郭 銳

(中國(guó)船舶集團(tuán)有限公司第八研究院,南京 211153)

0 引 言

常用的陀螺尋北儀根據(jù)慣性原理研制,不易受使用環(huán)境的干擾,具有連續(xù)工作時(shí)間長(zhǎng)、精度高等特點(diǎn),能夠?yàn)檩d具提供準(zhǔn)確的航向信息[1]。為了消除陀螺常值漂移,工程上常采用旋轉(zhuǎn)定點(diǎn)采樣尋北方案,將尋北儀旋轉(zhuǎn)至不同方位停下,根據(jù)陀螺在這些方位的靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行尋北解算,以此來(lái)達(dá)到消除陀螺常值漂移的目的,二位置測(cè)量方法正是其中最常用的一種[2]。但實(shí)際存在的尋北儀陀螺轉(zhuǎn)位誤差、載體姿態(tài)角誤差以及尋北儀安裝誤差等都會(huì)引起陀螺測(cè)量采樣值出現(xiàn)偏差,影響尋北儀最終輸出。為此,本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上采用更為直觀的空間解析幾何法分析轉(zhuǎn)位誤差對(duì)尋北儀輸出的影響,以代替?zhèn)鹘y(tǒng)較為繁瑣的坐標(biāo)變換誤差分析方法。

1 尋北儀工作原理

尋北儀利用其內(nèi)部高靈敏度、高精度的陀螺測(cè)量地球自轉(zhuǎn)角速度分量,解算出北向與被測(cè)方向的夾角。假設(shè)北半球上一載體所在地點(diǎn)S緯度為φ,該點(diǎn)地球自轉(zhuǎn)角速度矢量Ω,方向如圖1所示。Ω沿水平面的分量為Ωx0,指向北;垂直向上的分量為Ωz0,可以得到

Ωx0=Ωcosφ,Ωz0=Ωsinφ

(1)

圖1 陀螺尋北儀工作原理圖

假設(shè)尋北儀所在載體完全水平,其與正北的夾角為H,則Ωx0在尋北儀陀螺敏感軸上的分量為

M1=M0+DΩx0cosH=M0+DΩcosφcosH

(2)

式中,M0為陀螺零偏;D為陀螺標(biāo)度因數(shù)。

在Ω、φ確定和零值漂移M0已知的情況下即可求出方位角H(即載體絕對(duì)水平、無(wú)安裝誤差的理想情況下尋北儀的輸出值):

(3)

2 尋北儀二位置測(cè)量法

為了消除M0,根據(jù)二位置測(cè)量法原理,將尋北儀在式(2)基礎(chǔ)上方位角轉(zhuǎn)過(guò)180°再采樣此時(shí)的靜態(tài)輸出。此時(shí)陀螺測(cè)量值為

(4)

觀察式(2)和(4)不難發(fā)現(xiàn),只要將兩式相減即可抵消M0,得到尋北儀輸出方位角,即

(5)

此時(shí)D、Ω、cosφ均為定值,因此尋北儀輸出將由這兩個(gè)位置的陀螺測(cè)量值之差ΔM決定。

但實(shí)際工程中存在的尋北儀陀螺轉(zhuǎn)位誤差、載體姿態(tài)角誤差以及尋北儀安裝誤差都會(huì)引起陀螺測(cè)量值出現(xiàn)偏差,對(duì)ΔM造成影響。

3 基于空間解析幾何法的轉(zhuǎn)位誤差影響分析

3.1 載體空間坐標(biāo)系的建立

空間解析幾何法在具體的坐標(biāo)系中才能使用,因此在分析轉(zhuǎn)位誤差前先建立載體空間坐標(biāo)系。假設(shè)載體質(zhì)心為O,首先定義地理空間坐標(biāo)系O-XYZ如圖2所示:X軸沿當(dāng)?shù)刈游缇€,指北為正;Y軸沿當(dāng)?shù)鼐暰€,指西為正;Z軸垂直于當(dāng)?shù)厮矫?向上為正。顯然平面XOY、YOZ、XOZ兩兩之間相互垂直,3個(gè)面將空間分為8個(gè)卦限。

圖2 載體空間坐標(biāo)系

先不考慮安裝誤差,假定陀螺中心與載體質(zhì)心、陀螺測(cè)量軸與載體首尾線均完全重合,單位向量OM位于陀螺測(cè)量軸上,沿載體首尾線向前,另一單位向量ON垂直于OM向左。載體姿態(tài)誤差角定義如下:縱搖誤差角θ為OM與水平面的夾角,即OM與OXb(OM在水平面的投影)的夾角,其測(cè)量平面為鉛垂面,載體前部抬起為正;橫搖誤差角γ為ON與OYb(過(guò)ON的載體剖面與水平面的交線)的夾角,載體左側(cè)抬起為正。得到正北線OX與OXb的夾角即為方位角H,順時(shí)針為正。

由以上定義可知,OYb位于水平面,OM、OZ位于鉛垂面,OXb為水平面與鉛垂面的交線,因此可以得到以下垂直關(guān)系:OYb⊥OXb、OYb⊥OZ、OXb⊥OZ,即平面XbOYb、XbOZ、YbOZ兩兩之間互相垂直,這3個(gè)平面即可組成載體空間坐標(biāo)系O-XbYbZ。載體空間坐標(biāo)系O-XbYbZ可以理解為由地理空間坐標(biāo)系O-XYZ繞Z軸順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)方位角H形成的。

3.2 轉(zhuǎn)位誤差分析

假設(shè)載體所在點(diǎn)地球自轉(zhuǎn)角速度水平分量、垂直分量分別為向量OA、OB,則可以得到在載體空間坐標(biāo)系O-XbYbZ中A點(diǎn)坐標(biāo)為(Ωx0cosH,Ωx0sinH,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,Ωz0)。此時(shí)尋北儀處于位置1,M點(diǎn)坐標(biāo)為(cosθ,0,sinθ),N點(diǎn)坐標(biāo)為(-sinθsinγ,cosγ,cosθsinγ)。由于M、O、N三點(diǎn)都在載體平面上,載體平面可用MON表示,得到其法線向量為

(6)

根據(jù)平面的點(diǎn)法表達(dá)式,可得到平面MON方程:

xsinθ+ytanγ-zcosθ=0

(7)

尋北儀陀螺測(cè)量值即地球自轉(zhuǎn)角速度水平分量OA、OB在敏感軸OM上的投影值之和再加上陀螺零值漂移M0。根據(jù)空間直線投影定義可以求得不考慮安裝誤差時(shí)的陀螺實(shí)際測(cè)量值:

(8)

在實(shí)際使用中,由于安裝問題,尋北儀陀螺測(cè)量軸很難與載體首尾線完全重合,存在誤差角[4]。為了便于分析,在不影響推導(dǎo)結(jié)果的前提下,假設(shè)原點(diǎn)仍在陀螺中心。此時(shí)陀螺敏感軸即測(cè)量軸向量為OC1,如圖3所示,這里將安裝誤差角放大處理。繞測(cè)量軸OC1旋轉(zhuǎn)的誤差角對(duì)測(cè)量值不會(huì)有影響,可以忽略,因此定義以下兩個(gè)誤差角表示安裝誤差:χ為陀螺測(cè)量軸OC1繞陀螺縱軸旋轉(zhuǎn)的角度,即OM到OP1(測(cè)量軸OC1在載體平面的投影)的角度,順時(shí)針為正,載體面內(nèi)測(cè)量;σ為陀螺測(cè)量軸相對(duì)于載體平面的俯仰角,即圖3中OC1與OP1的夾角,向上抬起為正,其測(cè)量平面垂直于載體平面。

圖3 陀螺安裝誤差角與轉(zhuǎn)位誤差角

設(shè)單位向量OP1的方向向量為(a1,b1,c1),由于角χ為OM與OP1的夾角,又已知OP1位于載體平面MON,根據(jù)空間解析幾何相關(guān)定義得到OP1方向向量:

a1=cosχcosθ+sinχsinθsinγ

b1=-sinχcosγ

(9)

c1=cosχsinθ-sinχcosθsinγ

設(shè)平面C1OP1法線向量為(a2,b2,c2),因?yàn)槠浯怪庇谄矫鍹ON且垂直于OP1,可得

b2=-c1sinθ-a1cosθ=-cosχ

(10)

設(shè)測(cè)量軸OC1方向向量為(a3,b3,c3),因?yàn)槠湮挥谄矫鍯1OP1,必垂直于其法線向量(a2,b2,c2),結(jié)合角σ的定義和單位向量定義,可求得陀螺測(cè)量軸OC1方向向量:

sinθcosγsinσ

(11)

cosθcosγsinσ

此時(shí)陀螺測(cè)量值為OA、OB在測(cè)量軸OC1上的投影值之和再加上M0：

M1=M0+DΩ[cosφ(a3cosH+

b3sinH)+c3sinφ]

(12)

考慮到實(shí)際中θ、γ、χ、σ均為小角度,所以其中任意兩個(gè)角度正弦值的乘積為二階無(wú)窮小量,可忽略,將式(11)代入式(12),得到陀螺位置1測(cè)量值:

M1=M0+DΩcosφcosχcosσcosθcosH-

DΩcosφsinχcosγcosσsinH+

DΩsinφ(sinθcosχcosσ+cosθcosγsinσ)

(13)

旋轉(zhuǎn)定點(diǎn)采樣只對(duì)式(13)中的安裝誤差角χ、σ產(chǎn)生影響。采用二位置測(cè)量法將尋北儀整體順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)180°到位置2,此時(shí)測(cè)量軸為OC2,當(dāng)不考慮轉(zhuǎn)位誤差時(shí),安裝誤差角χ2=χ+π,σ2=-σ,陀螺位置2測(cè)量值為

M2=M0-DΩcosφcosχcosσcosθcosH+

DΩcosφsinχcosγcosσsinH-

DΩsinφ(sinθcosχcosσ+cosθcosγsinσ)

(14)

轉(zhuǎn)位誤差在實(shí)際工作中總會(huì)出現(xiàn),假設(shè)轉(zhuǎn)位誤差角為φ,即圖3中OC3與OC2的夾角,由于φ一般很小,因此安裝誤差角可近似為χ3≈χ+π+φ,σ3≈-σ,則陀螺測(cè)量值為

M3=M0-DΩcosφcosσcosθcosHcosχcosφ+

DΩcosφsin(χ+φ)cosγcosσsinH+

DΩsinφ[sinθcosχcosφcosσ-

cosθcosγsinσ]

(15)

由式(13)和式(15)可以得到轉(zhuǎn)位誤差φ與陀螺測(cè)量值偏差ΔM的關(guān)系如下式所示:

cosφ(sinHcosγsinχ-cosHcosθcosχ)cosφ+

sinφsinθcosχ+cosφ(cosHcosθcosχ-

sinHcosγsinχ)]

(16)

3.3 Matlab仿真驗(yàn)證

Matlab版本為R2014a,利用GUIDE編輯的GUI界面如圖4(a)所示,驗(yàn)證以下兩種情況[5]：

(1)假設(shè)載體方位角H=30°,姿態(tài)角誤差固定為θ=1°、γ=1°,安裝誤差角固定為χ=1°、σ=1°,根據(jù)式(12),不同緯度下陀螺測(cè)量值偏差隨轉(zhuǎn)位誤差角φ(φ∈[-1°,1°])變化的曲線如圖4(b)所示?？梢钥闯?緯度越高,轉(zhuǎn)位誤差角φ對(duì)測(cè)量值偏差的影響越大;

(2)當(dāng)緯度固定φ=30°、姿態(tài)角誤差和安裝誤差角均為1°、轉(zhuǎn)位誤差角φ=0.5°時(shí),陀螺測(cè)量值誤差還與方位角H(H∈[-π,π])有關(guān),如圖4(c)所示,可以看出:在存在轉(zhuǎn)位誤差的情況下,當(dāng)H=0°時(shí)測(cè)量值偏差最大。

(a)陀螺測(cè)量值偏差計(jì)算界面

(b)不同緯度測(cè)量值偏差與轉(zhuǎn)位誤差角關(guān)系

(c)測(cè)量值偏差與方位角關(guān)系

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)尋北儀二位置測(cè)量法中轉(zhuǎn)位誤差角會(huì)影響其最終輸出的問題,本文采用空間解析幾何法進(jìn)行分析,較傳統(tǒng)方法更為直觀。此方法可以擴(kuò)展用于分析造成陀螺測(cè)量誤差的其他因素,為尋北儀精度分析提供了一種新的思路,并為誤差補(bǔ)償提供了理論依據(jù)。