張 宏，劉寶祿，許明明*，竇江培

（1.中國科學(xué)院 南京天文光學(xué)技術(shù)研究所，南京 210042；2.中國科學(xué)院 天文光學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210042；3.中國科學(xué)院大學(xué) 天文與空間科學(xué)學(xué)院，北京 100049）

0 引言

太陽系外生命及系外行星的探測一直都是國際天文學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一[1-3]。星冕儀作為系外行星直接成像的關(guān)鍵部件之一[4]，其穩(wěn)定性要求極高，因?yàn)槿缧杼綔y到距離觀測儀器10 pc 處的類地行星系統(tǒng)，則角分辨率需達(dá)0.1″，也就是說，星冕儀模塊目標(biāo)成像對(duì)比度將高達(dá)10-8及以上。提高星冕儀光學(xué)穩(wěn)定性的方式主要有主動(dòng)光學(xué)矯正、熱控和微振動(dòng)抑制3 種。本文主要論及微振動(dòng)抑制。

在軌航天載荷的微振動(dòng)抑制技術(shù)主要有主動(dòng)隔振、被動(dòng)隔振、主被動(dòng)混合隔振以及半主動(dòng)隔振技術(shù)，其中，被動(dòng)隔振技術(shù)因無需外部能源，在空間任務(wù)中能有效壓縮載荷質(zhì)量，且具有可靠性高、穩(wěn)定性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，故應(yīng)用較為普遍。目前工程上常用的被動(dòng)隔振系統(tǒng)物理模型通常為彈簧與阻尼元件的并聯(lián)組合[5-7]，其與黏彈性材料的Kelvin-Voigt 本構(gòu)模型一致，能夠在一定程度上反映隔振器的動(dòng)力學(xué)特性，有助于對(duì)隔振系統(tǒng)進(jìn)行理論分析。然而，隨著空間載荷的指向精度要求越來越高，對(duì)于隔振系統(tǒng)的要求愈發(fā)嚴(yán)苛，相關(guān)研究從傳統(tǒng)的線性隔振系統(tǒng)紛紛轉(zhuǎn)向非線性的振動(dòng)設(shè)計(jì)領(lǐng)域[8]，并大量使用黏彈性阻尼材料[9]以及記憶合金[10]等新型材料進(jìn)行微振動(dòng)抑制。例如：鄒元杰等[11]設(shè)計(jì)了用于大型環(huán)形天線的黏彈性阻尼器和金屬橡膠阻尼器，試驗(yàn)結(jié)果表明被動(dòng)隔振方案下振動(dòng)幅值分別下降了78.7%和66%；龐世偉等[12]針對(duì)高分辨率遙感衛(wèi)星設(shè)計(jì)了黏彈性隔振方案，隔振器在軌工作正常，滿足各項(xiàng)功能指標(biāo)要求；Uchida 等[13]研究了超彈性合金在航天器微振動(dòng)隔離器中的應(yīng)用，并研制了支柱式隔離器，結(jié)果表明其在室溫下滿足傳遞率要求?？紤]到在諸如黏彈性材料的非線性領(lǐng)域中繼續(xù)使用線性的振動(dòng)模型可能會(huì)使得研究數(shù)據(jù)精度下降，因此需要拓展傳統(tǒng)的線性物理模型以適應(yīng)非線性的微振動(dòng)隔振理論研究。

本文基于中國空間站巡天望遠(yuǎn)鏡（CSST）星冕儀制冷機(jī)振動(dòng)模塊，對(duì)傳統(tǒng)的黏彈性材料彈簧-阻尼并聯(lián)模型進(jìn)行非線性擴(kuò)展，假設(shè)模型所含彈簧元件提供三階多項(xiàng)式的彈性恢復(fù)力，通過改變外界激勵(lì)條件，研究擴(kuò)展后的模型在受迫振動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為，旨在提高黏彈性隔振平臺(tái)的設(shè)計(jì)精度，進(jìn)一步理解空間制冷機(jī)隔振器的微振動(dòng)特性，為愈發(fā)復(fù)雜的微振動(dòng)隔振設(shè)計(jì)提供新思路。

1 隔振器物理模型

通常，CSST 星冕儀制冷機(jī)產(chǎn)生的微振動(dòng)經(jīng)連接螺栓傳遞至間隔結(jié)構(gòu)，隔振器即安裝于連接螺栓上（如圖1 所示）。該隔振系統(tǒng)由上平臺(tái)及基座組成，制冷機(jī)剛性安裝于上平臺(tái)，上平臺(tái)與基座中間由4 組隔振單元連接，隔振單元垂直高度為H。假設(shè)平臺(tái)以及制冷機(jī)是總質(zhì)量為m的剛體，則4 組隔振單元的質(zhì)量遠(yuǎn)小于m，故不考慮隔振單元的質(zhì)量。P-xyz為原點(diǎn)固定于上平臺(tái)質(zhì)心的定坐標(biāo)系，即該坐標(biāo)系不隨上平臺(tái)的移動(dòng)而改變；B-xyz為實(shí)驗(yàn)室定參考坐標(biāo)系。系統(tǒng)內(nèi)所有坐標(biāo)系及旋轉(zhuǎn)角都遵循右手法則。

圖1 星載制冷機(jī)模型隔振示意Fig.1 Schematic diagram of vibration isolation for a spaceborne cryocooler model

由于所采用的隔振器為硅橡膠材質(zhì)，故作黏彈性材料假設(shè)，物理模型如圖2 所示，用單自由度運(yùn)動(dòng)方程來離散連續(xù)系統(tǒng)。

圖2 隔振系統(tǒng)物理模型示意Fig.2 Schematic diagram of the physical model of the vibration isolation system

該線性固體黏彈性材料的本構(gòu)方程為

式中：σ為應(yīng)力；E為彈簧的彈性模量；ε為應(yīng)變；μ為阻尼的黏度參數(shù)；t為時(shí)間。

2 硅橡膠隔振器準(zhǔn)靜態(tài)試驗(yàn)分析

硅橡膠具有良好的隔振、耐高溫及耐低溫等特性，因此常被用于空間載荷的隔振系統(tǒng)。使用試驗(yàn)機(jī)測試單個(gè)硅橡膠隔振墊在不同壓縮載荷下的變形（如圖3 所示），其中，壓縮載荷采用位移方法控制，直到位移達(dá)到-5 mm。測試得到的載荷-變形曲線如圖4 所示，可觀察到非線性荷載位移特征。以導(dǎo)出非線性阻尼的表達(dá)式。圖5 為一個(gè)擴(kuò)展的非線性實(shí)體模型，其中彈簧是非線性的，故將其命名為非線性實(shí)體模型。非線性彈簧表示系統(tǒng)的剛度是非線性的，提供彈性力k1x+k2x2+k3x3，其中：k1是彈簧的線性剛度；k2是二次剛度系數(shù)；k3是立方剛度系數(shù)；x是質(zhì)量塊的動(dòng)態(tài)位移。

圖3 硅橡膠隔振墊壓縮試驗(yàn)Fig.3 Compression test of a silicone rubber isolator

圖4 硅橡膠隔振墊位移-負(fù)載特性曲線Fig.4 Load-displacement characteristic curve of a silicone rubber isolator

圖5 Kelvin-Voigt 模型與非線性實(shí)體模型Fig.5 Kelvin-Voigt model and nonlinear solid model

橡膠材料屬于一種高分子材料，其分子微觀結(jié)構(gòu)是由卷曲的長分子鏈鉸接形成的結(jié)構(gòu)。當(dāng)受到外界載荷拉伸時(shí)，卷曲的長分子鏈逐漸伸直，從宏觀上看，這種長分子鏈的伸直可以表現(xiàn)為尺寸高達(dá)幾倍的大變形；當(dāng)外界拉伸載荷消失后，伸直的長分子鏈又可以恢復(fù)原狀[14]。因此，與傳統(tǒng)圓柱螺旋彈簧相比，硅橡膠隔振器呈現(xiàn)出明顯的非線性特征。

對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式函數(shù)擬合，迭代次數(shù)13 次，達(dá)到10-9的Chi-sqr 的容差值，擬合收斂。其負(fù)載與形變的關(guān)系為y=a0+a1x+a2x2+a3x3+…，其中：a0=0.8，a1=-24.7，a2=177.8，a3=-329。

與線性振動(dòng)方程相比，非線性的彈性力關(guān)系更適宜建立振動(dòng)控制方程。

3 非線性振動(dòng)建模

考慮到材料模型的非線性，對(duì)式(1)加以擴(kuò)展，

式中：τ=μ/E為黏彈性松弛時(shí)間常數(shù)；x是描述質(zhì)量位移的坐標(biāo)。本構(gòu)方程(2)是一個(gè)常微分方程，它給出了施加在質(zhì)量上的黏彈性動(dòng)力F(t)。

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中：m表示模塊的質(zhì)量；f～為激勵(lì)力的振幅；ω為激勵(lì)頻率；φ為相位角。

對(duì)于周期激勵(lì)，通過諧波平衡法可得x的前三階表達(dá)形式如下：

由于位移分量并非全部同相，所以不再可能對(duì)彈性力和阻尼力進(jìn)行簡單解釋，故在此引入所有項(xiàng)同相的簡化表達(dá)式。同時(shí)，式(2)的解有如下形式：

式(4)和式(5)中，a0,a1,a2,f0,f1s,f1c, …皆為待確定系數(shù)。

忽略式(3)與式(4)中激勵(lì)頻率高于三次的亞諧波與超諧波，將式(4)和(5)代入式(2)，則對(duì)于式(2)的零階項(xiàng)，有代數(shù)方程

式(7)給出了系統(tǒng)的彈性響應(yīng)，它是與x同相的機(jī)械力。式(8)給出了系統(tǒng)的阻尼力，與頻率相關(guān)，相對(duì)于位移x具有相位差。同理可得出二階與三階對(duì)應(yīng)的項(xiàng)：

同理可得二階、三階項(xiàng)的控制方程，通過這6 個(gè)控制方程，可找到未知參數(shù)a0,a1,a2,a3的數(shù)值解。

阻尼力可寫為

其中，剛度呈現(xiàn)出經(jīng)典的線性、二次和三次項(xiàng)，與線性黏彈性中獲得的動(dòng)態(tài)剛度一致。事實(shí)上，目前的方法是將系統(tǒng)的非線性行為考慮在內(nèi)的線性彈性系數(shù)的擴(kuò)展。

式中ζ是阻尼比。將式(12)和式(13)引入式(3)，則有

式(15)是具有二次和三次非線性的單自由度非線性系統(tǒng)對(duì)黏彈性行為的推廣。涉及二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)是慣性力；第二項(xiàng)表示恒定剛度（具有線性、二次和三次分量）；第三項(xiàng)與一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)相關(guān)，表示非線性阻尼；等號(hào)右端為外部激勵(lì)項(xiàng)。式(15)可直接進(jìn)行數(shù)值求解，不必再利用諧波平衡法進(jìn)行計(jì)算。

4 模型分析

根據(jù)硅橡膠隔振器準(zhǔn)靜態(tài)試驗(yàn)分析（如圖4 所示）可知，線性剛度應(yīng)用于振動(dòng)模型時(shí)省略了更高階的彈性分量，顯然與實(shí)際不符，會(huì)導(dǎo)致線性擬合黏彈性材料的載荷-變形特性出現(xiàn)極大偏差（如圖6所示），數(shù)據(jù)分析精度下降。

圖6 硅橡膠隔振墊載荷形變特性的線性擬合Fig.6 Linear fitting of the load-deformation of a silicone rubber isolator

擴(kuò)展后的非線性實(shí)體模型主要適用于采用黏彈性材料的微振動(dòng)隔振系統(tǒng)。在黏彈性材料呈現(xiàn)較強(qiáng)的非線性彈性行為時(shí)，二次及更高階次的剛度分量會(huì)對(duì)該模型的精度產(chǎn)生顯著影響；然而更多的高階項(xiàng)意味著求解時(shí)的計(jì)算量大幅上升，會(huì)對(duì)數(shù)值求解造成阻礙。因此，選用合適的階數(shù)是平衡精度需求與計(jì)算量的關(guān)鍵。

隔振器組件的阻尼特性可通過對(duì)硅橡膠隔振墊施加循環(huán)應(yīng)力得出。設(shè)計(jì)特定工裝夾具，首先控制壓縮位移到-1 mm，隨后釋放，再施加拉伸負(fù)載到1 mm，通過該位移控制方法循環(huán) 0.1 Hz 的準(zhǔn)靜態(tài)載荷，結(jié)果如圖7 所示。

圖7 循環(huán)載荷測試結(jié)果Fig.7 Test results of cyclic load

當(dāng)黏彈性阻尼材料受到交變應(yīng)力時(shí)，其應(yīng)變滯后于應(yīng)力德爾塔相位角，從而產(chǎn)生滯后效應(yīng)。單個(gè)循環(huán)中拉伸-壓縮變形模式下阻尼材料單位體積的能量損失為ΔW=πγ2E1tanδ=πγ2E2，其中：E1為儲(chǔ)能模量；E2為損耗模量；γ為應(yīng)變幅度。

一個(gè)循環(huán)中阻尼材料每單位體積的總應(yīng)變能為W=(γ2E1)/2，因此，黏彈性阻尼材料的損耗因子可定義為tanδ=ΔW/(2πW)=2ζ，根據(jù)該式即可得出測試材料的阻尼比ζ。

為分析該動(dòng)力學(xué)模型的動(dòng)力學(xué)行為，將式(15)用一階方程組表示，即

圖8 為隔振系統(tǒng)隨外部激勵(lì)幅值f變化的相軌跡曲線，可見系統(tǒng)在該條件下表現(xiàn)出復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)行為。

圖8 不同受迫激勵(lì)幅值f 下的系統(tǒng)相平面Fig.8 Phase plane of the system with different forcing excitation amplitude f

圖9 為隔振系統(tǒng)隨外部激勵(lì)幅值f變化的幅頻曲線，可見：激勵(lì)幅值的增加導(dǎo)致系統(tǒng)的振幅隨之增大。由圖9 可見特有的跳躍現(xiàn)象，即隨著激勵(lì)頻率增大，隔振系統(tǒng)的振幅沿幅頻曲線變化：當(dāng)達(dá)到點(diǎn)2 時(shí)，振幅則從點(diǎn)2 跳躍至點(diǎn)3；若激勵(lì)頻率ω逐漸減小，振幅從點(diǎn)4 開始沿曲線的下半分支變化至點(diǎn)5 處；再減小ω，振幅則從點(diǎn)5 躍至點(diǎn)6，然后沿曲線的上半分支向點(diǎn)1。因此受迫振幅在點(diǎn)2～3的振動(dòng)是不穩(wěn)定的，這說明外部激勵(lì)幅值f對(duì)整個(gè)系統(tǒng)影響很大。在實(shí)際隔振系統(tǒng)中，應(yīng)當(dāng)盡量控制激勵(lì)振幅的大小，從而保證系統(tǒng)的平穩(wěn)運(yùn)行或工作。

圖9 外部激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)振幅的影響Fig.9 The influence of external excitation amplitude on the vibration amplitude of the system

固定激勵(lì)幅值，初始值取x1=0,x2=0，外部激勵(lì)頻率變化對(duì)系統(tǒng)的影響如圖10 所示，可見：隨著外部激勵(lì)頻率的逐漸增大，全部相軌跡漸進(jìn)趨于一條封閉曲線；而當(dāng)激勵(lì)頻率繼續(xù)增大時(shí)，軌跡線逐漸退化為以原點(diǎn)為中心的圓。這表明系統(tǒng)有著穩(wěn)態(tài)的周期運(yùn)動(dòng)。

圖10 外部激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)相軌的影響Fig.10 The influence of external excitation frequency on the phase track of the system

5 結(jié)束語

本文以中國空間站巡天望遠(yuǎn)鏡（CSST）星冕儀制冷機(jī)的被動(dòng)隔振系統(tǒng)為研究對(duì)象，通過在標(biāo)準(zhǔn)線性固體材料中引入彈性力獲得了單自由度的非線性振動(dòng)模型，從而對(duì)Kelvin 模型進(jìn)行了擴(kuò)展，并從中導(dǎo)出非線性阻尼；然后以微分形式獲得了擴(kuò)展后的幾何非線性Kelvin 模型振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程。該模型能夠補(bǔ)充現(xiàn)如今常用隔振系統(tǒng)的振動(dòng)理論所涉及的非線性項(xiàng)內(nèi)容，適用于非線彈性明顯的結(jié)構(gòu)假設(shè)。

下一步研究將考慮在理論分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行更全面的實(shí)驗(yàn)以及優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過設(shè)計(jì)新的非線性振動(dòng)試驗(yàn)裝置來驗(yàn)證該模型的精確度。