■廣東省中山市桂山中學(xué) 馬 銳

歷年數(shù)學(xué)高考題中常出現(xiàn)求證不等式的相關(guān)問(wèn)題,其往往與函數(shù)、方程、單調(diào)性、極值、最值等知識(shí)相融合,難度較大,是很多同學(xué)難以突破的試題。在考查同學(xué)們解決問(wèn)題能力的同時(shí),還考查對(duì)必備知識(shí)的融合能力、邏輯分析能力、計(jì)算能力等。下面我們通過(guò)具體的例子來(lái)分析證明不等式恒成立時(shí)會(huì)出現(xiàn)的易錯(cuò)點(diǎn),希望同學(xué)們能準(zhǔn)確避坑,高效解題。

所以g(t)≥g(1)=0,即t-lnt-1≥0成立,故原不等式成立。

例2已知函數(shù)f(x)=xex-x2-x(a∈R)。

證明:f(x)≥lnx-x2+1。

證明:要證f(x)≥lnx-x2+1,即證xex-x2-x≥lnx-x2+1,即證xex≥x+lnx+1,即證ex+lnx≥x+lnx+1。

令t=x+lnx,則要證et≥t+1。

令g(t)=et-t-1,則g′(t)=et-1。

當(dāng)t<0時(shí),g′(t)<0,g(t)在(-∞,0)上單調(diào)遞減;當(dāng)t>0 時(shí),g′(t)>0,g(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

所以g(t)min=g(0)=0,所以g(t)≥0,即et≥t+1成立,故f(x)≥lnx-x2+1。

易錯(cuò)點(diǎn)分析:上述兩個(gè)例子如果直接證明,有些同學(xué)會(huì)因?yàn)槭阶舆^(guò)于復(fù)雜而不得不放棄,這也恰好說(shuō)明求證不等式時(shí),首先,要對(duì)不等式化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化,這是正確求證的前提,也是最關(guān)鍵一步;其次,化簡(jiǎn)不等式后一般要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值(直接法),據(jù)此判斷不等式是否成立。因此,上述兩題化簡(jiǎn)得到≥0和ex+lnx≥x+lnx+1是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,之后便可用直接法快速證明。同時(shí)也提醒同學(xué)們對(duì)常見(jiàn)的一些結(jié)論,比如:ex≥x+1,lnx≤x-1及其各種變式要熟悉并加以牢記。

例4若函數(shù)f(x)=ex+(1-a)x,a∈R。

證明:當(dāng)a≤1時(shí),對(duì)任意的x>0,恒有f(x)>lnx+a+1。

證明:要證f(x)>lnx+a+1,即證ex+(1-a)x>lnx+a+1,即證ex>lnx+(a-1)x+a+1。因?yàn)閍≤1,x>0,所以(a-1)x+a+1≤a+1≤2,所以只需證ex>lnx+2。

①②兩式相加,得(ex-x)+(x-lnx)>2,所以ex>lnx+2,故當(dāng)a≤1時(shí),對(duì)任意的x>0,恒有f(x)>lnx+a+1。

易錯(cuò)點(diǎn)分析:(1)在用直接作差求導(dǎo)法進(jìn)行求證時(shí),若是含有參數(shù)范圍的不等式,則可進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題。(2)求導(dǎo)后,若無(wú)法得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)且不能準(zhǔn)確判斷其單調(diào)區(qū)間,則需要再次求導(dǎo),并利用零點(diǎn)存在性定理來(lái)判斷導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)(即隱零點(diǎn)),之后由二階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào),來(lái)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間,得到一階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào),進(jìn)而得出原函數(shù)的單調(diào)性,最后求出其最值。(3)例4的方法2中通過(guò)“ex≥x+1,lnx≤x-1”這兩個(gè)熟悉的不等式,把原有的一個(gè)不等式問(wèn)題變?yōu)閮蓚€(gè)常見(jiàn)的函數(shù)求最值問(wèn)題,簡(jiǎn)化了證明難度。

令φ(x)=ex-ex(00;當(dāng)x>1時(shí),φ′(x)<0。所以φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,則φ(x)max=φ(1)=0,所以ex-ex≤0。

易錯(cuò)點(diǎn)分析:在證明含有指數(shù)函數(shù)型和對(duì)數(shù)函數(shù)型的不等式時(shí),常常通過(guò)不等式變形得到f(x)>(≥)g(x)的形式(指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)分別位于不等式兩側(cè)),分別求出不等式兩邊兩個(gè)函數(shù)的最值,由最值關(guān)系得證不等式成立。

易錯(cuò)點(diǎn)分析:例6 和例7 中的證明均是關(guān)于變量n∈N*的,又是關(guān)于數(shù)列求和的不等式,便會(huì)聯(lián)想到數(shù)列的相關(guān)知識(shí),結(jié)合第一問(wèn)所得到的不等關(guān)系,自然聯(lián)想到累加法和變量代換。先將第一問(wèn)的結(jié)論通過(guò)適當(dāng)變形得到證明中所需數(shù)列的通項(xiàng)公式,再將通項(xiàng)公式替換原有的變量x,則可得到想要的一組不等關(guān)系,最后利用數(shù)列中的累加法求和化簡(jiǎn)即可得證。

通過(guò)上述例子,同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn),任何證明的思路都是相似的,只是在具體例子的證明過(guò)程中有許多細(xì)節(jié)要注意。例如,當(dāng)函數(shù)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單時(shí),我們可以通過(guò)直接求函數(shù)的最值來(lái)證明不等式的成立,但求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否存在,是否涉及三角函數(shù),是否需要多次求導(dǎo)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性,甚至有時(shí)會(huì)用到洛必達(dá)法則來(lái)求其最值,這些都需要因題而異。當(dāng)函數(shù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí),我們則需要對(duì)所證明不等式進(jìn)行準(zhǔn)確的變形、轉(zhuǎn)化,這個(gè)過(guò)程對(duì)同學(xué)們的化簡(jiǎn)能力要求較高,技巧性較強(qiáng),但后續(xù)證明卻比直接求導(dǎo)顯得容易。因此,同學(xué)們?cè)谄匠５木毩?xí)中,要學(xué)會(huì)對(duì)題目進(jìn)行多種方法的嘗試,進(jìn)而選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒?并善于總結(jié),之后便可根據(jù)不等式中所含有的函數(shù)類型來(lái)快速選擇最優(yōu)解法。