(xué)習(xí)的歷程,問題2 被轉(zhuǎn)化為: 是否在某些特殊情況下,“邊. 邊. 角”能唯一確定一個(gè)三角形的形狀和大小呢? 很自然的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入下一步的畫圖自主操作

操作2已知兩邊及其中一邊的對(duì)角,畫ΔABC.

(1)分析問題已知,培養(yǎng)解決一般性問題的思維能力

問題2 被轉(zhuǎn)化為畫圖操作進(jìn)行解決,這里不同于課前練習(xí)是給定具體的數(shù)據(jù)進(jìn)行操作,而是一個(gè)很一般性的問題.

問題3那么如何體現(xiàn)問題的一般性呢?

這里可以用字母表示三角形的邊長(zhǎng)、相關(guān)線段的長(zhǎng)度以及三角形內(nèi)角的度數(shù).

根據(jù)之前學(xué)習(xí)畫三角形的經(jīng)驗(yàn),

問題4確定一個(gè)三角形的形狀和大小關(guān)鍵在于?

確定這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的相對(duì)位置. 而已知一邊可以確定三角形兩個(gè)頂點(diǎn)的相對(duì)位置,

問題5而第三個(gè)頂點(diǎn)的確定關(guān)鍵在于?

關(guān)鍵在剩余兩個(gè)條件是什么. 這里由學(xué)生根據(jù)問題的層層深入, 自主設(shè)計(jì)畫圖操作: 畫ΔABC, 使AB=c,∠A=α,BC=r,其中c的長(zhǎng)度如圖所示.

(2)有條不紊,自主探究,用GeoGebra 軟件動(dòng)態(tài)體驗(yàn),構(gòu)建有序分類的思維習(xí)慣

畫圖操作中給定了AB長(zhǎng)度的參考,在剩余的兩個(gè)條件中考慮先畫∠A=α.

問題6α的度數(shù)具體是多少未知,但是α是三角形的一個(gè)內(nèi)角的嗎? 三角形的內(nèi)角一般可以是什么角? (銳角、直角、鈍角)

根據(jù)所學(xué)知識(shí)知道它可以是銳角、直角和鈍角.

問題7那么就需要對(duì)α進(jìn)行分類討論,按什么順序討論呢?

可以按從小到大的順序進(jìn)行討論,因此先討論α為銳角時(shí),即0＜α＜90°.

接下來畫角的對(duì)邊BC=r,可是問題仍然存在,r的長(zhǎng)度是多少并不知曉. 在已經(jīng)畫出的圖上,確定長(zhǎng)度的線段是AB=c,

問題8還可以找到一條確定長(zhǎng)度的線段嗎?

可以: 點(diǎn)B到射線AM的垂線段的長(zhǎng)度是確定的,即點(diǎn)B到射線AM的距離h,因?yàn)榻?jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

問題9那么請(qǐng)大膽猜測(cè),r的長(zhǎng)度與h、c的長(zhǎng)度有關(guān)嗎? 有什么關(guān)系呢?

而具體有什么關(guān)系,能不能畫出三角形,需要探索嘗試才能知道,這里借助現(xiàn)代科技手段,利用平板電腦,學(xué)生自己動(dòng)手操作,自主探索,借助GeoGebra 軟件的動(dòng)態(tài)演示以點(diǎn)B為圓心,r為半徑的圓與射線AM的交點(diǎn)情況,直觀感受,如下圖1 所示. 然后將探索得到的情況一一畫在操作單的表格中,并填寫出對(duì)應(yīng)的r與h或c的數(shù)量關(guān)系.

圖1 角是銳角

通過平板的演示, 學(xué)生能輕松說出圓弧與射線交點(diǎn)的五種情況,并能在操作單上將五種情況畫出;但是從r與h或c的數(shù)量關(guān)系大小看圖畫的較為凌亂, 從有無交點(diǎn)上看也沒有章法, 這里亟需培養(yǎng)的思維能力是: 進(jìn)行有序分類.

其實(shí)在課題的開始對(duì)三角形的內(nèi)角進(jìn)行分類的時(shí)候,已經(jīng)滲透了從小到大有序分類的思想,r的參考對(duì)象稍顯復(fù)雜,是一個(gè)綜合性的問題,那么要使得討論不重復(fù)、不遺漏,有序分類就至關(guān)重要;而分類的依據(jù),在GeoGebra 軟件的動(dòng)態(tài)演示中是影響交點(diǎn)個(gè)數(shù)的臨界位置, 對(duì)應(yīng)的是r與h或c的數(shù)量關(guān)系,從小到大分別是0＜r＜h、r=h、h＜r＜c、r=c、r＞c;這里對(duì)r與h或c的數(shù)量關(guān)系的確定中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

(3)模仿類比,自主探索,層層深入,培養(yǎng)觸類旁通的思維能力

已經(jīng)討論了α為銳角的情況,那么α為直角、鈍角的情況,完全可以運(yùn)用過程性類比α為銳角的情況進(jìn)行操作. 而在教學(xué)中,學(xué)生的課堂反饋非常自然,對(duì)剩余兩種情況進(jìn)行了有序分類,明了有序分類的意義,成功的將所學(xué)新知識(shí)遷移到解決新問題中,α為直角、鈍角的兩種情況分別如下圖2、3 所示.

圖2 角是直角

圖3 角是鈍角

通過設(shè)計(jì)豐富合理的教學(xué)活動(dòng),學(xué)生經(jīng)歷了這樣的一個(gè)學(xué)習(xí)過程,見圖4.

圖4 學(xué)習(xí)過程

(4)借助表格,培養(yǎng)化繁為簡(jiǎn)的思維能力

將討論的幾種情況以表格的形式呈現(xiàn),將比較復(fù)雜繁瑣的問題直觀呈現(xiàn)出來,簡(jiǎn)潔明了,有助于學(xué)生進(jìn)行知識(shí)梳理,降低理解記憶的難度,增加持續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,見表1.

表1 關(guān)系表

2 于反思中前進(jìn)

本次研究不僅關(guān)注教師的教學(xué)方式,而且關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和獲得知識(shí)的途徑,同時(shí)還側(cè)重初中階段的“問題解決”和數(shù)學(xué)建模.

有助于教師做好學(xué)生學(xué)習(xí)路上的“引路人”. 在問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法中,教師擔(dān)任的角色是問題的提出者、課程的設(shè)計(jì)者以及結(jié)果的評(píng)估者. 教師運(yùn)用一系列的問題,引導(dǎo)學(xué)生的思維層層遞進(jìn);設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng),加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解;關(guān)注自主探究,滲透學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的方法,學(xué)會(huì)解決一類問題的思考方式. 有利于培養(yǎng)質(zhì)疑問難,自我反思,勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神. 問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法讓學(xué)生圍繞問題尋求解決方案,能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性,提高其在教學(xué)過程中的參與程度,提升學(xué)習(xí)的求知欲,活躍其思維.

學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的學(xué)習(xí)過程,培養(yǎng)了學(xué)生解決一般性問題、有序分類、觸類旁通、化繁為簡(jiǎn)的思維能力. 其中有序分類的思想為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)搭建了成長(zhǎng)的臺(tái)階;在課堂活動(dòng)中學(xué)生將舊知識(shí)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)遷移到新問題情景中,培養(yǎng)了學(xué)生主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)能力. 而自主探究的學(xué)習(xí)方式,具有培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)思維、形成思維方法的重要功能,對(duì)學(xué)生逐步形成良好的創(chuàng)新意識(shí)具有重要作用,對(duì)學(xué)生的未來發(fā)展具有不可替代的教育價(jià)值.