劉 舉

(吉林省長春吉大附中實驗學(xué)校)

數(shù)形結(jié)合能將數(shù)學(xué)的符號語言和圖形語言相互轉(zhuǎn)化,能讓解題者實現(xiàn)抽象思維與形象思維的對接,從而參透數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).它具有靈活性、形象性、直觀性等特點,是數(shù)學(xué)解題最基本的思想方法之一.

1 判斷函數(shù)零點個數(shù)

對于與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)零點問題,若難以直接求出零點,則可考慮將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點問題,通過對數(shù)函數(shù)的圖像和其他初等函數(shù)的圖像的交點個數(shù)來判斷原函數(shù)零點的個數(shù).

例1已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜)的部分圖像如圖1所示,g(x)＝f(x)－log2x,則g(x)的零點個數(shù)為_________.

圖1

圖2

點評本題將一個函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點問題,充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的關(guān)系,同時也為確定超越方程的根的個數(shù)問題提供了一種切實可行的方法.

2 處理有關(guān)不等式問題

對于非常規(guī)的不等式問題,一般有兩種思路:一是通過恒等變形將原不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式,再用常規(guī)方法來解;二是當(dāng)無法將原不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式時,可借助函數(shù)圖像將原不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像之間的位置關(guān)系,從而借助圖像分析得到答案.

例2(1)已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1),則不等式f(x)＞|x|的解集是________;

(2)若不等式(x－1)2＜logax(a＞0,且a≠1)在x∈(1,2]內(nèi)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為( ).

解析(1)作出函數(shù)y＝log2(x＋1)和y＝|x|的圖像,如圖3 所示,兩個函數(shù)的圖像相交于點(0,0)和(1,1),當(dāng)且僅當(dāng)x∈(0,1)時,y＝log2(x＋1)的圖像在y＝|x|的圖像的上方,即不等式f(x)＞|x|的解集為(0,1).

圖3

(2)若0＜a＜1,由于x∈(1,2],logax＜0,而(x－1)2≥0,故(x－1)2＜logax無解.

若a＞1,由于x∈(1,2],logax＞0,而(x－1)2≥0,令f(x)＝logax,g(x)＝(x－1)2,畫出兩個函數(shù)的圖像,如圖4所示,要想(x－1)2＜logax在x∈(1,2]內(nèi)恒成立,則loga2＞1,解得a∈(1,2),故選B.

圖4

點評本題是不等式恒成立問題,解答的關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖像的位置關(guān)系問題,進而通過函數(shù)圖像讓問題輕松獲解.

3 比較數(shù)值大小

比大小問題是高考?？碱}型,這類問題不僅考查函數(shù)的單調(diào)性,同時考查考生靈活應(yīng)用函數(shù)圖像解決問題的能力.

例3已知函數(shù)f(x)＝－2x,若2a＝log2b＝c,則( ).

A.f(b)＜f(c)＜f(a)

B.f(a)＜f(b)＜f(c)

C.f(a)＜f(c)＜f(b)

D.f(c)＜f(b)＜f(a)

解析f(x)＝－2x在R 上單調(diào)遞減,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y＝c,y＝2x,y＝log2x,y＝x的圖像,如圖5 所示,則a＜c＜b,故f(b)＜f(c)＜f(a),故選A.

圖5

點評由于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),且它們的圖像關(guān)于直線y＝x對稱,于是通過在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出直線y＝c,就可得出交點的橫坐標(biāo),進而結(jié)合函數(shù)單調(diào)性比較大小.

4 求方程根的代數(shù)式值或范圍

對于求與對數(shù)函數(shù)方程根的代數(shù)式值或范圍這類問題,并不要求我們把方程的根全部求出來,而是要根據(jù)根的分布情況來求代數(shù)式的值或范圍,因此這類問題可以采用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

圖6

點評本題通過作圖發(fā)現(xiàn)方程的根與根之間的內(nèi)在聯(lián)系,即它們的分布具有對稱性或互為倒數(shù),這是解決此類問題的突破口,所以求解這類問題應(yīng)關(guān)注方程各個根之間的聯(lián)系.

以上例子說明對數(shù)函數(shù)圖像的重要性,總而言之,若遇到用常規(guī)方法無法求解與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的方程根問題、函數(shù)零點問題、取值范圍問題、不等式問題等,則可以考慮利用數(shù)形結(jié)合方法求解.

(完)