亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        彈性地基梁板的徑向基函數(shù)逼近求解方法

        2023-09-09 02:39:06林軍志徐績(jī)青
        關(guān)鍵詞:未知量邊界點(diǎn)邊界條件

        林軍志,楊 笛,徐績(jī)青,3

        (1. 重慶交通大學(xué) 河海學(xué)院,重慶 400074; 2. 山區(qū)公路水運(yùn)交通地質(zhì)減災(zāi)重慶市教委重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400074; 3. 重慶交通大學(xué) 國(guó)家內(nèi)河航道整治工程技術(shù)研究中心 水利水運(yùn)工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400074)

        0 引 言

        在工程中因地基變形而導(dǎo)致建筑物的損壞是不可無視的,因此與土體接觸的結(jié)構(gòu)應(yīng)按彈性地基梁和彈性地基板來考慮。筆者以Winkler模型為基礎(chǔ),假設(shè)地基表面任一點(diǎn)的沉降與該點(diǎn)單位面積上的壓力成正比,建立了撓度微分方程式和邊界條件。

        目前針對(duì)彈性地基梁板的撓度求解研究成果頗豐,如經(jīng)典的Navier彈性地基板雙三角級(jí)數(shù)解[1],該方法是將荷載轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)形式,將滿足邊界條件的試函數(shù)帶回微分方程得到撓度理論解;初參數(shù)法[2]是用撓度ω、轉(zhuǎn)角θ、彎矩M、剪力Q代替撓度函數(shù)中的4個(gè)參數(shù),使積分常數(shù)具有明確的物理意義;處理變截面梁和邊荷載問題的鏈桿法[2],是用鏈桿力代替地基反力;楊維加[3]對(duì)彈性地基梁采用三角級(jí)數(shù)法進(jìn)行求解;楊成永等[4]針對(duì)帶有脫空彈性地基梁?jiǎn)栴}采用傅里葉級(jí)數(shù)法進(jìn)行求解。以上解析方法都是針對(duì)某些特定條件或規(guī)則形狀進(jìn)行的求解,其計(jì)算形式較為復(fù)雜。

        有限元方法在樣條函數(shù)空間尋找近似解,但對(duì)于求解高階偏微分問題所構(gòu)造高階連續(xù)樣條函數(shù)基(高階連續(xù)單元)非常困難,且每次計(jì)算都需要剖分網(wǎng)格,計(jì)算工作量大。無網(wǎng)格方法[5]主要有滑動(dòng)最小二乘法[6]、伽遼金法[7]、雜交邊界法[8]等,這些方法均是通過數(shù)值積分得到弱形式解。基于徑向基函數(shù)[9-14]的求解具有如下優(yōu)點(diǎn):表達(dá)與計(jì)算非常簡(jiǎn)單、各向同性、任意多元函數(shù)都可用一元函數(shù)來描述、節(jié)約存儲(chǔ)成本、可以逼近幾乎所有的從各向同性問題中產(chǎn)生的函數(shù)。采用徑向基函數(shù),結(jié)合加權(quán)余量法[15]中的配點(diǎn)法對(duì)線性方程組進(jìn)行離散,通過笛拉克函數(shù)控制殘差可得到計(jì)算簡(jiǎn)單、精度高、通用性強(qiáng)的強(qiáng)形式解。

        1 撓度微分方程與邊界條件

        1.1 彈性地基梁

        域內(nèi)微分方程的計(jì)算如式(1):

        (1)

        自然邊界條件如式(2):

        W|x=0,l=0

        (2)

        本質(zhì)邊界條件如式(3):

        (3)

        式中:EI為彈性地基梁的彎曲剛度,kN·m;k為彈性地基系數(shù),kN/m3;b取單寬,m;l為寬度,m;q(x)為施加在彈性地基梁上的荷載,kN/m。

        1.2 彈性地基板

        域內(nèi)微分方程的計(jì)算如式(4):

        D?4W(x,y)+kW(x,y)=q(x,y)

        (4)

        自然邊界條件如式(5):

        W|x=0,2a=0,W|y=0,2b=0

        (5)

        本質(zhì)邊界條件如式(6):

        (6)

        式中:D為彈性地基板的彎曲剛度,kN·m;2a、2b分別為板的長(zhǎng)和寬,m。

        2 徑向基函數(shù)

        筆者根據(jù)文獻(xiàn)[9-10],基于修正再生核逼近思想構(gòu)造了局部緊支撐徑向基函數(shù)(該函數(shù)使離散插值矩陣具有帶疏性)及根據(jù)經(jīng)驗(yàn)改良后的Gauss公式,如式(7)~式(12)。這樣可以解決因數(shù)值計(jì)算中布點(diǎn)過密產(chǎn)生的病態(tài)矩陣問題。

        φ(r)=(1-r)5×(1+5r+9r2+5r3+r4)

        (7)

        φ(r)=(1-r)6(6+36r+82r2+72r3+30r4+5r5)

        (8)

        φ(r)=(1-r)6(3+18r+35r2)

        (9)

        φ(r)=(1-r)7(5+35r+101r2+147r3+101r4+35r5+5r6)

        (10)

        φ(r)=(1-r)8(1+8r+25r2+32r3)

        (11)

        φ(r)=expcr2

        (12)

        需特別注意,若有r=d/dmax則以上函數(shù)應(yīng)滿足式(13)。

        (13)

        3 徑向基函數(shù)配點(diǎn)法

        3.1 加權(quán)余量配點(diǎn)法

        已知基本微分方程式和邊界條件[15]:

        (14)

        式中:D、G分別為微分算子;d、g分別為不含函數(shù)的項(xiàng);u為待求函數(shù)項(xiàng);m為邊界條件數(shù)。

        假設(shè)待定函數(shù)u的近似解為Ui,則有式(15):

        (15)

        式中:ai為待定系數(shù);fi為形式確定的試函數(shù)項(xiàng);n為試函數(shù)項(xiàng)的數(shù)目。

        將近似解代入微分方程,則有內(nèi)部殘量R1和邊界殘量R2[15]:

        (16)

        選用笛拉克函數(shù)作為權(quán)函數(shù)ωi(x),如式(17):

        ωi(x)=δ(x-xi)=0,(x≠xi)

        (17)

        根據(jù)笛拉克函數(shù)的挑選性,控制殘差在一系列配點(diǎn)上xi=0,則有式(18)。

        (18)

        求解式(18),即可得到待定系數(shù)ai。

        3.2 徑向基函數(shù)配點(diǎn)求解

        取徑向基函數(shù)作為試函數(shù),則撓度的近似解Ui[11]可由式(19)表達(dá)。

        (19)

        所求區(qū)域用n個(gè)節(jié)點(diǎn)離散。設(shè)P為區(qū)域內(nèi)部nP個(gè)節(jié)點(diǎn)的集合;Q為邊界x方向上的nQ個(gè)節(jié)點(diǎn)集合;S為邊界y方向上的nS個(gè)節(jié)點(diǎn)集合;則有n=nP+nQ+nS。n個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的未知撓度為n個(gè),試函數(shù)數(shù)量與未知量數(shù)量相同,可建立n個(gè)線性方程組,如式(20)。

        (20)

        令特征矩陣A=[Φ(r)],系數(shù)矩陣α=[α1,α2,…,αn]T,待求矩陣U=[U1,U2,…,Un]T,則可簡(jiǎn)化如式(21):

        Aα=U

        (21)

        任意點(diǎn)的撓度近似解可表示為式(22):

        [φ1(ri)φ2(ri) …φn(ri)]A-1U

        (22)

        梁、板方程的求解〔式(1)~式(6)〕一般分為兩種方法。

        方法1:不求逆矩陣,以待定系數(shù)矩陣α為未知量求解。

        方法2:求逆矩陣,以待求矩陣U作為未知量求解。

        3.3 方法改進(jìn)

        在數(shù)值計(jì)算中,常規(guī)配點(diǎn)法往往會(huì)在邊界處產(chǎn)生嚴(yán)重振蕩[14],針對(duì)這一問題可利用本質(zhì)邊界條件新增未知量,借鑒彈塑性靜力學(xué)的處理方法提出n個(gè)節(jié)點(diǎn)撓度和nQ+nS個(gè)邊界點(diǎn)撓度的二階偏導(dǎo)量聯(lián)合插值的近似解,如式(23),明確附加了未知量的物理意義。

        (23)

        式(23)對(duì)于徑向基函數(shù)的高階連續(xù)性有一定要求,為了避免徑向基函數(shù)高階求導(dǎo)后形成的特征矩陣條件數(shù)增大,應(yīng)對(duì)式(23)進(jìn)行簡(jiǎn)化。

        分別采用線性無關(guān)的輔助徑向基函數(shù)βi(ri),γi(ri)來代替高階偏導(dǎo)項(xiàng),如式(24)。

        (24)

        式(24)中:右邊第1項(xiàng)代表n個(gè)節(jié)點(diǎn)的撓度;第2項(xiàng)代表在邊界點(diǎn)上對(duì)x方向的曲率;第3項(xiàng)代表在邊界點(diǎn)上對(duì)y方向的曲率。

        此時(shí)式(24)可寫作式(25):

        (25)

        n+nQ+nS個(gè)待定系數(shù)的n個(gè)方程組為超定解,因此為滿足一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,構(gòu)造了附加未知量、矩陣A的附加行。數(shù)值計(jì)算中為降低方程組求解難度,從減小誤差思想出發(fā),構(gòu)建附加未知量與本質(zhì)邊界條件等價(jià)可以使方程組的附加行列成為類單位陣。改造后的矩陣A及待求矩陣U如式(26)、 式(27):

        n個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)n+nQ+nS個(gè)未知數(shù),建立了n+nQ+nS個(gè)線性方程組,其中Vi,Zi為附加未知量。Vi表示為邊界點(diǎn)在x方向上撓度二階偏導(dǎo)量,即x方向的曲率;Zi表示為邊界點(diǎn)在y方向上撓度二階偏導(dǎo)量,即y方向的曲率。得到的近似解如式(28):

        (26)

        U=[U1…UnV1…VnQZ1…ZnS]T

        (27)

        [φ1(ri) …φn(ri)β1(ri) …βnQ(ri)γ1(ri) …γnS(ri)]A-1U

        (28)

        4 算法實(shí)施

        1)建立4階偏微分方程和邊界條件方程;

        2)在規(guī)定區(qū)域合理均勻配點(diǎn),并求得個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離及其影響半徑;

        3)選取各線性無關(guān)的徑向基函數(shù)作為主函數(shù)和輔助函數(shù)構(gòu)造近似解Ui;

        4)方法1:根據(jù)各節(jié)點(diǎn)位置結(jié)合邊界條件構(gòu)造特征矩陣A使得附加未知量具有物理意義;

        方法2:根據(jù)各節(jié)點(diǎn)位置結(jié)合邊界條件構(gòu)造特征矩陣A,使得附加未知量具有物理意義并求得逆矩陣B=A-1;

        5)對(duì)近似解Ui求4階偏導(dǎo);

        6)方法1:將近似解Ui和4階偏導(dǎo)帶入微分方程中,并針對(duì)邊界點(diǎn)改變?cè)撔械奈⒎址匠淌蛊錆M足自然邊界條件。顯然具有公因子[a1, …,anb1, …,bnQc1,…,cnS]T;

        方法2:將近似解和4階偏導(dǎo)函數(shù)帶入微分方程中,并通過化零置一的方法使其滿足自然邊界條件。顯然具有公因子[U1, …,UnV1, …,VnQZ1,…,ZnS]T;

        7)方法1:利用A附加行的意義構(gòu)造方程組,滿足微分方程和本質(zhì)邊界條件;

        方法2:由于附加未知量與本質(zhì)邊界條件等價(jià),因此在聯(lián)立方程時(shí),式(3)、式(5)無需再次計(jì)算2階偏導(dǎo)式,而是構(gòu)建類單位陣滿足邊界條件。若以第一個(gè)邊界點(diǎn)x方向曲率為例,如式(29):

        (29)

        轉(zhuǎn)換為式(30):

        (30)

        8)方法1:聯(lián)立方程組求得未知系數(shù)并帶回式(24),求得近似解Ui;

        方法2:聯(lián)立方程組直接求得未知量Ui。

        5 算例分析

        5.1 彈性地基梁的撓度分析

        算例1:假設(shè)一個(gè)兩端簡(jiǎn)支的彈性地基梁,受均布荷載作用q=2 kN/m;簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)=4 m;EI=2.5×106kN·m2;地基彈性系數(shù)k=4×104kN/m3。如圖1。

        圖1 彈性地基梁受均布荷載Fig. 1 Elastic foundation beam subjected to uniformly distributed load

        已知彈性地基梁的撓度微分方程與邊界條件為式(1)~式(3),可得到理論解,如式(31):

        (31)

        (32)

        (33)

        則無量綱撓度理論解如式(34):

        (34)

        利用徑向基函數(shù)配點(diǎn)逼近的方法進(jìn)行求解,選用文獻(xiàn)[10]提出的一維6階連續(xù)函數(shù)作為主函數(shù)和一維4階連續(xù)函數(shù)作為輔助函數(shù)。一維梁結(jié)構(gòu)不存在y方向的曲率,因此構(gòu)造出近似解Ui和矩陣A。

        取節(jié)點(diǎn)間距為0.05均勻布點(diǎn),則一共有n=21個(gè)節(jié)點(diǎn),其中兩個(gè)邊界點(diǎn)nQ=2。采用方法一直接聯(lián)立式(1)~式(3),求解得到未知系數(shù)代入近似解的撓度值如圖2。從數(shù)學(xué)精度方面考慮全局相對(duì)誤差1.38%;工程上為滿足安全性原則,一般考慮最大撓度變形點(diǎn)。由圖2可見:最大撓度變形發(fā)生在跨中0.012 5 m處,與理論解相比,其相對(duì)誤差僅為0.084%,優(yōu)于最小滑動(dòng)二乘解。

        圖2 彈性地基梁受均布荷載撓度分析Fig. 2 Deflection analysis of elastic foundation beam subjected to the uniformly distributed load

        5.2 彈性地基板的撓度分析

        5.2.1 算例2

        若有一塊簡(jiǎn)支彈性地基板,板長(zhǎng)為10 m(即a=5),板寬為10 m(即b=5);板的彎曲剛度為D=2.5×104kN·m;地基彈性系數(shù)為k=104kN/m3;板上受到均布荷載為q=2 kN/m2,如圖3。

        圖3 彈性地基板受均布荷載Fig. 3 Elastic foundation beam and plate subjected to the uniformly distributed load

        已知彈性地基板的撓度微分方程與邊界條件為式(4)~式(6),則可得到理論解,如式(35):

        (35)

        利用徑向基函數(shù)配點(diǎn)逼近的方法進(jìn)行求解,選用文獻(xiàn)[10]提出的三維4階連續(xù)函數(shù)作為主函數(shù),文獻(xiàn)[9]構(gòu)造的三維4階連續(xù)函數(shù)作為輔助函數(shù)和文獻(xiàn)[10]的三維6階連續(xù)函數(shù)作為輔助函數(shù)構(gòu)造出近似解Ui和矩陣A。

        板面上4個(gè)角點(diǎn)同時(shí)考慮對(duì)x、y兩個(gè)方向求曲率,利用方法2求出逆矩陣B,利用附加未知量的意義構(gòu)造一個(gè)類似單位矩陣的大小為2m行n+2m列的矩陣M(M=[RT]),R為2m行n列的零矩陣,T為2m行2m列的單位矩陣。使其乘以n+2m個(gè)未知量,并通過化零置一轉(zhuǎn)化成未知系數(shù)與本質(zhì)邊界條件等價(jià)的未知量。取節(jié)點(diǎn)間距為0.25,均勻布點(diǎn),則一共有n=1 681個(gè)節(jié)點(diǎn),其中邊界點(diǎn)160個(gè)。

        得到的各撓度值如圖4。

        圖4 彈性地基板受到均布荷載的撓度分析Fig. 4 Deflection analysis of elastic foundation beam and plate subjected to the uniformly distributed load

        板最大撓度變形發(fā)生在板中央,近似解為2.42×10-4m,略大于理論解,撓度最大值相對(duì)誤差為0.012%。此時(shí)逆矩陣的求逆精度為3.05×10-5,從工程實(shí)際而言效果較好;節(jié)點(diǎn)全局平均相對(duì)誤差為0.46%,從數(shù)學(xué)層面考慮精度較好。

        5.2.2 算例3

        若有一塊四邊簡(jiǎn)支的正方形薄板,幾何尺寸為1 m×1 m(即a=0.5,b=0.5)。板的彈性模量為E=2.1×1010Pa,泊松比為μ=0.3,地基彈性系數(shù)為k=4.9×104kN/m3,板上受到均布荷載為q=1 kN/m2。

        利用徑向基函數(shù)配點(diǎn)逼近方法進(jìn)行求解,選用改良后的Gauss函數(shù)作為主函數(shù),輔助函數(shù)為式(8)、 式(9)分別對(duì)x、y方向的曲率。在滿足域內(nèi)微分方程和邊界條件的情況下構(gòu)造出近似解Ui,采用方法二求逆矩陣B,并以待求矩陣U作為未知量建立方程組。

        取節(jié)點(diǎn)間距為0.025,共有n=1 681個(gè)節(jié)點(diǎn),其中160個(gè)邊界點(diǎn)。由于地基反力變大,撓度最大值不會(huì)發(fā)生在板中央,由此得到撓度結(jié)果[7],見圖5。與理論解對(duì)比,撓度最大值相對(duì)誤差為0.178%,與整體相對(duì)誤差嚴(yán)重不匹配,這是因?yàn)镚auss函數(shù)求逆精度低。

        圖5 馬鞍形撓度值(調(diào)整前)Fig. 5 Saddle-type deflection value (before the adjustment)

        故從代數(shù)方面考慮,讓邊界點(diǎn)除了滿足邊界條件外同時(shí)滿足邊界微分方程,如式(36),通過改變矩陣大小及排列來提高精度。

        (36)

        主函數(shù)與輔助函數(shù)不變,此時(shí)x、y兩個(gè)方向的曲率都用式(8)表示,4階偏導(dǎo)用式(9)表示,構(gòu)造出近似解Ui和矩陣A如式(37)、式(38),其余步驟與方法2相同。

        (37)

        (38)

        調(diào)整后的撓度值如圖6。與理論解對(duì)比,其整體相對(duì)誤差明顯減小,撓度最大值的相對(duì)誤差為0.013%,比調(diào)整前提高10倍,精度滿足工程需要;板中心撓度相對(duì)誤差為0.013 5%,與雜交邊界法相當(dāng)。

        圖6 馬鞍形撓度值(調(diào)整后)Fig. 6 Saddle-type deflection value (after the adjustment)

        6 結(jié) 論

        筆者為求解彈性地基梁和彈性地基板的撓度值,采用了徑向基函數(shù)配點(diǎn)逼近的方法,得出如下結(jié)論:

        1)徑向基函數(shù)配點(diǎn)法形式簡(jiǎn)單,無網(wǎng)格化,計(jì)算方便,求解精度高;

        2)在構(gòu)建矩陣A時(shí),可根據(jù)邊界條件編寫附加行,使得附加未知量具有一定的物理意義,從而通過簡(jiǎn)化方程求解來減小誤差;

        3)針對(duì)方程求解提出兩種算法:不求逆矩陣,以待定系數(shù)作為未知數(shù)進(jìn)行求解;求逆矩陣,以撓度值作為未知數(shù)進(jìn)行求解,根據(jù)矩陣求逆精度選擇算法;

        4)參考緊支柱思想,改造了與全局支撐域相關(guān)聯(lián)的Gauss函數(shù),使其無量綱化,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定其參數(shù)c=-23.026;

        5)為解決改造后的Gauss函數(shù)求逆性差的問題,可利用邊界微分方程建立輔助函數(shù),以提高求解精度。

        猜你喜歡
        未知量邊界點(diǎn)邊界條件
        一類含有四個(gè)未知量的函數(shù)問題的解決策略
        道路空間特征與測(cè)量距離相結(jié)合的LiDAR道路邊界點(diǎn)提取算法
        層次化點(diǎn)云邊界快速精確提取方法研究
        一類帶有Stieltjes積分邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解
        帶有積分邊界條件的奇異攝動(dòng)邊值問題的漸近解
        未知量符號(hào)x的歷史穿越
        帶Robin邊界條件的2維隨機(jī)Ginzburg-Landau方程的吸引子
        一種去除掛網(wǎng)圖像鋸齒的方法及裝置
        電腦與電信(2014年6期)2014-03-22 13:21:06
        帶非齊次邊界條件的p—Laplacian方程正解的存在唯一性
        淺談高中數(shù)學(xué)方程思想如何在教學(xué)中實(shí)施
        军人粗大的内捧猛烈进出视频| 国产激情在线观看免费视频| 日产乱码一二三区别免费l| 国产美女在线精品免费观看| 日本高清不卡二区| 日韩精品极品视频在线观看蜜桃| 国产自拍视频在线观看免费| 日韩一区国产二区欧美三区| 国产精品美女久久久久久2018| 无人视频在线播放在线观看免费| 91精品国产综合久久久蜜| 国产午夜精品一区二区| 日韩中文网| 免费国产自拍视频在线观看| 国产福利一区二区三区在线视频| 色五月丁香五月综合五月4438| 亚洲AV肉丝网站一区二区无码| 国产亚洲av一线观看| 亚洲s色大片在线观看| 亚洲精品欧美二区三区中文字幕| 国产欧美激情一区二区三区| 91一区二区三区在线观看视频| aa片在线观看视频在线播放| 波多野结衣亚洲一区二区三区| 久久久亚洲女精品aa| 手机看片自拍偷拍福利| 国产美女久久精品香蕉69| 亚洲精品亚洲人成在线播放| 国产亚洲精品一品二品| 国产三级av在线播放| 中文字幕精品亚洲人成| av资源在线永久免费观看 | 亚洲香蕉av一区二区蜜桃| 日本最新一区二区三区在线视频| 五月综合激情婷婷六月色窝| 国产系列丝袜熟女精品视频| 大香蕉视频在线青青草| 女人被爽到高潮视频免费国产 | 亚洲国产av玩弄放荡人妇系列| 一本色道久久综合亚洲精品小说| 一区二区三区成人av|