袁也，安輔嵩，楊靜璇，魏運(yùn)，楊欣，盛旭標(biāo)

（1.北京城市軌道交通咨詢有限公司，北京 100068；2.北京交通大學(xué) 先進(jìn)軌道交通自主運(yùn)行全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044；3.北京市地鐵運(yùn)營(yíng)有限公司 技術(shù)創(chuàng)新研究院，北京 100044；4.交控科技股份有限公司，北京 100070）

0 引言

隨著我國(guó)城市規(guī)模的不斷擴(kuò)大，機(jī)動(dòng)車保有量急劇增長(zhǎng)，交通擁堵和機(jī)動(dòng)車排放污染問題嚴(yán)重影響著人們的生活。城市軌道交通具有準(zhǔn)時(shí)、安全、舒適以及運(yùn)能大等特點(diǎn)，已經(jīng)成為城市公共交通中的主要角色，但在城市軌道交通事業(yè)迅猛發(fā)展的同時(shí)，能源消耗總量過大的問題也日顯突出［1-2］。2020 年，我國(guó)城市軌道交通總能耗高達(dá)172.4 億kW·h，同比增長(zhǎng)12.9%，其中牽引能耗84 億kW·h，同比增長(zhǎng)6.3%。按照目前我國(guó)城市軌道交通發(fā)展規(guī)劃推算，未來幾十年城市軌道交通能源消耗將達(dá)到相當(dāng)大的規(guī)模。研究如何有效降低城市軌道交通系統(tǒng)能耗，尤其是降低城市軌道交通列車運(yùn)行能耗以減少碳排放，對(duì)推進(jìn)“碳達(dá)峰”和“碳中和”進(jìn)程具有重要意義［3］。

再生制動(dòng)是一種使用在電氣化列車上的制動(dòng)技術(shù)，可以在列車制動(dòng)時(shí)把電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)換成發(fā)電機(jī)模式，將列車動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能加以利用，不以熱能形式散失。在城市軌道交通系統(tǒng)中，由于列車在運(yùn)行過程中需要頻繁地牽引與制動(dòng)，制動(dòng)過程中可回收的電能（簡(jiǎn)稱再生能量）相當(dāng)可觀，因此回收利用再生制動(dòng)能是城市軌道交通節(jié)能低碳研究中的重點(diǎn)［4］。

提出一種低碳導(dǎo)向的城市軌道交通運(yùn)行圖與速度曲線集成優(yōu)化模型，設(shè)計(jì)一種基于遺傳算法的高效啟發(fā)式算法進(jìn)行求解，在降低列車區(qū)間牽引能耗同時(shí)，提高再生能利用率，從而得到碳排放最低的列車運(yùn)行圖和速度曲線方案，最后基于北京地鐵燕房線實(shí)際數(shù)據(jù)做了數(shù)值分析，驗(yàn)證研究模型的有效性和適用性。

1 模型構(gòu)建

為了在基本不影響線路運(yùn)營(yíng)的情況下，盡可能降低城市軌道交通系統(tǒng)中列車運(yùn)行所產(chǎn)生的碳排放，以線路中所有列車為研究對(duì)象，根據(jù)列車所處位置以及與其他列車之間的時(shí)空關(guān)系對(duì)列車做出合理控制，并求出最優(yōu)控制方案以及全線路列車運(yùn)行圖?？紤]構(gòu)建速度曲線與列車運(yùn)行圖集成優(yōu)化模型，以碳排放量為目標(biāo)函數(shù)，將控制力作為決策變量之一，同時(shí)補(bǔ)充線路運(yùn)營(yíng)相關(guān)參數(shù)，增加發(fā)車時(shí)刻、停站時(shí)間2 種決策變量［5-6］。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

以城市軌道交通線路中所有列車的碳排放量總和最小化為目標(biāo)，建立優(yōu)化模型，目標(biāo)函數(shù)為：

式中：Z為目標(biāo)函數(shù)值；n為列車數(shù)量；Cj為列車j所產(chǎn)生的碳排放量，kg。

目前應(yīng)用最為廣泛的核算溫室氣體排放的方法是排放因子法，即把有關(guān)人類活動(dòng)發(fā)生程度的信息與量化單位活動(dòng)的排放量或清除量系數(shù)（即排放因子，Emission Factor，EF）結(jié)合起來［7］。目前絕大部分城市軌道交通列車為電驅(qū)動(dòng)列車，列車從供電軌道獲得電能，并通過電機(jī)轉(zhuǎn)換為機(jī)械能驅(qū)動(dòng)列車行駛。因此，計(jì)算列車牽引碳排放應(yīng)以其消耗的電能為依據(jù)。根據(jù)生態(tài)環(huán)境部有關(guān)文件規(guī)定，對(duì)于購(gòu)入使用電力產(chǎn)生的碳排放，用購(gòu)入使用電量乘以電網(wǎng)排放因子得出，因此目標(biāo)函數(shù)也可表示為：

式中：EFgrid為電網(wǎng)排放因子，kgCO2/kW·h；Ej為列車j所引起的凈能耗，kW·h。

1.2 列車能耗

城市軌道交通列車在運(yùn)行過程中通常有牽引、惰行、制動(dòng)3 種工況［8］，分別可以對(duì)應(yīng)列車加速或勻速行駛、列車緩慢減速、列車迅速減速3種情況。列車制動(dòng)過程中，速度降低，則動(dòng)能減少?，F(xiàn)有研究已經(jīng)表明，通過特定裝置，列車減少的動(dòng)能可以轉(zhuǎn)換為電能，供其他列車使用，這種能量被稱為再生制動(dòng)能。再生制動(dòng)能產(chǎn)生時(shí)間短、功率大、不易儲(chǔ)存，因此再生制動(dòng)能應(yīng)盡量被牽引列車使用，以減少能耗。

盡可能多地利用再生制動(dòng)能是實(shí)現(xiàn)城市軌道交通節(jié)能減排的重要手段，將列車發(fā)車時(shí)刻T′j與停站時(shí)間作為決策變量，調(diào)整上述變量可得到不同列車運(yùn)行圖，以計(jì)算各列車再生制動(dòng)能，進(jìn)而得到列車碳排放量［9］。

為了在線路層面上優(yōu)化所有列車的碳排放量，需建立列車控制相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。首先分析列車運(yùn)行過程中受到的阻力，可分為列車基本阻力和列車附加阻力兩類。

1.2.1 列車基本阻力

列車基本阻力是列車因其內(nèi)部機(jī)械零件相互作用而產(chǎn)生的阻力，以及列車由于其幾何形狀引起的空氣阻力等構(gòu)成的合力，可由戴維斯方程表示：

式中：Wb為列車基本阻力，kN；Mm為動(dòng)車質(zhì)量，t；Mt為拖車質(zhì)量，t；N為列車編組數(shù)；v為列車速度，km/h；α1～α6為常數(shù)，根據(jù)列車型號(hào)確定。

1.2.2 列車附加阻力

列車附加阻力是由線路情況所引起的阻力，分為坡道附加阻力、曲線附加阻力以及隧道附加阻力。坡道附加阻力是列車在上下坡時(shí)所受到的阻力，本質(zhì)是列車重力的一個(gè)分力；曲線附加阻力是列車受線路線形影響所受到的阻力，一般與線路平曲線半徑、列車速度等因素有關(guān)；隧道附加阻力是列車在隧道中運(yùn)行時(shí)所受到的額外阻力。在實(shí)際計(jì)算過程中，3種列車附加阻力一般用如下公式計(jì)算：

式中：Wg為列車坡道附加阻力，kN；M為列車總質(zhì)量，t；g為重力加速度，m/s2；θ為線路坡度角，其中上坡為正，下坡為負(fù)；Wc為列車曲線附加阻力，kN；R為平曲線半徑，m；Wt為列車隧道附加阻力，kN；Lt為隧道長(zhǎng)度，m。

由于列車附加阻力可看作關(guān)于列車位置s的函數(shù)，因此列車附加阻力We(s)可表示為3 種列車附加阻力之和，而列車阻力可表示為列車基本阻力和列車附加阻力之和，所以有：

列車運(yùn)行過程中，牽引、惰行或制動(dòng)工況可由駕駛員或計(jì)算機(jī)進(jìn)行控制。在本模型中，列車在相應(yīng)位置的控制力u是決策變量之一，當(dāng)u為正值時(shí)，列車牽引，其數(shù)值為列車當(dāng)前的牽引力；當(dāng)u為0 時(shí)，列車惰行；當(dāng)u為負(fù)值時(shí)，列車制動(dòng)，其數(shù)值的絕對(duì)值為列車當(dāng)前的制動(dòng)力。

為方便計(jì)算，將線路全長(zhǎng)分為長(zhǎng)度相同的若干小段，劃分分段示意見圖1。每一段內(nèi)的列車動(dòng)力學(xué)特性可以由列車進(jìn)入此段時(shí)的狀態(tài)來代替?，F(xiàn)做出如下假設(shè)：

圖1 線路分段示意圖

（1）列車看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其在同一段內(nèi)的控制力為定值。

（2）列車在同一段內(nèi)受到的阻力為定值。其列車基本阻力數(shù)值由列車進(jìn)入該段時(shí)的速度決定，列車附加阻力數(shù)值由此段開始時(shí)的位置決定。

（3）同一方向所有列車共用同一套控制策略，即在每一個(gè)小段的控制力相同。

在對(duì)整個(gè)線路進(jìn)行劃分區(qū)段操作后，可以確定如下狀態(tài)變量：列車j在第i段內(nèi)的控制力ui，j，kN；列車j在第i段內(nèi)的速度vi，j，km/h；列車j在第i段內(nèi)行駛花費(fèi)的時(shí)間ti，j，s；列車j的發(fā)車時(shí)刻T′j，s。

從以上的變量出發(fā)，可以計(jì)算得到的變量有：列車j在進(jìn)入第i段時(shí)的動(dòng)能，kJ；列車j在進(jìn)入第i段時(shí)已經(jīng)行駛的時(shí)間Ti，j，s；列車j在第i段所消耗的能量ei，j，kJ；以及列車j在第i段可被利用的再生制動(dòng)能ri，j，kJ。它們的計(jì)算公式為：

式中：x為車站編號(hào)；d為列車j進(jìn)入第i段時(shí)已經(jīng)經(jīng)過的車站數(shù)；為列車j在x站的停站時(shí)間，s。

當(dāng)某一列車處于牽引工況時(shí)，若在同一供電區(qū)間內(nèi)存在制動(dòng)列車，則再生制動(dòng)能可以被利用。列車j在第i段內(nèi)可被利用的來自其他列車的再生制動(dòng)能Ri，j的大小通過下式進(jìn)行計(jì)算：

式中：ρ為再生制動(dòng)能轉(zhuǎn)換率；λj，k為0～1 變量，當(dāng)列車j與列車k處于同一供電區(qū)間則為1，否則為0；為列車j在第i段處于牽引工況行駛時(shí)，與列車k處于制動(dòng)工況行駛的重疊時(shí)間，s。

由式（13）可知，要計(jì)算Ri，j首先需要計(jì)算重疊時(shí)間。當(dāng)列車j在第i段處于牽引工況時(shí)，分情況討論列車j與處于制動(dòng)工況的列車k產(chǎn)生的重疊時(shí)間。假設(shè)列車j進(jìn)入第i段時(shí)，列車k處于第q段，則重疊時(shí)間可分為4種情況（見圖2）。

圖2 重疊時(shí)間情況劃分

（1）列車j進(jìn)入第i段時(shí)，列車k尚未制動(dòng)；列車j進(jìn)入第i+ 1段時(shí)，列車k正在制動(dòng)。

（2）列車j進(jìn)入第i段時(shí)，列車k已經(jīng)開始制動(dòng)；列車j進(jìn)入第i+ 1段時(shí)，列車k仍在制動(dòng)。

（3）列車j進(jìn)入第i段時(shí)，列車k尚未制動(dòng)；列車j進(jìn)入第i+ 1段時(shí)，列車k已經(jīng)結(jié)束制動(dòng)。

（4）列車j進(jìn)入第i段時(shí)，列車k已經(jīng)開始制動(dòng)；列車j進(jìn)入第i+ 1段時(shí)，列車k已經(jīng)結(jié)束制動(dòng)。

4種情況的計(jì)算公式分別為：

式中：a為列車k在位于第q段之后連續(xù)處于非制動(dòng)工況的分段數(shù)量（含第q段）；b為列車k在位于第q段之后連續(xù)處于制動(dòng)工況的分段數(shù)量（不含第q段）。

列車j在第i段時(shí)的凈能耗Ei，j則由所消耗能量ei，j減去可利用的再生制動(dòng)能Ri，j得到，即：

列車行駛過程中會(huì)依次經(jīng)過所有分段，若要計(jì)算某列車的總凈能耗Ej，需要將該列車在各分段中的凈能耗Ei，j累加，所有列車凈能耗相加可得總凈能耗，進(jìn)而可以改寫目標(biāo)函數(shù)為式（20）。

式中：p代表全線路中的分段總數(shù)。

1.3 約束條件

在本模型中，列車被看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其受到的力有列車控制力u以及阻力W。通過力的合成法則，可得列車在相應(yīng)位置和速度下所受到的合力F，并通過牛頓第二定律得出列車在此段的加速度ai，j。

由于列車在某一小段內(nèi)的受力狀態(tài)恒定，因此可以由列車在某一段內(nèi)的行駛時(shí)間和加速度求得列車在進(jìn)入下一段時(shí)的速度，進(jìn)而確定相鄰兩段之間速度的關(guān)系，即：

城市軌道交通列車運(yùn)行需要滿足旅客運(yùn)營(yíng)所需條件，在每個(gè)列車運(yùn)行區(qū)間內(nèi)，需要保證列車按時(shí)到達(dá)，因此模型需滿足以下約束：

2 算法設(shè)計(jì)

2.1 遺傳算法流程

遺傳算法模擬了大自然中生物優(yōu)勝劣汰的過程，其核心步驟包括選擇、交叉和變異［10］。在計(jì)算開始之前，先產(chǎn)生一個(gè)由可行解組成的初始種群，并對(duì)其適應(yīng)值函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，其適應(yīng)值越大代表越“適應(yīng)環(huán)境”、即越接近問題的最優(yōu)解。隨后開始迭代，每次迭代經(jīng)過選擇、交叉和變異3個(gè)步驟，種群隨著迭代的進(jìn)行而更新，直至滿足迭代終止條件后，輸出種群中適應(yīng)值最大的個(gè)體作為算法尋找到的最優(yōu)解。

在模型當(dāng)中，適應(yīng)值函數(shù)為線路中所有列車所研究時(shí)間段內(nèi)的總碳排放量。在計(jì)算適應(yīng)值時(shí)，應(yīng)把線路基本條件、運(yùn)營(yíng)方案輸入進(jìn)計(jì)算機(jī)，并根據(jù)上述模型計(jì)算得到該條件下的碳排放量。由于模型為最小化問題，因此在使用遺傳算法求解時(shí)應(yīng)將計(jì)算得到的目標(biāo)函數(shù)值取相反數(shù)，以符合遺傳算法“適應(yīng)值越大的解越接近最優(yōu)解”的假設(shè)。每一代種群中的染色體通過選擇、交叉、變異3個(gè)步驟，逐步迭代，達(dá)到終止條件后停止迭代，并得出最優(yōu)解。

2.2 算法初始化

在使用遺傳算法求解之前，應(yīng)對(duì)算法進(jìn)行初始化，其中包括確定迭代次數(shù)、對(duì)染色體進(jìn)行編碼以及產(chǎn)生初始種群。

（1）確定迭代次數(shù)。一般情況下，隨著算法的迭代次數(shù)不斷增加，種群中的最大適應(yīng)值越大，得到的解越接近最優(yōu)解。然而過大的迭代次數(shù)會(huì)明顯增加計(jì)算時(shí)間，且在迭代過程中若已找到最優(yōu)解，繼續(xù)計(jì)算則會(huì)造成算力的浪費(fèi)，因此，迭代次數(shù)不宜設(shè)置過大。迭代次數(shù)通常利用以下2種方法確定：設(shè)置終止條件或設(shè)置固定迭代次數(shù)，研究根據(jù)問題的實(shí)際情況，將算法迭代次數(shù)固定置為1 000次。

（2）染色體編碼。染色體的編碼是將待求解的問題中的變量轉(zhuǎn)化為基因，并且按照一定的順序組成染色體的過程。在模型中，將所涉及的決策變量依次排布，并編碼成為染色體。染色體編碼結(jié)果見圖3。

圖3 染色體編碼結(jié)果

（3）產(chǎn)生初始種群。染色體編碼完成后便可產(chǎn)生初始種群，在滿足約束條件的情況下，隨機(jī)生成數(shù)據(jù)作為染色體上的基因，使種群既滿足可行性又滿足多樣性。

2.3 確定選擇、交叉、變異策略

（1）選擇。在每一輪迭代中，首先要進(jìn)行的是染色體的選擇，即挑選出種群中較優(yōu)的染色體并留存到下一代。可采取的算法有輪盤賭算法、錦標(biāo)賽算法、截?cái)噙x擇等，采用輪盤賭算法，其原理是種群中個(gè)體被選中的概率等于它的適應(yīng)值占種群總適應(yīng)值的比例。在輪盤賭算法中，先計(jì)算出每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)值，記作f1，f2，…，fn，然后計(jì)算種群適應(yīng)值總和，其中n為種群規(guī)模。那么對(duì)于某個(gè)個(gè)體i，該個(gè)體被選中的概率Pi為Pi=fi/F。

（2）交叉。交叉操作模擬了自然界中生物產(chǎn)生子代時(shí)基因交換的過程。在遺傳算法中，被選擇的染色體之間兩兩交換部分基因，產(chǎn)生新的染色體。染色體的交叉方法有單點(diǎn)交叉、兩點(diǎn)交叉、順序交叉等。研究采用單點(diǎn)交叉法，其步驟為：先隨機(jī)確定1個(gè)交叉位點(diǎn)，然后將2個(gè)親代染色體位于交叉位點(diǎn)前后的片段兩兩交叉組合，形成2個(gè)新的子代染色體。

（3）變異。當(dāng)染色體經(jīng)過數(shù)代交叉后，種群的基因由于多樣性不足，會(huì)出現(xiàn)“近親繁衍”的不利狀況，易使算法陷入局部最優(yōu)解。染色體的變異可以適當(dāng)?shù)貫榉N群引入新的基因，有利于保持種群基因多樣性，跳出局部最優(yōu)解。對(duì)于交叉產(chǎn)生新種群中的每個(gè)染色體，根據(jù)變異概率Pv決定該染色體是否進(jìn)行變異。如染色體需要進(jìn)行變異，則隨機(jī)選取該染色體上的某一個(gè)基因，在可行解的范圍內(nèi)改變其值。變異操作的關(guān)鍵在于變異概率Pv，Pv的值若設(shè)置過小，則不能有效地為種群引入新基因，不易跳出局部最優(yōu)解，而設(shè)置過大則不利于種群基因的穩(wěn)定。一般情況下Pv的值設(shè)置為0.001～0.1，本次研究取Pv= 0.1。

3 數(shù)值算例

3.1 算例介紹

為驗(yàn)證模型的有效性，用北京地鐵燕房線數(shù)據(jù)進(jìn)行算例分析（見圖4）。北京地鐵燕房線是北京市的一條城市軌道交通線路，位于北京市房山區(qū)，線路大致呈東西走向，東起閻村東站，西至燕山站，目前線路共有9座車站開通運(yùn)營(yíng)。

圖4 北京地鐵燕房線線路圖

線路全長(zhǎng)約13.3 km，全線均為高架線路，共設(shè)置9 座車站，均為高架車站，其中有換乘站1 座。列車采用4節(jié)B型編組設(shè)計(jì)，由計(jì)算機(jī)控制，采用全自動(dòng)無人駕駛方案，最高運(yùn)行速度為80 km/h。線路采用單一交路運(yùn)營(yíng)，發(fā)車間隔分為5、8 min 兩檔，上行方向?yàn)檠嗌秸镜介惔鍠|站，下行方向?yàn)殚惔鍠|站到燕山站。

3.2 優(yōu)化結(jié)果

利用研究提出的低碳優(yōu)化模型，基于北京地鐵燕房線線路數(shù)據(jù)、列車參數(shù)與列車運(yùn)行過程中采集到的列車運(yùn)行數(shù)據(jù)，進(jìn)行節(jié)能優(yōu)化仿真。通過計(jì)算得到2 h內(nèi)的速度曲線和列車時(shí)刻表，以及列車全程運(yùn)行過程中碳排放量和列車運(yùn)行圖。

線路共涉及30 列車，選取列車11 作為分析對(duì)象。列車11 優(yōu)化前后速度曲線對(duì)比見圖5。優(yōu)化前曲線整體呈現(xiàn)快速加速的趨勢(shì)，但在加速過程后及制動(dòng)過程前速度波動(dòng)頻繁，每一區(qū)間最高速度從55 km/h 左右至80 km/h 左右不等。優(yōu)化后的速度曲線最高速度有所降低，但整體變化更加平穩(wěn)，考慮到減少碳排放的最終目的，速度降低所帶來的負(fù)面效果可以忽略不計(jì)。

圖5 列車11優(yōu)化前后速度曲線對(duì)比

優(yōu)化后列車11與其他列車間再生制動(dòng)能利用情況見圖6。圖中列車24、25、27與該列車方向相反，列車12與該列車方向相同。由圖6可知，該列車與雙方向的列車均有再生制動(dòng)能的交互，且集中在線路中段。列車之間發(fā)生再生制動(dòng)能的利用時(shí)，該列車在牽引時(shí)利用其他列車所產(chǎn)生能量的情況與該列車制動(dòng)時(shí)將能量回饋給其他列車的情況相同，反映出運(yùn)行方案排布較為均衡地使各列車?yán)迷偕苿?dòng)能，實(shí)現(xiàn)列車低碳運(yùn)行。

圖6 優(yōu)化后列車11與其他列車間再生制動(dòng)能利用情況

優(yōu)化前后列車行駛距離-碳排放見圖7。不考慮再生制動(dòng)能量利用時(shí)的碳排放隨著距離增加不斷增多，最多達(dá)到接近225 kg CO2；凈碳排放與不考慮再生制動(dòng)的碳排放相差較??；因再生制動(dòng)而減少的碳排放均不超過20 kg CO2，說明優(yōu)化后再生制動(dòng)能利用率提高的同時(shí)總的碳排放量也有降低。

圖7 優(yōu)化前后列車行駛距離-碳排放

優(yōu)化結(jié)果統(tǒng)計(jì)見表1，優(yōu)化前所有列車牽引能耗為11 689.30 kWh，優(yōu)化后為8 402.56 kWh，說明在不考慮再生制動(dòng)能量利用，僅考慮牽引能耗的情況下，模型對(duì)優(yōu)化速度曲線也有良好的效果。優(yōu)化前再生制動(dòng)能利用為521.06 kWh，占牽引能耗比例4.5%，優(yōu)化后為917.64 kWh，占牽引能耗比例10.9%，再生制動(dòng)能的利用增多了76.1%，相應(yīng)產(chǎn)生碳減排量234.97 kg CO2。優(yōu)化前所有列車總碳排放量為6 617.18 kg CO2，優(yōu)化后為4 434.81 kg CO2，即2小時(shí)內(nèi)全線所有列車碳排放減少約33%。

表1 優(yōu)化結(jié)果統(tǒng)計(jì)

4 結(jié)束語

構(gòu)建一種以碳排放最低為目標(biāo)，城市軌道交通列車運(yùn)行速度曲線與列車運(yùn)行圖集成優(yōu)化的模型，通過基于遺傳算法的高效啟發(fā)式算法求解模型，達(dá)到提高再生制動(dòng)能量利用率，降低列車凈能耗，進(jìn)而降低碳排放的目的。以北京地鐵燕房線為算例，計(jì)算得到了使碳排放最低的上下行列車速度曲線以及列車運(yùn)行圖，并與優(yōu)化前相對(duì)比，證明研究模型使列車運(yùn)行總碳排放量減少33%，減排效果良好。