山東省濟南市濟南新航實驗外國語學校 (250000) 楊超 張素文 祁文煥

在中國知網中以“數學銜接”為主題的期刊論文共648條結果,碩士學位論文共168 條結果. 這些文獻既體現出了各位專家學者對解決數學教學問題的熱情,也側面體現了小初高三個學段教學內容、教學方式、評價方式的差異性. 要改變這種現狀,僅僅研究小初銜接、初高銜接是不夠的,應加強各學段之間的聯(lián)系,加快全學段融通一體化發(fā)展.

為此, 筆者參與了由邵麗云名師工作室開展全學段融通一體化發(fā)展的系列教研活動,并執(zhí)教公開課“確定圓的條件”. 活動以現場直播課、專家引領,線下與線上結合的方式開展,線上面向濟南市高中數學教師、全省中小學數學教師.活動以三個學段共有知識“圓”為課題. 各學段選擇一節(jié)課,根據學生的實際情況與新課標要求,體現各學段所學知識間關聯(lián)性,學生能力要求的差異性,不同學段的學生思維能力培養(yǎng)的延續(xù)性,進一步提高各學段教學的“針對性”、“系統(tǒng)性”、“連貫性”、“發(fā)展性”. (濟南市小學使用人教版教材,初中使用北師大版教材,高中使用人教A 版教材)本文結合課堂觀摩、執(zhí)教經驗、專家發(fā)言和自己的若干思考,談一談對于全學段融通教學的理解.

1 全學段貫通課例介紹

課例1: 小學“圓的認識”

課程設計注重“做中學”,強調活動經驗的積累. 教師通過生活中的圓引入后, 設置了“畫一畫”、“找一找”、“投一投”三個活動,分別對應了“圓心確定了圓的位置. ”、“在同一圓內,半徑都相等,半徑是直徑的一半. ”、“半徑確定了圓的大小. ”三個知識點,活動后用墨子的名言“圓,一周同長也. ”滲透數學史知識. 最后,用短片欣賞生活中的圓,感受圓的美,升華課堂.

課例2: 初中“確定圓的條件”

課程設計注重小組合作探究和現代信息技術的應用. 回顧六年級的“確定圓的要素”、七年級圓的定義、九年級圓的定義后, 強調“圓心和半徑確定了, 圓就確定了”, 進而探究“過幾點可以確定一個圓? ”,即過幾點的圓有唯一的圓心和半徑. 通過小組合作和幾何畫板的演示,學生得到結論“不在同一直線上的三個點確定一個圓”. 在此基礎上介紹三角形外接圓定義,并通過兩個例題探究三角形外心位置和三角形形狀(銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形)的關系,體現利用所學知識解決實際問題. 最后當堂檢測,課堂小結.

課例3: 高中“圓的標準方程”

課程的探究過程設置了四個問題.問題1“圓的定義是什么?如何確定一個圓? ”回顧了初中圓的定義和確定圓的條件.問題2“在平面直角坐標系中,如何確定一個圓呢? ”在初中知識的基礎上利用坐標法確定圓的標準方程. 問題3“你能總結求軌跡方程的一般步驟嗎? ”確定了建系→設點→列式→化簡→證明五個步驟. 問題4“已知圓心為A(a,b),半徑為r,圓的標準方程是什么? ”明確了已知圓心和半徑直接確定圓的標準方程的方法.

探究過后,教師設置了兩個練習和兩個例題. 教師通過兩個練習,利用直接法求圓的標準方程,引導學生得到“圓的標準方程明確給出了圓心坐標和半徑. ”和“確定圓的方程必須具備三個獨立條件即a、b、r.”兩個結論. 例1 介紹了待定系數法和幾何法,滲透了數形結合的思想,培養(yǎng)學生數學運算素養(yǎng). 例2 通過所學知識解決實際問題,滲透模型思想. 最后當堂檢測,課堂小結滲透數學史內容.

2 全學段貫通分析

筆者在《基于數學核心素養(yǎng)的四線式教學設計——以〈余弦定理〉為例》中,根據數學學科特點提出了數學的“四線式”教學模式. 四線分別是探究線、知識線、思想線、素養(yǎng)線,知識線[1]. 仿照四線式教學模式,根據全學段貫通特點,下面從知識點、數學史、核心素養(yǎng)三方面展開討論.

2.1 貫通知識,突破重難點

圖1 是三節(jié)展示課涉及到的知識點. 小學“圓的認識”中“半徑確定了圓的大小,圓心確定了圓的位置”在教材中沒有具體標注, 但這個知識點是初中“確定圓的條件”轉化的基礎.“不共線的三點確定一個圓”也是待定系數法求圓的標準方程的基礎,所以這需要小學教師著重強調. 同理,小學“圓的認識”中“同一個圓中所有半徑相等”和初中圓的兩個定義聯(lián)系密切,而根據“圓是平面上到定點的距離等于定長的點組成的圖形”可以直接寫出圓的標準方程. 九年級下冊第三章第三節(jié)的內容“垂徑定理”更是幾何法求圓的標準方程的基礎. 關于圓的內容,三個學段知識相互聯(lián)系,逐級遞進,在教學時如果能考慮知識的前后聯(lián)系,無疑能夠更好的把握重點,突破難點. 本次活動中三位老師有如下幾個亮點:

圖1

1. 圖2,小學教師重點強調“半徑確定了圓的大小,圓心確定了圓的位置”,引用墨子名言“圓,一周同長也”,滲透數學史知識.

圖2

2. 圖3,初中教師以回顧圓的兩個定義并強調“半徑確定了圓的大小,圓心確定了圓的位置”,進一步探究至少過幾點確定一個圓,轉化為過幾點的圓有唯一的圓心和半徑,抓住了這一點,就找到了本節(jié)課的著力點.

圖3

3. 圖4,高中教師回顧九年級圓的定義,讓學生具備利用坐標法研究圓的能力,復習確定圓的條件和垂徑定理,引導學生多種方法求圓的標準方程,確保本節(jié)課知識在學生的最近發(fā)展區(qū)之內.

圖4

圖5

“圓”在小學人教版教材中是六年級上冊的內容,教材強調“做中學”,通過在圓規(guī)畫圓、圍餐桌鐵皮等活動中解決問題,引發(fā)學生思考,幫助學生理解概念,獲得知識,體會數學轉化思想和極限思想,培養(yǎng)應用意識、推理意識和幾何直觀.

在北師初中大版教材中,涉及圓的內容有兩部分. 七年級下冊第四章第五節(jié)“多邊形和圓的初步認識”將圓定義為“平面上,一條線段繞著它規(guī)定的一個端點旋轉一周,另一個端點形成的圖形”. 九年級下冊第三章整個章節(jié)系統(tǒng)的介紹了圓的內容,將圓定義為“平面內到定點的距離等于定長的點組成的圖形”,已經滲透了集合的思想. 初中階段對于圓的學習主要是在九年級,利用學生已有知識和活動經驗,如利用軸對稱性探索切線長定理和垂徑定理,利用旋轉不變性探索圓的弦、弧、角之間的關系,利用演繹推理的方法研究圓心角和圓周角之間的關系. 教材內容包含了分類思想、合情推理思想、演繹推理思想,注重培養(yǎng)學生的推理能力.

高中階段,圓有關的內容有兩節(jié),相對較少,分別是“圓的方程”和“直線與圓、圓與圓的位置關系”.“圓的方程”運用坐標法確定圓的一般方程或者標準方程,研究幾何和代數之間的關系,體現了數形結合的思想.“直線與圓、圓與圓的位置關系”在初中“直線與圓的位置關系”的基礎上,進一步定量研究. 三個學段關于圓的學習差別較大,小學階段是對圓初步認識,初中階段是對圓的重點研究,內容最多,高中階段則是采用坐標法對圓進行定量研究.

三個學段關于圓的內容雖然重點不同, 但是聯(lián)系密切.如小學提到的“圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小”,就是初中圓的定義和高中圓的標準方程的基礎. 小學的“圓的周長”、“圓的面積”、“扇形”是初中研究“弧長及扇形的面積”的基礎. 只有把握知識的前后聯(lián)系, 了解學生的思維水平,教師才能確定學生的最近發(fā)展區(qū),提高課堂效率,培養(yǎng)核心素養(yǎng).

2.2 貫通數學史,激發(fā)學習興趣

課例1 中運用了墨子的名言“圓,一周同長也”,滲透數學文化,增加了學生的文化自信. 課例2 中講解了《幾何原本》中第4 卷命題4. 5“作三角形的外接圓”,滲透了古希臘數學史[2]. 課例3 介紹了坐標法對幾何圖形的研究,滲透了解析幾何的歷史. 數學史是數學不可分割的一部分,目前課堂對于數學史的滲透是不成體系的,這就導致學生對數學史的認識都是零碎的,阻礙了學生數學興趣的產生. 課例3 中老師滲透數學史知識時,提到了墨子“圓,一周同長也. ”和《幾何原本》,雖然是短短幾句話,但是學生對于數學史的整體認識有很大的提高. 三個學段的數學史也可以進行串聯(lián),如在各學段學習圓的有關內容之后,在復習課以數學史為主線幫助學生感受數學文化. 特別是在高中階段,學完一部分內容之后,在復習課以數學史為主線,兼顧義務教育階段內容,梳理數學史,幫助學生感受數學文化,激發(fā)學習數學的熱情. 表1 是筆者對小初高三個學段與圓有關的數學史的梳理,供各位同行參考.

表1

2.3 貫通核心素養(yǎng),體現階段性與一致性

三節(jié)展示課中,隨著年齡的增長,學生的行為活躍程度降低,但是思維的活躍程度增高. 活動設計小學以游戲為主,初中以動手操作為主,高中則以討論探究為主,問題難度不斷增加,思維含量不斷增大,一方面是學生年齡特點導致,另一方面是學生知識水平不同, 數學核心素養(yǎng)水平不同導致.課例1 注重感知幾何圖形及其組成元素,課例2 注重分析圖形的性質,課例3 注重建立形與數的聯(lián)系. 課例1、2 注重培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng),課例3 注重培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng),這體現了核心素養(yǎng)的一致性和階段性. 教育教學過程中,不但要注重學生原有知識水平,更要注重學生原有的素養(yǎng)水平. 對同類知識,明確在不同的學段核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重點,教學才能有的放矢.

如圖6,數學核心素養(yǎng)是數學教學的頂層設計,具有整體性、一致性和階段性,并且三個學段的數學核心素養(yǎng)都體現了“三會”,即用數學的眼光觀察現實世界,用數學的思維思考現實世界,用數學的語言表達現實世界(下表簡稱為數學眼光、數學思維、數學語言),但在具體表述又有所不同[3]. 小學階段側重對經驗的感悟,初中階段側重對概念的理解,高中階段側重于數學的本質的探究和能力的掌握. 即低年級段數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應偏于具體,更加側重于意識方面;高年級段數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應偏于抽象,更加側重于能力方面[4].

圖6

從大單元教學的角度分析,圓的相關內容,小學階段注重培養(yǎng)幾何直觀,初中階段注重培養(yǎng)推理能力,高中階段注重培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng). 初中階段關于圓的學習主要是通過合情推理和演繹推理學習圓的相關性質. 數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng),不僅要關注到當節(jié)內容,更要從大單元的視角關注要重點培養(yǎng)的核心素養(yǎng),還要關注其它學段相關內容注重哪方面的數學核心素養(yǎng). 通過對比分析,教師應關注到數學核心素養(yǎng)的一致性和階段性,關注學生原有素養(yǎng)水平,確定核心素養(yǎng)的培養(yǎng)增長點,才能更好的將核心素養(yǎng)落地.

3 結語

全學段融貫通一體化發(fā)展的系列教研,其目的是建立小學與初中、初中與高中銜接的長效機制,加強小學、初中、高中數學教學“融貫通課堂”的互學共研,讓學生在“全學段貫通式教學”中得到“系統(tǒng)性”、“連貫性”、“發(fā)展性”的思維訓練中成長;讓教師在“一體化發(fā)展”中教學能力提升. 提高學生數學學科核心素養(yǎng), 切實落實課堂減負提質主陣地作用,全面提高教育質量,為學生終身發(fā)展奠定堅實基礎.