■江蘇省東臺中學 李遐齡

函數(shù)的概念和性質(zhì)是研究函數(shù)的基礎(chǔ),是歷年高考常考的內(nèi)容,主要為選擇題或填空題,以中等難度的題目居多,命題的重點是分段函數(shù)的求值、不等式等問題。

考向一、函數(shù)的概念

主要以研究函數(shù)值的求解為主,特別是新定義函數(shù)的函數(shù)值。

評注:本題是以新定義形式給出背景的創(chuàng)新題,其構(gòu)思新穎巧妙,設置本題的目的是要求同學們在閱讀理解的基礎(chǔ)上根據(jù)題中提供的信息,建立合理的數(shù)學模型,聯(lián)系所學的知識方法實現(xiàn)信息的遷移轉(zhuǎn)化,借引入新的概念進行抽象與概括,對所學知識有深度的理解,揭示對新知識的本質(zhì)認識。本題是理性思維的具體體現(xiàn),應引起各位同學的足夠重視。

考向二、函數(shù)的定義域

主要研究由對數(shù)式、根式及分式的綜合構(gòu)成的函數(shù)的定義域,以及抽象函數(shù)的定義域問題。

故選B。

評注:在研究函數(shù)問題時,必須樹立“定義域優(yōu)先”的觀念。函數(shù)定義域問題的類型及求法:(1)已知函數(shù)的解析式,則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解。(2)抽象函數(shù):①無論是已知定義域還是求定義域,均是指其中的自變量x的取值集合;②對應f下的范圍一致。(3)已知定義域求參數(shù)范圍,可將問題轉(zhuǎn)化,列出含參數(shù)的不等式(組),解不等式(組)進而求得參數(shù)的取值范圍。

考向三、函數(shù)的奇偶性

主要是根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的奇偶性,再利用奇偶性求解參數(shù)的值。

(2)由題可知,當x≥0時,f(x)=f(x+2),且f(5)=1,又因為f(x)為奇函數(shù),所以f(0)=0。因為h(-2 022)+h(-2 023)+h(-2 024)=f(-2 022)+f(-2 023)+f(-2 024)=-[f(2 022)+f(2 023)+f(2 024)],又因為f(2 022)=f(2 024)=f(0)=0,f(2 023)=f(1)=f(5)=1,所以h(-2 022)+h(-2 023)+h(-2 024)=-1。

故選A。

評注:已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù),主要方法有兩個:一是利用f(-x)=-f(x)(奇函數(shù))或f(x)=f(-x)(偶函數(shù))在定義域內(nèi)恒成立求解;二是利用特殊值求解,奇函數(shù)一般利用f(0)=0 求解,偶函數(shù)一般利用f(-1)=f(1)求解。用特殊值法求得參數(shù)后,一定要注意驗證。

考向四、函數(shù)的周期性

主要利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值。

評注:利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值的關(guān)鍵:是利用周期性將所求值轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上的函數(shù)值。

考向五、函數(shù)性質(zhì)的綜合應用

主要是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合應用等。

例5已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R,且函數(shù)y=f(x-1)的圖像關(guān)于點(1,0)對稱,對于任意的x,總有f(x-2)=f(x+2)成立,當x∈(0,2)時,f(x)=x2-2x+1,函數(shù)g(x)=mx2+x(x∈R),對任意的x∈R,存在t∈R,使得f(x)>g(t)成立,則滿足條件的實數(shù)m構(gòu)成的集合為( )。

解析:因為函數(shù)y=f(x-1)的圖像關(guān)于點(1,0)對稱,所以函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點對稱,即函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)。由對任意的x,總有f(x-2)=f(x+2),即f(x+4)=f(x)恒成立,可得函數(shù)y=f(x)的周期是4。又當x∈(0,2)時,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,則0≤f(x)<1,而f(x)是奇函數(shù),所以當x∈(-2,0)時,-1

故選A。

評注:由y=f(x-1)的特性,結(jié)合函數(shù)圖像平移變換,可得f(x)是奇函數(shù),由f(x-2)=f(x+2)可得函數(shù)f(x)的周期,由此探討出f(x)的值域,再將所求問題轉(zhuǎn)化為不等式mx2+x≤-1 在R上有解的問題即可。