廣東省東莞市南城陽光實(shí)驗(yàn)中學(xué) (523000) 鄭珍

動點(diǎn)問題是每年中考的熱門題型,同是也是學(xué)生較難掌握的一個內(nèi)容. 通常老師教給學(xué)生的方法是化“動”為“靜”,學(xué)生只是被動的接受這種方法. 但是,新課標(biāo)理念之一是: 實(shí)施促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的教學(xué)活動. 所以,我們的教學(xué)不僅是傳授方法,更重要的是讓學(xué)生在理解知識本身情況下的做到靈活應(yīng)用. 所以,本文以絕對值的概念為例研究以“動”探“動”的應(yīng)用.

1 絕對值的概念

一般地,數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值,記作|a|.

2 在數(shù)軸上表示線段長度

如圖2.1,數(shù)軸上的點(diǎn)A,B,C分別表示數(shù)-3,-1,2.

圖2.1

圖3.1

(1)A,B兩點(diǎn)的距離AB= 2,A,C兩點(diǎn)的距離AC=5;

(2)通過觀察,可以發(fā)現(xiàn)數(shù)軸中任意兩點(diǎn)間的距離與這兩點(diǎn)表示的數(shù)的差的絕對值有一定關(guān)系: 即: 若點(diǎn)D表示的數(shù)為x,則CD=|x-2|.

根據(jù)絕對值非負(fù)性知數(shù)軸上任意兩點(diǎn)間的距離是右邊的點(diǎn)表示的數(shù)減去左邊的點(diǎn)表示的數(shù);如A,B兩點(diǎn)的距離AB=-1-(-3)=2,A,C兩點(diǎn)的距離AC=2-(-3)=5.當(dāng)不知道誰大誰小時,兩點(diǎn)間的距離就是這兩點(diǎn)表示的數(shù)的差的絕對值.

以上是我們給學(xué)生講解的常規(guī)思路,如果我們從平移動態(tài)的角度來看: 點(diǎn)A向右平移2 個單位到達(dá)點(diǎn)B(點(diǎn)B向左平移2 個單位到達(dá)點(diǎn)A),所以AB的長度是2.

2.1 在數(shù)軸中的應(yīng)用

例題如圖2.1 求點(diǎn)D在數(shù)軸上的位置,使得CD=4.

常規(guī)思路: 由于題目中不知道C,D哪個點(diǎn)在右,那就說明有兩種可能情況;所以我們只能用兩點(diǎn)表示的數(shù)的差的絕對值來表示兩點(diǎn)間的距離.

解設(shè)點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)為x,則CD=|x-2|=4.解得x1=6,x2=-2.

以動探動: 點(diǎn)D是數(shù)軸上的一動點(diǎn),滿足CD=4. 那就可以動態(tài)角度理解,將點(diǎn)C分別向左、右平移4 的單位長度即可求出點(diǎn)D的位置.

小結(jié): 到數(shù)軸上一定點(diǎn)距離等于一定長的點(diǎn)有兩個,這兩個點(diǎn)分布在定點(diǎn)的左右兩側(cè),分別是將定點(diǎn)向左或向右平移定長后所在的點(diǎn).

3 從數(shù)軸到平面直角坐標(biāo)系

眾所周知我們初中幾何的學(xué)習(xí)是由線到面的,平面直角坐標(biāo)系其實(shí)就是兩條相互垂直的數(shù)軸構(gòu)成了一個平面. 在我們看來這個只是一維到二維的變化,但卻給我們的學(xué)生帶來了無盡的煩惱. 在平面直角坐標(biāo)系中學(xué)生不能將其與數(shù)軸類比,學(xué)習(xí)起來有困難;特別是動點(diǎn)的問題. 我們這里要“以動探動”的研究平面直角坐標(biāo)系中通過平移的方式求線段長度的方法.

3.1 在平面直角坐標(biāo)系中應(yīng)用

例 題 如 圖 3.1, 在平面直角坐標(biāo)系中, 點(diǎn)A(-1,0),B(2,-1).

若點(diǎn)C在x軸上, 且,求點(diǎn)C的坐標(biāo);

解設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0),∵點(diǎn)A(-1,0),∴AC=∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為

如果我們“以動探動”就可以認(rèn)為是將點(diǎn)A沿x軸向左或向右平移個單位長度后得到點(diǎn)C的坐標(biāo).

(2) 過點(diǎn)B作BE//y軸, 點(diǎn)D在直線BE上, 且求點(diǎn)D的坐標(biāo).

解設(shè)點(diǎn)設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,y),∵點(diǎn)B(2,-1),∴BD=∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為

同理我們“以動探動”就可以認(rèn)為是將點(diǎn)B沿平行y軸的BE向上或向下平移個單位長度后得到點(diǎn)D的坐標(biāo).

4 “以動探動”在綜合題中的應(yīng)用

在平面直角坐標(biāo)系中,求兩點(diǎn)線段的長度問題,往往要過點(diǎn)往兩個坐標(biāo)軸做垂線段即:“化斜為直”的思想來處理.初中階段我們經(jīng)常會遇到: 求兩函數(shù)之間的豎直距離(鉛垂線)可以用上面的函數(shù)解析式(y)減去下面的函數(shù)的解析式(y);求兩函數(shù)水平間的距離(水平線)我們可以用右邊函數(shù)的自變量(x)減去左邊函數(shù)的自變量(x),這兩個問題我們稱為“十字線”問題. 但是,學(xué)生求豎直方向和水平方向的線段的長度問題時很容易搞錯;如果我們能從絕對值的幾何意義的角度去解釋,我相信學(xué)生會很容易接受.

4.1 綜合應(yīng)用

例1 如圖4.1-1, 已知拋物線過點(diǎn)A(3,0),B(-1,0) ,C(0,3),連接AC,點(diǎn)D是線段AC段上的動點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥x軸,交拋物線于點(diǎn)E.

圖4.1-1

圖4.1-2

圖4.2

(1)求拋物線的解析式;

(2)連接AE,CE;若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為k,求DE(用含k的式子表示);設(shè)ΔACE面積為S,求S的有最大值?

解(1) 由待定系數(shù)法求得拋物線解析式為y=-x2+2x+3.

(2)分析: 點(diǎn)E可以看成是點(diǎn)D向上平移得到的,設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)后就很容易表示DE的長度. 由待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y=2x+3.

設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是k.

(3)若點(diǎn)M是拋物線AC段上的一點(diǎn),且CM//x軸. 求∠CAM的正切值;

(4)點(diǎn)P在拋物線上,且∠BAP= ∠CAM,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(4)分析: 這里先做動態(tài)理解,即射線AB可以通過繞點(diǎn)A逆時針或順時針旋轉(zhuǎn)∠CAM大小.

分析: 因?yàn)镺A//MN,如果OA=MN, 就可以判斷平行四邊形; 所以問題就轉(zhuǎn)化為在AB上找點(diǎn)M 使得MN=2;有因?yàn)镸N//x軸,從可以認(rèn)為是從點(diǎn)M向右或向左平移2 個單位長度后到達(dá)點(diǎn)N.

5 總結(jié)

本文重點(diǎn)通過舉例研究“動”探“動”的思想在解決動點(diǎn)問題的中應(yīng)用. 通過對絕對值這一初中第一個通過數(shù)形結(jié)合來理解的概念開始,讓學(xué)生開始就以動態(tài)的思維考慮動點(diǎn)問題. 從而培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索的思想,通過四個例題讓學(xué)生進(jìn)一步掌握“動”探“動”的思想. 所以,在平時的教學(xué)中,我們要把知識本身講解清楚,然后學(xué)生才能夠做到靈活應(yīng)用.