王中, 溫志文, 蔡衛(wèi)軍, 王佩

(1.中國船舶集團(tuán)公司 第705研究所, 陜西 西安 710077; 2.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072)

隨著魚雷精確制導(dǎo)技術(shù)的日益發(fā)展,潛艇的防御能力面臨更加嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。主動(dòng)防御手段已經(jīng)成為潛艇防御的主要方式之一。潛艇發(fā)現(xiàn)來襲重型魚雷后發(fā)射反魚雷魚雷(anti-torpedo torpedo,ATT)實(shí)施攔截,同時(shí)采用機(jī)動(dòng)規(guī)避策略進(jìn)一步增大來襲重型魚雷的追蹤難度。這種攻防模式不同于以往雷艇之間的兩方對(duì)抗模式,變?yōu)槿较嗷プ粉?規(guī)避博弈模式。為了應(yīng)對(duì)這種對(duì)抗模式,為ATT和潛艇設(shè)計(jì)可行的攔截制導(dǎo)律和規(guī)避策略迫在眉睫。三方攻防博弈場(chǎng)景涉及潛艇、ATT和來襲魚雷。

李博文[1]以機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截為背景,采用矩陣對(duì)策博弈理論設(shè)計(jì)了攔截-規(guī)避兩方博弈模式下的制導(dǎo)律。朱雅萌等[2]采用強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法設(shè)計(jì)了機(jī)動(dòng)博弈制導(dǎo)律提高飛行器的突防能力。蘇山等[3]針對(duì)二對(duì)一攔截問題基于微分對(duì)策理論設(shè)計(jì)了協(xié)同對(duì)抗博弈制導(dǎo)律。Talebi等[4]針對(duì)多攔一的反導(dǎo)突防博弈場(chǎng)景,設(shè)計(jì)了3種不同的攔截博弈策略。Faruqi[5]針對(duì)導(dǎo)彈三方追逃博弈問題進(jìn)行了研究,設(shè)計(jì)了基于最優(yōu)控制理論的三方制導(dǎo)律。Singh等[6]在研究目標(biāo)-攻擊者-防御者的三方博弈問題時(shí),采用微分對(duì)策理論來設(shè)計(jì)博弈制導(dǎo)律。Garcia等[7]將兩方攔截問題轉(zhuǎn)化為兩方零和博弈問題,基于模糊評(píng)估設(shè)計(jì)在線任務(wù)規(guī)劃的方法實(shí)現(xiàn)納什均衡問題的求解。

反魚雷魚雷作為一種新型的“硬殺傷”武器,逐漸成為水下攻防的研究重點(diǎn)之一。李宗吉等[8]采用變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計(jì)了縱向攔截導(dǎo)引律。Ye等[9]設(shè)計(jì)了基于變結(jié)構(gòu)控制的反魚雷制導(dǎo)律。葉慧娟等[10]設(shè)計(jì)了雙滑模控制器,提高了命中精度和制導(dǎo)魯棒性。張銳等[11]設(shè)計(jì)了變指令周期最優(yōu)滑模導(dǎo)引律,提高了攔截性能。孫振新等[12]建立了4種攔截模型,設(shè)計(jì)了不同距離下反魚雷魚雷的攔截策略。Wu等[13]建立了一個(gè)預(yù)先評(píng)估電磁發(fā)射反魚雷魚雷捕獲概率的分析模型。從上述反魚雷魚雷制導(dǎo)研究現(xiàn)狀可以看出,目前主動(dòng)防御研究主要集中在反魚雷魚雷對(duì)目標(biāo)魚雷的攔截導(dǎo)引律研究,尚未從潛艇、反魚雷魚雷、來襲魚雷三方攻防的角度開展博弈制導(dǎo)在水下攻防策略方面的應(yīng)用研究。當(dāng)前博弈制導(dǎo)研究主要集中在反導(dǎo)突防作戰(zhàn)領(lǐng)域,由于反導(dǎo)攔截場(chǎng)景中攔截彈采取預(yù)測(cè)碰撞攔截方式,攔截彈速度小于目標(biāo)速度,目標(biāo)受彈道形式影響機(jī)動(dòng)能力有限,這些與水下攻防場(chǎng)景中潛艇、反魚雷魚雷、來襲魚雷的彈道、速度特性、機(jī)動(dòng)特性相差較大,因此有必要開展水下攻防博弈策略研究。

本文以水下三方博弈對(duì)抗為背景,建立三方攻防的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,在考慮三方機(jī)動(dòng)性能約束的條件下設(shè)計(jì)潛艇規(guī)避策略、ATT制導(dǎo)律,實(shí)現(xiàn)規(guī)避來襲魚雷并主動(dòng)攔截來襲魚雷的防御模式。

1 三方交戰(zhàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

三方攻防博弈問題可以看作2個(gè)兩方追逃問題,分別是來襲魚雷和潛艇的兩方追逃問題及ATT和來襲魚雷的兩方追逃問題。因此,首先針對(duì)兩方博弈問題建立運(yùn)動(dòng)建模。

首先在慣性坐標(biāo)系中建立任意航行器的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:

(1)

式中,變量為時(shí)間t的函數(shù),xi,yi,zi分別為航行器i在慣性系中的位置;ui,vi,wi分別為航行器i在慣性系x方向,y方向,z方向的速度;axi,ayi,azi為航行器i在慣性系x方向,y方向,z方向的加速度。

考慮航行器之間的相對(duì)狀態(tài),其相對(duì)運(yùn)動(dòng)可描述為

(2)

式中:xij,yij,zij分別為航行器i相對(duì)于航行器j在慣性系中x方向、y方向、z方向的相對(duì)位置;uij,vij,wij分別為航行器i相對(duì)于航行器j在慣性系中x方向、y方向、z方向相對(duì)速度;axij,ayij,azij分別為航行器i相對(duì)于航行器j在慣性系中x方向、y方向、z方向的相對(duì)加速度。

為方便使用最優(yōu)控制理論進(jìn)行研究,將上述建立的運(yùn)動(dòng)模型用矩陣的形式進(jìn)行描述

(3)

同樣,可以把相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程描述為

(4)

將兩者合起來,可以統(tǒng)一描述為

(5)

逃逸方實(shí)施規(guī)避通過改變Aj來實(shí)現(xiàn),追蹤方實(shí)施攔截,通過Ai來實(shí)現(xiàn)。

2 微分博弈策略設(shè)計(jì)

2.1 兩方非合作博弈問題表示

一般非合作兩方博弈優(yōu)化問題的性能指標(biāo)函數(shù)如下

(6)

希望找出u1,u2,使得以下問題最優(yōu)

(7)

對(duì)于兩方追逃問題來說,追蹤者希望找到最優(yōu)控制u1在最小化末端脫靶量的同時(shí)盡可能減少能量消耗,而逃避者希望找到最優(yōu)控制輸入u2最大化末端脫靶量的同時(shí)盡量減少能量消耗。兩方追逃問題轉(zhuǎn)化為兩方零和博弈問題,使用脫靶量和需用加速度來構(gòu)造性能指標(biāo),為了獲得追逃雙方的最優(yōu)博弈策略,將性能指標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)為

(8)

(9)

定義哈密頓函數(shù)為

(10)

式中,λ∈R6為協(xié)態(tài)向量。

(11)

終端條件為:

λ(tf)=SY12(tf)

(12)

(13)

將控制輸入構(gòu)建為系統(tǒng)相對(duì)狀態(tài)的函數(shù),假設(shè)λ為如下形式

λ=PY12+ξ

(14)

式中:P∈R6×6為矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠痰慕?ξ∈R6×1為矢量黎卡提微分方程的解。

因此

(15)

由λ表達(dá)式可得

(16)

(17)

由于方程(17)的解必須滿足所有的Y12,所以它必須滿足以下微分方程

2.2 三方博弈問題

根據(jù)兩方追逃博弈運(yùn)動(dòng)模型,假設(shè)潛艇為j=1,ATT為i=2,來襲魚雷為i=3,則相對(duì)運(yùn)動(dòng)由2個(gè)相對(duì)交戰(zhàn)運(yùn)動(dòng)模型描述。魚雷與潛艇的相對(duì)交戰(zhàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可表示為

(20)

ATT與來襲魚雷的相對(duì)交戰(zhàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可表示為

(21)

對(duì)于來襲魚雷和潛艇來說,建立微分博弈決策的性能指標(biāo)J1為

(22)

對(duì)于ATT和來襲魚雷來說,建立微分博弈決策的性能指標(biāo)J2為

(23)

通過上述指標(biāo)設(shè)計(jì),將三方博弈攻防問題轉(zhuǎn)化為2個(gè)雙邊極值問題即

(24)

這樣一來就變成了2個(gè)兩方追逃微分博弈制導(dǎo)問題,根據(jù)最優(yōu)控制理論,可以定義2個(gè)哈密爾頓函數(shù)

(25)

根據(jù)最優(yōu)解的必要條件,可以通過哈密爾頓函數(shù)相對(duì)輸入的一階偏導(dǎo)為0來獲得。

(26)

(27)

哈密爾頓算子的最優(yōu)條件也可以得到如下關(guān)系

假設(shè)λ1,λ2可以看作是由系統(tǒng)相對(duì)狀態(tài)組成的函數(shù),則λ1=P1Y31+ξ1和λ2=P2Y23+ξ2,這樣就可以得到三方追逃策略為

(30)

由(26)～(27)式可得到P1,P2。ξ1,ξ2可通過求解如(31)～(32)式的矩陣?yán)杩ㄌ岱匠?、矢量黎卡提微分方程獲得。

式中,P1,P2稱為黎卡提矩陣;ξ1,ξ2稱為黎卡提矢量。

結(jié)合微分方程邊界條件P1(tf1)=S1,ξ1(tf1)=0,P2(tf2)=S2和ξ2(tf2)=0,可推導(dǎo)最優(yōu)策略的解析表達(dá)式。

3 三方博弈解析策略設(shè)計(jì)

(33)

可得三方制導(dǎo)干擾項(xiàng)為

(34)

這樣根據(jù)(30)式可以獲得潛艇最優(yōu)博弈規(guī)避策略解析表達(dá)式為

(35)

ATT的最優(yōu)主動(dòng)博弈攔截制導(dǎo)律的解析表達(dá)式為

(36)

魚雷的最優(yōu)博弈攻擊制導(dǎo)律的解析表達(dá)式為

(37)

4 仿真驗(yàn)證

假設(shè)潛艇速度為12 m/s,最大轉(zhuǎn)彎角速度為1°/s,只在水平面內(nèi)規(guī)避。ATT速度為25 m/s,最大轉(zhuǎn)彎角速度60°/s,來襲重型魚雷速度為30 m/s,最大轉(zhuǎn)彎角速度為35°/s。

仿真態(tài)勢(shì)設(shè)置:相對(duì)距離3 000 m,來襲魚雷航向角為120°,ATT航向角為30°,潛艇航向角為0°,潛艇初始深度200 m,來襲魚雷初始深度100 m。為了對(duì)比采用博弈策略的效果,假設(shè)ATT攔截命中重型魚雷后,并不終止仿真,三方繼續(xù)運(yùn)行,來襲魚雷繼續(xù)攻擊直至命中潛艇或脫靶。

4.1 工況一 來襲魚雷采用比例導(dǎo)引律進(jìn)行攻擊

1) 條件1潛艇不采用博弈規(guī)避

潛艇不規(guī)避,來襲魚雷采用比例導(dǎo)引律打擊潛艇的仿真結(jié)果如圖1～2所示。

圖1 潛艇不采取博弈規(guī)避策略情況下兩方水下運(yùn)動(dòng)軌跡

圖1給出了潛艇不采取博弈規(guī)避策略下的潛艇和魚雷的水下運(yùn)動(dòng)軌跡。由圖2可以看出魚雷采用比例導(dǎo)引律進(jìn)行攔截時(shí)67.25 s可以命中潛艇,脫靶量為0.76 m。

圖2 潛艇不采取博弈規(guī)避策略情況下魚雷脫靶量

2) 條件2:潛艇采用博弈規(guī)避策略

潛艇采取博弈規(guī)避策略,來襲魚雷采用比例導(dǎo)引律打擊潛艇的仿真結(jié)果如圖3～4所示。

圖3 潛艇采取博弈規(guī)避策略情況下兩方水下運(yùn)動(dòng)軌跡

圖3為潛艇采取博弈規(guī)避策略下的潛艇和魚雷的水下運(yùn)動(dòng)軌跡。由圖4可以看出魚雷在72.25 s可以命中潛艇,脫靶量為0.98 m。與情況1相比,潛艇采取規(guī)避后首次命中時(shí)間增加5 s,脫靶量增加27.5%,但由于機(jī)動(dòng)能力相差近90倍,脫靶量仍然較低,僅靠潛艇規(guī)避很難保證自身安全。

圖4 潛艇采取博弈規(guī)避策略情況下魚雷脫靶量

3) 條件3:潛艇發(fā)現(xiàn)來襲魚雷后發(fā)射ATT,然后進(jìn)行博弈規(guī)避

潛艇采取博弈規(guī)避策略,并釋放采用博弈制導(dǎo)律的ATT對(duì)來襲魚雷進(jìn)行攔截,來襲魚雷采用比例導(dǎo)引律打擊潛艇的仿真結(jié)果如圖5～6所示。

圖5 潛艇采取博弈策略情況下三方水下運(yùn)動(dòng)軌跡

圖5為潛艇、ATT采取博弈策略,重型魚雷采用比例制導(dǎo)律時(shí)三方水下運(yùn)動(dòng)軌跡。由圖6可以看出魚雷在72.25 s命中潛艇,脫靶量為0.98 m。ATT在52.55 s,命中魚雷,脫靶量為0.63 m。由結(jié)果可知ATT命中魚雷的時(shí)間早于魚雷命中潛艇時(shí)間,且提前19.75 s,能夠有效地保護(hù)潛艇的安全。

圖6 潛艇采取博弈策略下魚雷和ATT脫靶量

表1對(duì)工況一的3個(gè)條件進(jìn)行性能對(duì)比,由條件2和條件1可知潛艇采用博弈規(guī)避策略后增加了魚雷脫靶量,證明所設(shè)計(jì)潛艇的博弈規(guī)避策略有助于提高潛艇的防御能力。由條件3和條件2可知潛艇發(fā)射ATT后采用博弈規(guī)避策略,ATT在來襲魚雷命中潛艇前可有效對(duì)其進(jìn)行攔截,證明了本文所設(shè)計(jì)ATT博弈制導(dǎo)律的有效性。

表1 工況一 3種條件的性能對(duì)比

4) 條件4:考慮潛艇、來襲魚雷、ATT測(cè)量值存在過程噪聲,假設(shè)相對(duì)距離測(cè)量誤差服從±2 %的正態(tài)分布,相對(duì)速度測(cè)量誤差服從±1 m/s的正態(tài)分布。針對(duì)條件1,2,3分別仿真100次,3種條件下考慮過程噪聲影響的性能對(duì)比如圖7和表2所示。

表2 工況一 蒙特卡洛仿真3種條件的性能對(duì)比

圖7 工況一3種條件下魚雷攔截脫靶量累計(jì)分布概率圖

由圖7和表2中條件1和條件2的脫靶量統(tǒng)計(jì)性能可以看出,潛艇采用博弈規(guī)避策略后,增大了魚雷攔截脫靶量,增加約18.7%。由圖7和表2中條件2和條件3的脫靶量統(tǒng)計(jì)性能對(duì)比可以看出,由于魚雷采用比例導(dǎo)引不會(huì)對(duì)ATT攔截進(jìn)行規(guī)避,所以2種條件下總體來看潛艇博弈機(jī)動(dòng)的效果基本相同,符合邏輯。

4.2 工況二 來襲魚雷采用博弈導(dǎo)引律進(jìn)行攻擊

1) 條件1:潛艇不采用博弈規(guī)避

潛艇不規(guī)避,來襲魚雷采用博弈導(dǎo)引律打擊潛艇的仿真結(jié)果如圖8～9所示。

圖8 潛艇不采取博弈規(guī)避而魚雷采用博弈制導(dǎo)律時(shí)兩方水下運(yùn)動(dòng)軌跡

圖8～9為潛艇不采取博弈規(guī)避策略而來襲魚雷采用博弈制導(dǎo)律時(shí)潛艇和魚雷的水下運(yùn)動(dòng)軌跡。由圖9可以看出魚雷在67.25 s可以命中潛艇,脫靶量為0.20 m。

圖9 潛艇不采取博弈規(guī)避而魚雷采用博弈制導(dǎo)律時(shí)魚雷脫靶量

2) 條件2:潛艇作博弈規(guī)避

潛艇采取博弈規(guī)避策略,來襲魚雷采用博弈導(dǎo)引律打擊潛艇的仿真結(jié)果如圖10～11所示。

圖10 潛艇與來襲魚雷兩方均采取博弈策略時(shí)兩方水下運(yùn)動(dòng)軌跡

圖10～11為潛艇與來襲魚雷兩方采取博弈策略時(shí)的潛艇和魚雷的水下運(yùn)動(dòng)軌跡。由圖11可看出魚雷在72.20 s可以命中潛艇,脫靶量為0.44 m。與條件1相比,潛艇采取規(guī)避后首次命中時(shí)間增加4.95 s,脫靶量增加120%,但由于機(jī)動(dòng)能力相差90倍,脫靶量仍然較低,僅靠潛艇自身規(guī)避很難保證自身安全。

圖11 潛艇與來襲魚雷兩方均采取博弈策略時(shí)魚雷脫靶量

3) 條件3:潛艇、來襲魚雷、ATT三方均采用博弈對(duì)抗策略

潛艇采取博弈規(guī)避策略,并釋放ATT對(duì)來襲魚雷進(jìn)行博弈攔截,來襲魚雷采用博弈策略規(guī)避ATT同時(shí)打擊潛艇的仿真結(jié)果如圖12～13所示。

圖12 三方均采取博弈策略時(shí)三方水下運(yùn)動(dòng)軌跡

圖12為三方均采取博弈策略時(shí)三方水下運(yùn)動(dòng)軌跡。由圖13可以看出魚雷在77.45 s命中潛艇,脫靶量為0.83 m。ATT在53.80 s可命中魚雷,脫靶量為1.25 m,與條件2相比,魚雷為了躲避ATT首次命中脫靶量進(jìn)一步增大到0.83 m。而ATT命中魚雷的時(shí)間早于魚雷命中潛艇時(shí)間,且提前23.65 s,能夠有效地保護(hù)潛艇的安全。

圖13 三方均采取博弈策略時(shí)魚雷脫靶量

表3對(duì)工況二的3個(gè)條件進(jìn)行性能對(duì)比,由條件2和條件1可知,即使在來襲魚雷也采用博弈制導(dǎo)律進(jìn)行攻擊的前提下,潛艇采用博弈規(guī)避策略后仍增加了魚雷脫靶量,證明所設(shè)計(jì)的潛艇博弈規(guī)避策略可更加智能地適應(yīng)攻防態(tài)勢(shì)。由條件3和條件2可知,即使在來襲魚雷也采用博弈制導(dǎo)律進(jìn)行攻擊的前提下,潛艇發(fā)射ATT后采用博弈規(guī)避策略,ATT在來襲魚雷命中潛艇前可有效對(duì)其進(jìn)行攔截,證明了本文所設(shè)計(jì)ATT博弈制導(dǎo)律可適應(yīng)攻防態(tài)勢(shì)對(duì)潛艇進(jìn)行保護(hù)。從表1、表3中ATT攔截結(jié)果對(duì)比可以看出,來襲魚雷采取博弈策略后,通過規(guī)避增大了ATT的脫靶量約33%,同時(shí)也增大了對(duì)潛艇的打擊脫靶量約93%,證明了博弈策略的均衡性。

表3 工況二 3種條件的性能對(duì)比

4) 條件4:考慮潛艇、來襲魚雷、ATT測(cè)量值存在過程噪聲,假設(shè)相對(duì)距離測(cè)量誤差服從±2%的正態(tài)分布,相對(duì)速度測(cè)量誤差服從±1 m/s的正態(tài)分布。針對(duì)條件1,2,3分別仿真100次,3種條件下考慮過程噪聲影響的性能對(duì)比如表4所示。

表4 工況二 蒙特卡洛仿真3種條件的性能比

在考慮過程噪聲的情況下由表4、圖14中條件1和條件2的脫靶量統(tǒng)計(jì)性能可以看出,潛艇采用博弈規(guī)避策略后,增大了魚雷攔截脫靶量,增加約92.8%, 首次命中時(shí)間增加5.47 s。由表2、表4和圖15可看出,來襲魚雷采用博弈策略后,ATT攔截脫靶量增加了約18.2% 。由表4、圖14中條件2和條件3的脫靶量統(tǒng)計(jì)性能對(duì)比可以看出,由于魚雷為規(guī)避ATT的攔截,并未實(shí)現(xiàn)最優(yōu)博弈導(dǎo)引律,導(dǎo)致對(duì)潛艇的打擊脫靶量增加約25.9%,由工況一、工況二條件4仿真結(jié)果可以看出,引入過程噪聲后,三方均不能實(shí)現(xiàn)最優(yōu)博弈策略,但整體趨勢(shì)與無過程噪聲下結(jié)果一致,也從另一個(gè)側(cè)面證明了本文所設(shè)計(jì)三方博弈策略的合理性。

圖14 工況二 3種條件下魚雷攔截脫靶量累計(jì)分布概率圖

圖15 工況一、二ATT攔截脫靶量累計(jì)分布概率圖

5 結(jié) 論

本文針對(duì)典型態(tài)勢(shì)下水下攻防過程博弈策略展開研究。從三方攻防的角度出發(fā),建立了描述三方攻防過程運(yùn)動(dòng)模型。將三方博弈問題拆分為2個(gè)雙方博弈追逃問題,設(shè)計(jì)了描述三方攻防博弈性能的目標(biāo)函數(shù),基于最優(yōu)控制和微分博弈理論設(shè)計(jì)了主動(dòng)防御的博弈策略和攻擊方的博弈制導(dǎo)律。通過水下攻防過程2種典型工況下的仿真試驗(yàn),驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)博弈策略的有效性。