■安徽省阜陽(yáng)第一中學(xué) 董 曉

極值點(diǎn)偏移問(wèn)題是近幾年來(lái)高考數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的一類(lèi)熱點(diǎn)與難點(diǎn)問(wèn)題之一,往往以壓軸題的形式出現(xiàn),難度非常大,很多考生對(duì)此類(lèi)問(wèn)題無(wú)從下手、束手無(wú)策。熟練把握極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的基本特征與對(duì)應(yīng)類(lèi)型,掌握一些基本的破解方法與技巧,可以借助對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造輔助函數(shù)法來(lái)分析與處理,也可以借助比值代換法轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)不等式法來(lái)分析與處理,思維視角多種多樣,切入方式各異,都能有效轉(zhuǎn)化,巧妙應(yīng)用,合理破解。

一、對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造輔助函數(shù)

例1已知函數(shù)f(x)=+1。

(1)若曲線y=f(x)在x=1 處的切線與直線x-y=0垂直,求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上的最大值;

(2)當(dāng)a=1時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2(x12。

解析:(1)由題意得,函數(shù)f(x)=lnx-的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=-ax。因?yàn)榍€y=f(x)在x=1處的切線與直線x-y=0垂直,所以f′(1)=1-a=-1,解得a=2。

點(diǎn)評(píng):對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造輔助函數(shù)來(lái)破解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題,往往是用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和、積等相關(guān)不等式的證明問(wèn)題,結(jié)合條件確定函數(shù)并構(gòu)建對(duì)稱(chēng)函數(shù),將相關(guān)不等式加以等價(jià)轉(zhuǎn)化并與函數(shù)加以聯(lián)系,利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷,進(jìn)而比較大小與巧妙轉(zhuǎn)化,從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的破解。

二、合理選取函數(shù)

例2已知函數(shù)f(x)=x-ea+x(a∈R)。

(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的圖像在x=0處的切線;

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x12。

解析:(1)當(dāng)a=1 時(shí),f(x)=x-e1+x,則f′(x)=1-e1+x,f′(0)=1-e,則函數(shù)f(x)的圖像在x=0處的切線的斜率為1-e。又因?yàn)閒(0)=-e,所以所求切線的方程為y=(1-e)x-e,即(e-1)x+y+e=0。

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=x-lnx+a,則函數(shù)g(x)與函數(shù)f(x)具有相同的零點(diǎn),g′(x)=易知函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則g(x)≥g(1)=1+a。當(dāng)x→0時(shí),g(x)→+∞;當(dāng)x→+∞時(shí),g′(x)→1,g(x)→+∞。要使f(x),即g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),只需g(1)<0,即1+a<0,解得a<-1。

設(shè)函數(shù)F(x)=g(x)-g(2-x)(1

由題意得02。

點(diǎn)評(píng):合理選取函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題時(shí)最基本的切入點(diǎn),不同函數(shù)的選取與應(yīng)用,往往決定問(wèn)題破解的難易程度與分析過(guò)程,選取最為合適的函數(shù)來(lái)處理,可以?xún)?yōu)化運(yùn)算,簡(jiǎn)化過(guò)程,提升解題效益。

三、等價(jià)轉(zhuǎn)化結(jié)論

例3(2022 年天津市濱海區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(5月份)(三模))已知函數(shù)f(x)=lnx,

(1)當(dāng)a=-1,b=0 時(shí),求曲線y=f(x)-g(x)在x=1處的切線方程;

(2)當(dāng)b=0 時(shí),若對(duì)任意的x∈[1,2],f(x)+g(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)當(dāng)a=0,b>0 時(shí),若方程f(x)=g(x)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1,x2(x12。

點(diǎn)評(píng):等價(jià)轉(zhuǎn)化結(jié)論來(lái)破解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題,是分析法證明一些不等式成立問(wèn)題中比較常見(jiàn)的思維方法,通過(guò)結(jié)論的等價(jià)轉(zhuǎn)化,使得問(wèn)題的破解更加接近于已知條件或更加吻合思路的歷程,從而通過(guò)合理選取函數(shù)來(lái)等價(jià)轉(zhuǎn)化與解決問(wèn)題。

四、比值代換:化雙變量為單變量

點(diǎn)評(píng):比值代換來(lái)破解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題,是處理多參數(shù)(一般是兩個(gè))問(wèn)題中比較常用的一個(gè)技巧方法,通過(guò)比值代換(有時(shí)也借助差值代換)化雙變量為單變量問(wèn)題,合理消參減元,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題來(lái)分析與處理。

熟練理解并把握極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的基本破解方法與技巧策略,抓住以上幾種技巧策略的實(shí)質(zhì),合理化歸與轉(zhuǎn)化,以不同的策略巧妙構(gòu)建函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與應(yīng)用,以及函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等來(lái)綜合應(yīng)用,巧妙破解問(wèn)題。