宋彬 周云

摘 要：變轉(zhuǎn)速旋翼在高速及長航時直升機等領(lǐng)域有巨大的應(yīng)用前景，旋翼變轉(zhuǎn)速過程的瞬態(tài)動力學響應(yīng)及載荷特性，對直升機飛行控制和部件結(jié)構(gòu)設(shè)計都至關(guān)重要。本文基于相對坐標描述的拉格朗日遞推多體動力學方法，構(gòu)建了一套旋翼變轉(zhuǎn)速過程瞬態(tài)動力學分析模型，能夠體現(xiàn)動態(tài)時變的旋翼轉(zhuǎn)速和旋轉(zhuǎn)角加速度對動力學響應(yīng)的影響，在此基礎(chǔ)上，對旋翼變轉(zhuǎn)速過程的瞬態(tài)動力學行為進行了數(shù)值仿真分析研究。結(jié)果顯示，旋翼變轉(zhuǎn)速過渡過程，對擺振方向動力學影響十分顯著，進而會引起旋翼軸扭矩瞬態(tài)載荷過沖現(xiàn)象；采用平滑進入/改成的變轉(zhuǎn)速策略，有利于減小旋翼軸扭矩過沖載荷；旋翼升轉(zhuǎn)速和降轉(zhuǎn)速過程，會產(chǎn)生不同的動力學影響；變轉(zhuǎn)速過渡時間是影響瞬態(tài)動力學特性最重要的因素，隨著角加速度的增大，旋翼軸扭矩載荷過沖會急劇增大；旋翼拉力水平、前飛速度等飛行狀態(tài)參數(shù)，主要影響穩(wěn)定狀態(tài)下的載荷基準值，對瞬態(tài)載荷過沖幅值也具有一定的影響。

關(guān)鍵詞：變轉(zhuǎn)速旋翼； 變轉(zhuǎn)速過渡過程； 瞬態(tài)動力學； 多體動力學； 遞推算法

中圖分類號：V214.19 文獻標識碼：A DOI：10.19452/j.issn1007-5453.2023.05.003

高速、綠色、智能是未來直升機發(fā)展的主要方向，尤其高速直升機是目前各國研究和發(fā)展的重點。高速直升機為避免前行槳葉激波失速，在高速前飛狀態(tài)必須降低旋翼轉(zhuǎn)速，典型的XH-59A、X-2、X-3等高速直升機都采用了旋翼變轉(zhuǎn)速技術(shù)[1-5]。另外，變轉(zhuǎn)速旋翼技術(shù)還具有大幅降低直升機需用功率的潛力，美國波音公司基于最優(yōu)轉(zhuǎn)速旋翼技術(shù)（OSR）研制的A160無人直升機，續(xù)航時間達到20h，遠遠高于常規(guī)構(gòu)型旋翼的無人直升機[6-7]?？梢钥吹剑冝D(zhuǎn)速旋翼是發(fā)展高速和綠色長航時直升機必須突破的核心關(guān)鍵技術(shù)，有巨大的發(fā)展?jié)摿蛻?yīng)用前景。但是，由于旋翼轉(zhuǎn)速與直升機的氣動升力、動力學特性、飛行控制等都密切相關(guān)，因此旋翼變轉(zhuǎn)速會帶來相當復雜的動力學問題[8-10]。

長期以來，為了規(guī)避旋翼變轉(zhuǎn)速相關(guān)動力學問題，直升機一直都采用固定旋翼轉(zhuǎn)速設(shè)計，直到近年來，隨著高速及綠色直升機的興起，研究人員開始關(guān)注變轉(zhuǎn)速旋翼技術(shù)。R.W. Prouty[11]對變轉(zhuǎn)速旋翼直升機的總體性能進行了研究，表明采用變轉(zhuǎn)速設(shè)計可明顯提高懸停升限、航時、航程和速度等性能指標。劉仕明等[12]則以某國產(chǎn)直升機為分析樣例進行了轉(zhuǎn)速優(yōu)化策略研究，結(jié)果顯示最大續(xù)航時間可以提升20.5%，最大航程可提高8.5%。馬里蘭大學Chopra教授團隊在UMARC代碼的基礎(chǔ)上進行修改，建立了大前進比狀態(tài)下的旋翼氣彈分析模型，研究結(jié)果顯示，根據(jù)飛行狀態(tài)降低旋翼轉(zhuǎn)速可大幅降低需用功率，但可能會導致槳葉載荷增大，指出并分析了大前進比旋翼拉力反向現(xiàn)象[13-15]。D.Anubhav 和 Y. Hyeonsoo等[16-17]基于全尺寸UH-60A 旋翼風洞試驗，研究了大前進比狀態(tài)下的動力學問題，發(fā)現(xiàn)了后行槳葉逆弦長方向動態(tài)失速現(xiàn)象和后行側(cè)小拉桿存在脈沖載荷等現(xiàn)象。D. Han等[18-20]研究了變轉(zhuǎn)速旋翼擺振動力學問題，并設(shè)計了槳葉嵌入式弦向吸振器，以降低擺振彎矩載荷。余智豪等[21]基于哈密頓（Hamilton）原理以及中等變形梁理論建立旋翼動力學方程，并針對大反流區(qū)氣動力計算方法和大前進旋翼氣彈配平計算方法進行修正，對大前進比狀態(tài)下的槳葉載荷進行了研究。Xie Jiayi 等[22]采用自由尾跡模型，開展了變轉(zhuǎn)速槳葉氣動優(yōu)化設(shè)計研究。文獻[23]為研究艦載直升機起降過程槳葉揮舞響應(yīng)問題，在中等變形梁模型基礎(chǔ)上，推導了含Ω？相關(guān)慣性力項的顯式槳葉動力學方程，但表達式相當復雜冗長?？偟膩碇v，變轉(zhuǎn)速旋翼相關(guān)研究尚處于起步階段，目前的研究工作大多集中在旋翼降轉(zhuǎn)速后，穩(wěn)態(tài)大前進比條件下引起的氣動及動力學現(xiàn)象與特性分析，對于變轉(zhuǎn)速槳葉應(yīng)該如何設(shè)計，還未形成統(tǒng)一的設(shè)計思路或設(shè)計準則，對旋翼變轉(zhuǎn)速過程的瞬態(tài)動力學問題的研究還較少。

傳統(tǒng)直升機旋翼其實也存在變轉(zhuǎn)速過程，但它基本是在懸停且接近零升力狀態(tài)變轉(zhuǎn)速，因此旋翼載荷很小，對動力學的影響不顯著。在高速前飛狀態(tài)下，旋翼載荷較大，結(jié)構(gòu)本身又有很大的轉(zhuǎn)動慣量，且變轉(zhuǎn)速旋翼必然存在轉(zhuǎn)速切換的過渡過程，旋翼變轉(zhuǎn)速過程的瞬態(tài)動力學響應(yīng)及載荷特性，對直升機飛行控制和部件結(jié)構(gòu)設(shè)計都至關(guān)重要。因此，本文根據(jù)旋翼系統(tǒng)具有典型樹狀拓撲結(jié)構(gòu)的特點，基于拉格朗日多體動力學框架，建立一套旋翼變轉(zhuǎn)速過程瞬態(tài)動力學分析模型，研究和揭示變轉(zhuǎn)速過渡過程的旋翼瞬態(tài)動響應(yīng)及載荷特性，為變轉(zhuǎn)速直升機設(shè)計提供動力學理論基礎(chǔ)。

1 計算方法與模型驗證

1.1 變轉(zhuǎn)速旋翼多體動力學模型

圖1所示是典型旋翼系統(tǒng)示意圖，它具有非常復雜的運動形式，首先是槳葉繞旋翼軸做大范圍的旋轉(zhuǎn)運動，其次是槳葉通過鉸鏈與槳轂連接，有剛體揮舞、剛體擺振和剛體變距運動，最后是細長的槳葉，還有復雜的拉伸、揮舞、擺振和扭轉(zhuǎn)彈性形變耦合運動。對于這種樹狀拓撲結(jié)構(gòu)的動力學系統(tǒng)，基于多體動力學方法，采用拉格朗日相對坐標描述比較直觀和方便，可以獲得最小廣義坐標數(shù)目的常微分動力學方程組，為此引入多個坐標系統(tǒng)進行旋翼系統(tǒng)運動學描述，各級坐標系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系詳見參考文獻[24]。

進而可以得出由廣義力形式表達的槳葉運動非線性微分方程

從式（7）可以看出，為計算系統(tǒng)動力學矩陣和矢量，需要計算槳葉上任意點位置矢量R的導數(shù)及偏導數(shù)相關(guān)項，根據(jù)旋翼系統(tǒng)樹狀拓撲構(gòu)型特點，位置矢量R的導數(shù)及偏導數(shù)相關(guān)項可通過遞推計算方式得到。

1.3 旋翼變轉(zhuǎn)速過程瞬態(tài)氣彈分析流程

旋翼變轉(zhuǎn)速過程，必然會引起直升機旋翼槳轂力和力矩的跟隨變化，為了保持直升機平衡，必須同步進行總距和周期變距匹配操縱調(diào)整。因此，首先進行各種旋翼轉(zhuǎn)速狀態(tài)下配平計算分析，獲得各旋翼轉(zhuǎn)速狀態(tài)下的配平操縱量，作為旋翼變轉(zhuǎn)速過程瞬態(tài)動力學計算的操縱輸入歷程。接著在給定飛行狀態(tài)下進行穩(wěn)態(tài)氣彈響應(yīng)計算，收斂得到旋翼運動及變形的平衡位置。最后以此穩(wěn)態(tài)動力學響應(yīng)為積分處置，基于預定的旋翼轉(zhuǎn)速和旋轉(zhuǎn)角加速度變化歷程，根據(jù)總距和周期變距操縱輸入歷程，進行瞬態(tài)動力學響應(yīng)時程積分計算，直到達到目標旋翼轉(zhuǎn)速，獲得旋翼變轉(zhuǎn)速過程的瞬態(tài)動力學響應(yīng)及載荷。旋翼變轉(zhuǎn)速過程瞬態(tài)動力學分析流程如圖3所示。

1.4 模型驗證

首先利用XH-59A旋翼參數(shù)進行模型驗證，XH-59A槳葉詳細結(jié)構(gòu)特性參數(shù)見參考文獻[27]。表1給出了XH-59A旋轉(zhuǎn)槳葉固有頻率本文計算值與文獻值的對比，兩者基本一致，驗證了本文槳葉結(jié)構(gòu)動力學模型的正確性，由于操縱線系剛度未提供相關(guān)參數(shù)，扭轉(zhuǎn)方向頻率未進行對比。圖4給出了前進比為0.25狀態(tài)下上旋翼槳葉0.1R剖面處揮舞彎矩前四階諧波幅值計算對比情況，可以看出，本文計算的1/rev和2/rev槳葉動載荷較風洞試驗值稍偏大，可能的原因是沒有采用XH-59A旋翼槳葉所用翼型的氣動數(shù)據(jù)，而是采用OA309翼型數(shù)據(jù)進行計算，但OA309翼型相較更優(yōu)，總體來說，本文計算結(jié)果與文獻試驗值吻合程度較好，表明了本文計算方法的有效性。

進一步利用文獻數(shù)據(jù)進行槳葉瞬態(tài)動力學響應(yīng)計算驗證，Keller采用與H-46縱列式直升機槳葉1/8弗羅德數(shù)相似的模型槳葉進行了槳葉揚起下墜試驗，槳葉長1.006m，重0.998kg，質(zhì)量和剛度分布見文獻[28]，初始狀態(tài)時，槳葉根部固支，槳葉揮舞角為9.7°，在自重作用下槳葉有初始位移。突然釋放根部揮舞鉸約束，槳葉下墜，在揮舞限動角為0°時，槳葉與揮舞限動塊碰撞，試驗測試了槳尖位移隨時間變化曲線，圖5給出了槳尖位移計算值與試驗值對比，由圖可以看出，計算與試驗值吻合度較好，說明該計算模型可用于槳葉瞬態(tài)動響應(yīng)計算。

2 數(shù)值仿真及分析

本文數(shù)值仿真分析基于一副變轉(zhuǎn)速剛性旋翼，根據(jù)上述的旋翼變轉(zhuǎn)速過程瞬態(tài)氣彈分析流程，首先進行配平計算分析，獲得變轉(zhuǎn)速過程的操縱輸入時域歷程，以保證直升機在變轉(zhuǎn)速過程中始終保持拉力恒定，表2所示是旋翼拉力T=2.5kN、變轉(zhuǎn)速臨界點前飛速度V=300km/h狀態(tài)下的準靜態(tài)配平操縱量。

2.1 變轉(zhuǎn)速過程基本特性

圖8～圖10依次給出了槳根揮舞彎矩、槳根擺振彎矩和槳根扭矩載荷變化情況，可以看出，變轉(zhuǎn)速過程對揮舞和扭轉(zhuǎn)方向動力學影響較小，主要是從一個狀態(tài)相對平穩(wěn)地轉(zhuǎn)移到另一個狀態(tài)，瞬態(tài)效應(yīng)不顯著。對槳根擺振彎矩影響明顯一些，一是隨著旋翼轉(zhuǎn)速降低，前進比增大，槳盤左右不對稱性增大，導致槳葉動載荷變大。另外，變轉(zhuǎn)速過程槳根擺振彎矩出現(xiàn)較多毛刺，經(jīng)傅里葉變換（FFT）頻譜分析，主要是一階擺振模態(tài)頻率成分，由于擺振模態(tài)的模態(tài)阻尼很小，旋轉(zhuǎn)角加速度階躍變化，很容易激勵起擺振固有模態(tài)動力學響應(yīng)。

圖11和圖12所示分別是旋翼軸扭矩載荷變化示意圖和扭矩載荷頻譜圖，可以看出，變轉(zhuǎn)速過程對旋翼軸扭矩的影響非常顯著，在變轉(zhuǎn)速開始和結(jié)束的瞬間，出現(xiàn)非常顯著的瞬態(tài)旋翼軸扭矩載荷，對10～15s數(shù)據(jù)段進行FFT頻譜分析，其主要頻率為7.397Hz，對應(yīng)的即是一階擺振固有頻率，根據(jù)旋翼動力學基本理論，旋翼槳轂具有濾波器特性，在穩(wěn)態(tài)情況下，槳根擺振彎矩僅有靜態(tài)成分和Nb /rev成分會傳遞給旋翼軸扭矩，其中Nb是旋翼槳葉片數(shù)，在變轉(zhuǎn)速瞬態(tài)情況下，一階擺振固有頻率的非轉(zhuǎn)速諧波成分也會傳遞給旋翼軸扭矩，即使單片槳葉的擺振彎矩變化不是很顯著，但“集合”起來傳遞給旋翼軸后影響就會非常突出。

2.2 變轉(zhuǎn)速策略分析

旋翼變轉(zhuǎn)速是一個動態(tài)過程，旋翼從一個轉(zhuǎn)速變化到另一個轉(zhuǎn)速，總是需要經(jīng)歷一個加速和減速過程，圖13和圖14所示給出了兩種變轉(zhuǎn)速策略下的旋翼轉(zhuǎn)速和旋轉(zhuǎn)角加速度變化歷程示意圖，式（18）所示的是線性過渡策略，式（19）所示的是平滑過渡策略，可以看出，當采用旋翼轉(zhuǎn)速線性過渡策略時，在轉(zhuǎn)速變化臨界時刻點，旋轉(zhuǎn)角加速度會出現(xiàn)一個階躍突變，采用平滑過渡策略時，旋轉(zhuǎn)角加速度則變化平緩得多。

圖15所示是線性變轉(zhuǎn)速和平滑變轉(zhuǎn)速兩種策略下的旋翼軸扭矩載荷對比圖，可以看出，線性變轉(zhuǎn)速策略產(chǎn)生顯著的瞬態(tài)動載荷，旋轉(zhuǎn)角加速度的階躍變化，相當于給動力學系統(tǒng)寬頻激勵，會激勵起槳葉擺振固有頻率動力學響應(yīng)，進而將動載荷傳遞給旋翼軸扭矩，過大的瞬態(tài)扭矩可能對發(fā)動機的工作狀態(tài)產(chǎn)生嚴重影響，過大的交變瞬態(tài)彎矩有可能造成動力和傳動系統(tǒng)的損傷，平滑變轉(zhuǎn)速策略更多地是出現(xiàn)旋翼軸靜態(tài)扭矩載荷的變化。

2.3 變轉(zhuǎn)速過渡時間分析

從上面分析可以看出，旋轉(zhuǎn)角加速度對變轉(zhuǎn)速過程的瞬態(tài)動力學行為有著極為重要的影響，變轉(zhuǎn)速過渡時間的長短，直接決定了旋轉(zhuǎn)角加速度的大小。采用式（19）所示的平滑進入和平滑改成的變轉(zhuǎn)速策略，如圖16所示，旋翼從100%轉(zhuǎn)速降到85%轉(zhuǎn)速，用時分別為3s、5s、10s、15s和20s共5種情況下的旋轉(zhuǎn)角加速度變化歷程，圖17是5種過渡時間的旋翼軸扭矩載荷變化情況，可以看到，旋翼變轉(zhuǎn)速過程會出現(xiàn)旋翼軸扭矩瞬態(tài)過沖的現(xiàn)象，隨著過渡時間變短，旋轉(zhuǎn)角加速度增大，從而帶來瞬態(tài)過程慣性力增加，旋翼軸扭矩載荷過沖急劇增大，扭矩最大值出現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)角加速度最大的地方。旋翼降轉(zhuǎn)速前穩(wěn)定狀態(tài)，旋翼軸扭矩值約為-2800N·m，當過渡時間小于5s時，旋翼軸扭矩變?yōu)檎?，也就是出現(xiàn)旋翼軸扭矩值反向的現(xiàn)象，這本身在物理上是不可實現(xiàn)的。

2.4 降轉(zhuǎn)速與升轉(zhuǎn)速過程對比分析

圖18所示是旋翼降轉(zhuǎn)速過程和升轉(zhuǎn)速過程的旋轉(zhuǎn)角加速度變化情況，以及對應(yīng)的動力學系統(tǒng)減速和加速過程，可以看到，降轉(zhuǎn)速和升轉(zhuǎn)速過程的旋轉(zhuǎn)角加速度符號是相反的，對應(yīng)的旋翼軸扭矩如圖19所示。旋翼降轉(zhuǎn)速過程類似于汽車減速過程，只要松油門，降低旋翼軸扭矩輸出即可，但從圖19的旋翼軸扭矩變化圖可以看到，旋翼軸扭轉(zhuǎn)從穩(wěn)態(tài)時的負扭矩值，逐漸減至零，進一步過沖到一個正扭矩值，出現(xiàn)旋翼軸扭矩反向的情況，這種情況說明旋翼系統(tǒng)無法在這么短的時間內(nèi)自己實現(xiàn)這一減速過程，必須使用旋翼剎車才可能降下來。旋翼升轉(zhuǎn)速過程，旋翼軸扭矩值的符號始終與穩(wěn)態(tài)時保持一致，最大的瞬態(tài)載荷過沖幅值達到穩(wěn)態(tài)扭矩值的三倍，這個類似于汽車加速過程，需要發(fā)動機提供足夠大的扭矩才能實現(xiàn)如此快的旋翼升轉(zhuǎn)速過程。因此，旋翼降轉(zhuǎn)速過程和升轉(zhuǎn)速過程，基本是鏡像對稱的，但由于它的基準線不是零，故最終對動力學系統(tǒng)產(chǎn)生的影響和后果是截然不同的。

2.5 飛行狀態(tài)的影響分析

圖20給出了旋翼變轉(zhuǎn)速臨界點前飛速度對瞬態(tài)旋翼軸扭矩載荷的影響，計算分析了250km/h和300km/h兩種前飛速度情況，可以看出，飛行速度越高，穩(wěn)態(tài)時的旋翼軸扭矩動態(tài)值越大，相應(yīng)的變轉(zhuǎn)速過程的瞬態(tài)過沖也越大，250km/h對應(yīng)的扭矩值約為-1475N·m，300km/h對應(yīng)的扭矩值約為-1069N·m，說明在更小的前飛速度下進行旋翼變轉(zhuǎn)速，有利于減小瞬態(tài)載荷沖擊。圖21給出了旋翼拉力狀態(tài)對瞬態(tài)載荷的影響，計算分析旋翼拉力為2kN和2.5kN兩種情況，可以看出，小的旋翼拉力狀態(tài)，意味著更小的穩(wěn)態(tài)扭矩載荷，同時瞬態(tài)過沖載荷也更小?？偟膩碚f，旋翼前飛速度及拉力水平等飛行狀態(tài)，主要影響穩(wěn)定狀態(tài)下的載荷基準值，對瞬態(tài)過沖載荷具有一定的影響，但總體的影響不是很突出。

3 結(jié)論

本文基于相對坐標描述的拉格朗日多體動力學遞推算法，建立了旋翼變轉(zhuǎn)速過程瞬態(tài)動力學分析模型，開展了數(shù)值仿真分析研究，研究結(jié)論主要包括：

（1）旋翼變轉(zhuǎn)速過渡過程主要影響旋翼擺振動力學，對揮舞和扭轉(zhuǎn)影響較?。恍D(zhuǎn)槳葉擺振靜態(tài)、N/rev諧波成分以及非諧波頻率成分結(jié)構(gòu)固有頻率載荷，會傳遞到旋翼軸，形成旋翼軸扭矩瞬態(tài)載荷過沖現(xiàn)象，進而可能影響到傳動系統(tǒng)、發(fā)動機等傳動鏈部件。

（2）采用平滑進入和平滑改出的旋翼變轉(zhuǎn)速策略，可以減小旋翼變轉(zhuǎn)速對槳葉結(jié)構(gòu)固有模態(tài)的階躍激勵響應(yīng)，進而有利于減小瞬態(tài)載荷。

（3）變轉(zhuǎn)速過渡時間即是旋翼旋轉(zhuǎn)角加速度，是影響變轉(zhuǎn)速過程瞬態(tài)載荷最重要和最敏感的因素，過渡時間減少，旋翼軸扭矩載荷過沖會急劇增大。

（4）旋翼降轉(zhuǎn)速過程和升轉(zhuǎn)速過程產(chǎn)生的動力學影響是截然不同的。降轉(zhuǎn)速過程，旋翼軸扭矩產(chǎn)生反向的瞬態(tài)過沖載荷；升轉(zhuǎn)速過程，旋翼軸扭矩產(chǎn)生同向的瞬態(tài)過沖載荷，此時需要發(fā)動機提供足夠大的扭矩載荷。

（5）對于變轉(zhuǎn)速臨界點的前飛速度、旋翼拉力水平等飛行狀態(tài)，主要影響穩(wěn)定狀態(tài)下的載荷基準值，對瞬態(tài)過沖載荷具有一定的影響，在較低的前飛速度和較小的旋翼拉力水平狀態(tài)下進行變轉(zhuǎn)速，有利于減小瞬態(tài)載荷。

本文從孤立旋翼的角度，基于預定的旋翼轉(zhuǎn)速及旋轉(zhuǎn)角加速度變化歷程，對旋翼變轉(zhuǎn)速過程的瞬態(tài)動力學響應(yīng)及載荷進行了計算分析研究，綜上所述，旋翼變轉(zhuǎn)速過渡過程會對槳葉擺振、旋翼軸扭矩，進而對傳動系統(tǒng)、發(fā)動機等傳動鏈部件產(chǎn)生重要的動力學影響，下一步將建立變轉(zhuǎn)速旋翼/傳動/發(fā)動機耦合動力學模型，開展進一步研究。

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Transient Load Overshoot of Rotor During Varying Speed Process in Forward Flight

Song Bin， Zhou Yun

China Helicopter Research and Development Institute， Jingdezhen 333001， China

Abstract： Variable speed rotor has great application prospects in the fields of high-speed helicopter and long endurance helicopter. The transient dynamic response and load characteristics of rotor during varying speed process are very important for helicopter flight control and component structure design. In this paper， a lagrangian recursive multibody dynamics method based on relative coordinate description is presented， and constructs a set of transient dynamics model of rotor during varying speed process， which can reflect the influence of time-varying rotor speed and rotational angular acceleration on rotor dynamics. Based on this， the transient dynamic behavior of rotor is numerically simulated and analyzed. The results show that the transient process of rotor varying speed has significant impact on the rotor lag dynamics， which will cause rotor shaft torque overshoot. The variable speed strategy of smooth start and end is helpful to reduce transient loads. Rotor acceleration and deceleration process will cause different dynamic effects. The transition time is the most important factor affecting the transient dynamic characteristics. With the increase of angular acceleration， the over-shoot of rotor shaft torque will increase sharply. The flight conditions such as rotor thrust and forward flight speed mainly affect the load reference value in the steady state and have a certain influence on the overshoot amplitude of the transient load.

Key Words： variable speed rotor； varying speed transition process； transient dynamics； multibody dynamics； recursive algorithm