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        導(dǎo)數(shù)法處理不等式恒成立問題的幾種簡(jiǎn)化思維

        2023-09-28 05:09:54王玉瑩
        高中數(shù)理化 2023年15期
        關(guān)鍵詞:綜上實(shí)數(shù)最值

        王玉瑩

        (山東省濟(jì)寧市鄒城市第二中學(xué))

        不等式恒成立問題是高考常考題型,解題的核心思想是構(gòu)造函數(shù)求最值.此類問題中大多含有參數(shù),求解過程需要對(duì)參數(shù)的可能取值進(jìn)行討論,下面介紹幾種可簡(jiǎn)化討論的特殊思維.

        1 先猜再證

        例1已知函數(shù)f(x)=ex(lnx-m),若?x∈[1,+∞),f(x)≥-1恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.

        點(diǎn)評(píng)不等式f(x)≥-1在x∈[1,+∞)上恒成立,則?x0∈[1,+∞),不等式f(x)≥-1均成立,進(jìn)而可通過特值檢驗(yàn),先猜測(cè)出參數(shù)的范圍,再給出證明.

        2 變更主元

        例2已知函數(shù)f(x)=mx2-x-lnmx,是否存在m>0,使得f(x)≥0恒成立? 若存在,求出實(shí)數(shù)m的值;若不存在,說明理由.

        解析假設(shè)存在滿足條件的m,使得mx2-xlnmx≥0恒成立,視m為主元,設(shè)g(m)=mx2-x-lnmx,則g(m)≥0,即gmin(m)≥0.

        點(diǎn)評(píng)若按常規(guī)解法,即直接求函數(shù)f(x)=mx2-x-lnmx的最小值,需要對(duì)m的取值進(jìn)行分類討論,過程較為煩瑣,視m為主元,可以有效簡(jiǎn)化解題過程.

        3 參變分離

        例3已知函數(shù),若f(x)的圖像上的點(diǎn)都在直線y=kx-1的下方,求k的取值范圍.

        所以h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減.

        又h(1)=0,故當(dāng)x∈(0,1),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,故當(dāng)x=1時(shí),g(x)取得最大值,且

        綜上,k的取值范圍是(1,+∞).

        點(diǎn)評(píng)參數(shù)分離后,將所求問題轉(zhuǎn)化為求不含參函數(shù)的最值,從而簡(jiǎn)化了解題過程.應(yīng)用參數(shù)分離法解題時(shí),要注意分離過程中不等式變形的等價(jià)性.

        4 放縮變換

        當(dāng)x-lnx3=0,即x-3lnx=0時(shí),等號(hào)成立.

        令h(x)=x-3lnx,則h(1)=1>0,

        所以存在x∈(1,e),使得等號(hào)成立.

        綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-3].

        點(diǎn)評(píng)在解答題的求解中應(yīng)用切線不等式進(jìn)行放縮時(shí),要給出其證明過程.常用的切線不等式還有ex≥ex,x-1≥lnxx≥lnx等.

        5 同構(gòu)轉(zhuǎn)化

        例5已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍.

        又g′(x)=ex+1>0,所以g(x)為增函數(shù),g(lna+x-1)≥g(lnx)等價(jià)于

        設(shè)h(x)=lnx-x+1,則,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,故hmax(x)=h(1)=0,則lna≥0,即a≥1.

        綜上,a的取值范圍是[1,+∞).

        綜上,針對(duì)不等式恒成立問題,除了要掌握常規(guī)的解題方法外,還要注意總結(jié)上述特殊思維,明確這些思維的適用條件,才能使解題游刃有余.當(dāng)然同一道題目也可能能用多種思維方法來解決,感興趣的讀者可以自行嘗試.

        (完)

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