安現(xiàn)偉

(山東省莘縣一中教育集團(tuán)新城高級(jí)中學(xué))

證明不等式恒成立是高考必考問(wèn)題,受到了師生們的關(guān)注.這類問(wèn)題一般比較復(fù)雜,不但需要學(xué)生熟練掌握不等式的性質(zhì),而且需要學(xué)生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)、分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合等方法,對(duì)學(xué)生有著較高的要求,導(dǎo)致學(xué)生的答題效果并不理想.因此,本文詳細(xì)介紹解答含參不等式恒成立問(wèn)題常用到的幾種方法,以期幫助學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí),提高解題效率.

1 導(dǎo)數(shù)法

一些不等式的證明問(wèn)題通常可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題,而導(dǎo)數(shù)則是解答最值問(wèn)題最為常用、有效的方法.在實(shí)際解題中,可以對(duì)不等式兩側(cè)進(jìn)行作差處理,構(gòu)造出新的函數(shù),如此便可將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題.而后通過(guò)求導(dǎo),進(jìn)一步確定零點(diǎn)的范圍,借助變形與轉(zhuǎn)化,確定含零點(diǎn)關(guān)系式的最值,進(jìn)而結(jié)合不等式恒成立的條件確定參數(shù)的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)在解答本題過(guò)程中,雖然可以確定零點(diǎn)的存在,但是并不能直接求出.因此,對(duì)其進(jìn)行設(shè)而不求,僅確定其取值范圍以及滿足關(guān)系式后對(duì)代數(shù)式進(jìn)行整體替換,從而使問(wèn)題獲解.

2 分離參數(shù)法

分離參數(shù)法是解答不等式問(wèn)題經(jīng)常用到的方法,該方法主要用于解答那些參數(shù)及變量能夠進(jìn)行分離的問(wèn)題.在實(shí)際解題過(guò)程中,首先需要結(jié)合不等式的特點(diǎn)及性質(zhì)將參數(shù)進(jìn)行分離,即使不等式的一側(cè)僅為參數(shù),在此基礎(chǔ)上,將有變量的一側(cè)視為一個(gè)新的函數(shù),通過(guò)求導(dǎo)等方法確定函數(shù)的單調(diào)性,并求出其在定義域內(nèi)的最值,最后將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,建立起新的不等式,如將f(x)≤a恒成立轉(zhuǎn)化為fmax(x)≤a,將f(x)≥a恒成立轉(zhuǎn)化為fmin(x)≥a,進(jìn)而使問(wèn)題獲解.

例2已知函數(shù)f(x)＝－xlnx＋a(x＋1),若f(x)≤2a在[2,＋∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

則函數(shù)g(x)在[2,＋∞)上單調(diào)遞增,即得

所以a的取值范圍為(－∞,2ln2].

點(diǎn)評(píng)解答本題時(shí),通過(guò)移項(xiàng)、變形,將a進(jìn)行分離,得到a≤g(x),而后對(duì)g(x)進(jìn)行求導(dǎo)確定其單調(diào)性,最后求出gmin(x),如此便可得到a的取值范圍.

3 數(shù)形結(jié)合法

當(dāng)不等式兩側(cè)的式子明顯是兩個(gè)函數(shù),或是可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)時(shí),便可以借助數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行解答.在實(shí)際解題中,首先需要對(duì)不等式進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化,將不等式兩側(cè)化為自身較為熟悉的函數(shù)表達(dá)式.然后在平面直角坐標(biāo)系中準(zhǔn)確畫出相應(yīng)的圖像,這是至關(guān)重要的一步,若這一步出現(xiàn)問(wèn)題,可能會(huì)直接導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.因此學(xué)生需要仔細(xì)作圖并進(jìn)行檢查,最后結(jié)合圖像的位置關(guān)系、圖像的性質(zhì)等建立不等式,從而使問(wèn)題獲解.

例3已知不等式(x－1)2＜logax對(duì)任意x∈(1,2)恒成立,求a的取值范圍.

解析設(shè)y1＝(x－1)2,y2＝logax,當(dāng)0＜a＜1時(shí),不等式顯然不成立.

當(dāng)a＞1時(shí),在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像,如圖1所示.

圖1

由圖1可知,當(dāng)x∈(1,2)時(shí),y1＝(x－1)2的圖像始終在y2＝logax圖像的下方,即當(dāng)x∈(1,2)時(shí),y1＜y2,此時(shí)

即loga2≥1,故a的取值范圍為(1,2].

點(diǎn)評(píng)本題中的不等式左、右兩邊為常見的函數(shù),因此,只要準(zhǔn)確地畫出相應(yīng)的圖像,而后結(jié)合圖像便可以容易解答問(wèn)題.在畫圖過(guò)程中,需要注意圖像的準(zhǔn)確性和規(guī)范性.

4 同構(gòu)法

對(duì)于一些既有指數(shù)函數(shù)又有對(duì)數(shù)函數(shù)的不等問(wèn)題,常常可以運(yùn)用同構(gòu)法進(jìn)行解題.對(duì)這類不等式進(jìn)行整理、變形后,將其轉(zhuǎn)化為不等式兩側(cè)具有相同形式的結(jié)構(gòu),如將F(x)≥0 等價(jià)變形為f(g(x))≥f(h(x)),利用這個(gè)結(jié)構(gòu)式構(gòu)造對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x),進(jìn)而利用f(x)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)進(jìn)行解題.常見的同構(gòu)形式有

例4若ex－a≥lnx＋a對(duì)一切正數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ).

解析因?yàn)閑x－a≥lnx＋a,所以配湊得ex－a＋xa≥x＋lnx＝elnx＋lnx.

令函數(shù)f(x)＝ex＋x,易得f(x)在R 上為增函數(shù),由

可知f(x－a)≥f(lnx),則有x－a≥lnx,即

設(shè)函數(shù)g(x)＝x－lnx(x＞0),求導(dǎo)可得

由g′(x)＝0,可得x＝1,故函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,

所以a≤gmin(x)＝1,故選B.

點(diǎn)評(píng)在解答本題時(shí),通過(guò)合理配湊,同構(gòu)函數(shù)f(x)＝ex＋x,而后結(jié)合其單調(diào)性將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的不等式,再進(jìn)行分離參數(shù)處理,進(jìn)一步可以得到函數(shù)的最小值,最后結(jié)合不等式確定參數(shù)的取值范圍,難點(diǎn)則是進(jìn)行合理的配湊.

本文總結(jié)了解答含參不等式恒成立問(wèn)題常用的四種方法:導(dǎo)數(shù)法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法及同構(gòu)法.在實(shí)際解題時(shí),學(xué)生需要結(jié)合題目進(jìn)行合理的選擇,從而達(dá)到快速解題的效果.因此,在日常學(xué)習(xí)中,學(xué)生應(yīng)當(dāng)積極訓(xùn)練,熟練掌握各種方法.

(完)