杜海洋
(成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實驗中學(xué)校)
2023年數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第17題是一道解三角形問題(俗稱“爪子模型”),此題題型常規(guī)但不乏新意,入口寬、解法多,但不同方法的效果(思維、時間、運算、書寫等要求差異較大)相去甚遠(yuǎn),故本題也是一道區(qū)分度較大的題,而且對后續(xù)解題進(jìn)程會產(chǎn)生較大影響,這突出了高考對“多考想、少考算”“在思維層次上區(qū)分”的命題立意.下面筆者對此題進(jìn)行多視角解答,以饗讀者.
題目(2023 年新高考Ⅱ卷17)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC面積為,D為BC的中點,且AD=1.
(1)若∠ADC=,求tanB;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
本題考查解三角形的基礎(chǔ)知識,即正弦定理、余弦定理、面積公式的綜合運用,其中中線AD的長度已知,且點D為BC的中點,則BD=DC,這些條件都是求解問題的關(guān)鍵.因為三角形與向量密不可分,所以結(jié)合向量進(jìn)行解答也是解題的一個方向,三角形是幾何圖形,所以結(jié)合幾何作圖也是這類試題的一個突破口.
(1)方法1 (利用幾何作圖)
如圖1所示,作AH⊥BC于H,由題設(shè)AD=1,∠ADC=,易得
圖1
點評在解三角形中,若涉及中點、等分點等特殊情形,可考慮作中位線或平行線進(jìn)行角與線段的轉(zhuǎn)化,由于題設(shè)條件涉及面積,從而作高,構(gòu)造直角三角形,輕松獲得解答.
方法2 (利用面積相等)
點評利用等面積法、余弦定理建立等式關(guān)系,得出邊a,c的值,再結(jié)合正弦定理使問題獲解,尤其是“爪子模型”的三角形,利用面積的不同表達(dá)形式,可以對三角形涉及的多條線段建立等式關(guān)系,這樣就可以合理利用已知線段的長度,當(dāng)然合理利用相鄰補角也是解題需關(guān)注的一個角度,如sin∠ADB=sin∠ADC,cos∠ADB+cos∠ADC=0.
方法3 (利用面積倍數(shù)關(guān)系)
因為AD=1,所以DC=2,即BD=2.在△ABD中,
點評此法巧妙運用面積關(guān)系求出DC=2,再在△ABD中,根據(jù)兩邊及其所對的兩角,利用正弦定理使問題獲解,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與劃歸的強大邏輯思維能力.
方法4 (幾何作圖+正弦、余弦定理)
點評本法實質(zhì)是方法1、方法2的結(jié)合,體現(xiàn)了在“考場”上學(xué)生解答、思考路徑不同,解答題的時間“長度”也不同,但也體現(xiàn)了解答此問目標(biāo)的一致性,多視角切入,方法的多樣性.
方法5 (利用正弦定理+余弦定理)
由①和②可得a=4.下同方法2.
點評求解關(guān)于“爪子模型”的三角形,分別利用“大”“小”三角形,結(jié)合正弦定理或余弦定理建立邊角關(guān)系也是常見策略,其中利用“共角”以及兩次余弦定理可以建立三角形所涉及線段的關(guān)系,進(jìn)一步獲得相關(guān)等式.
方法6 (坐標(biāo)法)
如圖2 所示,以點D為坐標(biāo)原點、BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,由方法1易得,B(-2,0),所以
圖2
點評坐標(biāo)法是數(shù)形結(jié)合的真正體現(xiàn),坐標(biāo)法可將復(fù)雜的線段或角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為純數(shù)據(jù)處理,從而避免了思維的難度.
(2)方法1 (利用互補關(guān)系)
因為在△ABD和△ADC中,由余弦定理可得
點評探究三角形中的線長度與已知三角形三邊長度的關(guān)系對學(xué)生的思維要求較高,基本理念是利用線與邊形成的角和余弦定理建立邊的關(guān)系,其中cos∠ADB+cos∠ADC=0是研究這類問題的核心步驟.
方法2 (利用向量)
點評平面向量具有“數(shù)”和“形”的雙重性,是溝通幾何、代數(shù)的重要工具,借助平面向量基本定理建立三角形中邊與邊之間的等量關(guān)系式.此法利用定比分點公式,實質(zhì)是共線向量基本定理,它體現(xiàn)了三個不共線向量之間的一種數(shù)量關(guān)系,利用這一關(guān)系可將三條線段的長度聯(lián)系起來,這也正是運用本法的關(guān)鍵所在.
方法3 (坐標(biāo)法)
如圖3所示,以點D為坐標(biāo)原點、BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.因為AD=1,設(shè)∠ADC=θ∈(0,π),令A(yù)(cosθ,sinθ),B(-,0),C(,0),由b2+c2=8,則
圖3
點評通過建立平面直角坐標(biāo)系,建立等式,探索出AD⊥BC,從而得出AB=AC,再利用勾股定理獲得解答.
方法4 (幾何作圖法)
如圖4 所示,延長AD至點H,使AD=DH,連接BH,CH,則易得四邊形ABHC為平行四邊形,所以AH=2AD=2,BH=b.在△ABH中,有
圖4
又因為b2+c2=8,所以bccos∠BAC=-2.
下同方法2.
點評此法通過幾何作圖,將涉及的線段轉(zhuǎn)化到同一個三角形中,根據(jù)已知條件,再利用余弦定理和面積公式求得答案.若三角形中涉及邊的中線,此幾何法高頻使用.
方法5 (利用中線長公式)
在△ABC中,由中線長公式可得b2+c2=2(AD2+BD2),則AD2+BD2=4,因為AD=1,所以,下同方法1.
點評中線長定理其實來源于人教A 版《數(shù)學(xué)必修第二冊》第39頁例2:如圖5所示,已知平行四邊形ABCD,你能發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎?(請讀者自行翻閱教材).
圖5
方法6 (利用斯特瓦爾特定理)
斯特瓦爾特定理:如圖6 所示,設(shè)點D為已知△ABC邊BC上的一點,則AB2·DC+AC2·BDAD2·BC=BC·DC·BD.
圖6
由此定理可得
點評此法巧妙借用了斯特瓦爾特定理,不僅步驟簡單,計算量也小,極大提高了解題效率,希望同學(xué)們在平時解題中多積累相關(guān)的二級結(jié)論并加以運用.當(dāng)然涉及利用斯特瓦爾特定理的試題屢見不鮮,限于篇幅,就不一一贅述,希望讀者自行查找相關(guān)試題資料.
本文充分展示了涉及三角形中含有線段的問題的幾種常規(guī)解題思想,尤其要熟練掌握對比解法,優(yōu)化解題思路.數(shù)學(xué)家波利亞曾說過:“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”,數(shù)學(xué)問題的解決僅僅是一個開端,更重要的是解題后的反思與回顧,以便深刻地揭示問題的本質(zhì).在解題的過程中,要多角度思考解題思路,深入挖掘問題本質(zhì),尋求巧妙的解題方法并及時歸納總結(jié)規(guī)律和結(jié)論,從而提高解題效率.
(完)